Đề thi HSG Toán 10 Trường THPT Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa

TRƯỜNG THPT CHUYÊN LAM SƠN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THANH HÓA
KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
LẦN THỨ XV – NĂM 2024 – HẢI DƯƠNG ĐỀ ĐỀ XUẤT
MÔN THI: TOÁN KHỐI 10 (Thời gian: 180’)
Câu 1(4,0 điểm. Tìm tất cả hàm số thỏa mãn , với mọi .
Câu 2 (4,0 điểm). Xét ba số thực thỏa mãn và .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Câu 3(4,0 điểm). Cho tam giác không cân ABC nội tiếp đường tròn (O), ngoại tiếp đường
tròn (I). Đường tròn (I) tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Gọi M là
trung điểm cạnh BC. Lấy các điểm P, Q thuộc EF sao cho
Đường tròn ngoại tiếp tam giác APE cắt lại (O) tại K. Gọi O1 và O2 lần lượt là tâm đường
tròn ngoại tiếp các tam giác BPF và CEQ.
a) Chứng minh các đường thẳng AK, EF, BC, O1O2 đồng quy.
b) Chứng minh các đường tròn ngoại tiếp các tam giác BPK, MPQ tiếp xúc nhau.
Câu 4(4,0 điểm). Chứng minh rằng
a) Nếu là ước nguyên tố lẻ của thì ; b) với mọi nguyên dương.
Câu 5(4,0 điểm). Cho một bảng ô vuông cỡ
trong đó mỗi ô được tô
bằng một trong hai màu xanh hoặc đỏ. a) Chứng minh rằng với
có một cách tô màu sao cho không có hai hàng và hai cột
nào có giao là 4 ô vuông cùng màu.
b) Tìm tất cả các giá trị của n sao cho với mọi cách tô màu luôn có hai hàng và hai cột có
giao là 4 ô vuông cùng màu. HẾT HƯỚNG DẪN CHẤM Câu 1. Kí hiệu là phép thế vào giả thiết. suy ra , từ đó hoặc Nếu thì dung phép thế ta được hay , tức là với mọi số thực .
Thử lại ta thấy thỏa mãn. Nếu thì dùng phép thế ta được với mọi số thực . Suy ra , lại dùng phép thế ta có . Hay
với mọi , điều này ko xảy ra. Vậy Câu 2. Ta có (1). Mà (2). Từ (1) và (2) suy ra (3). Theo giả thiết ta có (4). Mà (5). (6).
Từ (3), (4), (5) và (6) suy ra . Dấu “=” xảy ra khi .
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là . Câu 3.
a) Gọi T là giao điểm của EF và BC. Từ ta được
và hai điểm E, M cùng phía với PD nên tứ giác SLFM nội tiếp.
Ta có AD, BE, CF đồng quy, nên (TD, BC) = -1, suy ra
do đó tứ giác BPEC nội tiếp.
Tương tự có CQFB nội tiếp. Khi đó ta có
Xét phép nghịch đảo f cực T phương tích Khi đó