Đề thi HSG Toán 10 Trường THPT Chuyên Hưng Yên

SỞ GD&ĐT HƯNG YÊN
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HƯNG YÊN
KHU VỰC DH&ĐB BẮC BỘ NĂM 2024 ĐỀ THI MÔN TOÁN LỚP 10 (Đề thi đề xuất)
Thời gian làm bài 180 phút
(Đề thi gồm có 01 trang, gồm 05 câu)
Câu 1 (4,0 điểm): Tìm tất cả các đa thức có hệ số thực thoả mãn .
Câu 2 (4,0 điểm) Cho các s t ố h c k ự hông âm th a mãn ỏ . Ch n ứ g minh r n ằ g: .
Câu 3 (4,0 điểm): Cho tam giác nội tiếp đường tròn , có là tâm đường
tròn nội tiếp. Đường thẳng cắt đường thẳng
tại , cắt đường tròn tại điểm thứ hai
. là điểm nằm trên đường tròn sao cho . Đường thẳng cắt đường tròn
tại điểm thứ hai . Đường thẳng cắt đường thẳng tại . Đường thẳng cắt đường tròn
tại điểm thứ hai . Chứng minh rằng tiếp xúc với .
Câu 4 (4,0 điểm) Tìm tất cả các các số nguyên dương sao cho là số nguyên tố và chia hết cho p.
Câu 5 (4,0 điểm) Gọi là tổng độ dài các đường chéo của một đa giác lồi trong mặt phẳng có đỉnh,
. Gọi là chu vi của đa giác đó. Chứng minh rằng (với
là số nguyên lớn nhất không vượt quá ).
---------------- HẾT -------------- SỞ GD&ĐT HƯNG YÊN
HƯỚNG DẪN CHẤM THI ĐỀ ĐỀ XUẤT
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HƯNG YÊN
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
KHU VỰC DH&ĐB BẮC BỘ NĂM 2024 (Đề thi đề xuất) ĐỀ THI MÔN TOÁN LỚP 10
Thời gian làm bài 180 phút
(Đề thi gồm có 01 trang, gồm 05 câu) Câu Nội dung Điểm 1
Tìm tất cả các đa thức có hệ số thực thoả mãn 4,0 . (1) Ta thấy là nghiệm của . 1,0 Trong (1), thay , ta được suy ra là nghiệm của . Trong (1), thay , ta được suy ra là nghiệm của . Tương tư, ta có là các nghiệm của . Do đó . 1,0 Thay vào (1), ta được với mọi . Do đó mà là một đa thức nên 1,0 , với là hằng số. Thử lại, thay
vào (1) ta thấy thoả mãn. 1,0 Vậy
, với là hằng số tuỳ ý. 2
Cho các số thực không âm a,b,c,d thỏa mãn 2 a + 2 b + 2 c + 2 d =1. 4,0 Chứng minh rằng:
a +b+c +d- 1³ 16abcd
Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: 1,0 2 a + 2 b + 2 c + 2 d 1 abcd £ = 4 4 2 2 2 2
Do a,b,c,d £ 1 nên a +b +c +d ³ a +b +c +d =1
Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: 1,0 2 a + 2 b + 2 c + 2 d
a +b+c +d £ 4 = 2 4
Từ đó: (2- (a +b +c +d)(a +b +c +d- 1) ³ 0 1,0
+ a +b +c + 2 2 ( d)
2(ab+bc +cd +da +ac +bd)
Û a +b +c +d ³ =1+ 3 3
Theo bất đẳng thức AM – GM 1,0
ab+bc +cd +da +ac +bd ³ 6 abcd
Do đó a +b +c +d ³ 1+4 abcd ³ 1+16abcd 3 4,0 Cho tam giác
nội tiếp đường tròn
, có là tâm đường tròn
nội tiếp. Đường thẳng
cắt đường thẳng
tại , cắt đường tròn
tại điểm thứ hai
. là điểm nằm trên đường tròn sao cho . Đường thẳng cắt đường tròn
tại điểm thứ hai . Đường thẳng
cắt đường thẳng
tại . Đường thẳng cắt đường tròn
tại điểm thứ hai . Chứng minh rằng tiếp xúc với . A 1,0 Y O B X C M
Ta có bổ đề sau: Cho tam giác nội tiếp ; là điểm chính giữa của cung của
; là đường thẳng bất kì qua cắt và tại . Khi đó . Thật vậy, vì nên 1,0 A F X O E R I X' D B P' C Q P M
Áp dụng bổ đề trên ta có: (1) Vì nên , suy ra (2) Từ (1) và (2) suy ra , hay thuộc cùng một đường tròn. Do đó, ta có Suy ra AX, AQ đẳng giác. Gọi là hình chiếu của lên .
là tiếp điểm của với . 0,5 Khi đó
thuộc cùng một đường tròn, vậy là tâm vị tự quay của với ,