Đề thi HSG Toán 10 Trường THPT Chuyên Lào Cai

SỞ GD&ĐT LÀO CAI
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THPT CHUYÊN
CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DH&ĐBBB NĂM HỌC 2023 - 2024 ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
ĐỀ THI MÔN: TOÁN, LỚP 10
Thời gian làm bài 180 phút
(Đề thi gồm có 01 trang, gồm 05 câu)
Câu 1 (4,0 điểm). Tìm tất cả các hàm số thoả mãn:
Câu 2 (4,0 điểm). Cho các số thực không âm Chứng minh rằng:
Câu 3 (4,0 điểm). Cho tam giác nội tiếp có các đường cao Gọi là điểm của tam giác
là trực tâm của tam giác
a) Tiếp tuyến tại của đường tròn cắt tại Ký hiệu là đường tròn tâm bán kính
Tương tự xác định các đường tròn Chứng minh rằng các đường tròn
đồng trục với trục đẳng phương là b) Chứng minh rằng thẳng hàng.
Câu 4 (4,0 điểm). Cho số nguyên dương đặt và ký hiệu là tổng các
ước nguyên dương của Chứng minh rằng
có ít nhất một ước nguyên tố lớn hơn
Câu 5 (4,0 điểm). Cho là số nguyên dương. Dãy số với
được gọi là “đẹp” nếu nó thoả mãn điều kiện với
a) Với một dãy số đẹp
gọi là tập hợp tất cả các tổng dãy con lấy từ
chỉ số lẻ bất kì đến
Chứng minh rằng chỉ chứa tối đa 2 giá trị phân biệt.
b) Đếm số tất cả các dãy số đẹp. ------ HẾT ------ SỞ GD&ĐT LÀO CAI
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THPT CHUYÊN
CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DH&ĐBBB NĂM HỌC 2023 - 2024 ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN, LỚP 10
Câu 1 (4,0 điểm). Tìm tất cả các hàm số thoả mãn: Nội dung Điểm Ký hiệu là phép thế bởi bởi 2.0 Nhận thấy hàm
không thoả mãn đề bài. Do đó tồn tại để 2.0
Thử lại thấy hàm số này thoả mãn đề bài.
Câu 2 (4,0 điểm). Cho các số thực không âm Chứng minh rằng: Nội dung Điểm
Không mất tính tổng quát, giả sử Xét hiệu: 2.0 2 2.0 Như vậy
Dấu đẳng thức xảy ra khi và các hoán vị.
Câu 3 (4 điểm). Cho tam giác nội tiếp có các đường cao Gọi là điểm của tam giác
là trực tâm của tam giác
a) Tiếp tuyến tại của đường tròn cắt tại Ký hiệu là đường tròn tâm bán kính
Tương tự xác định các đường tròn Chứng minh rằng các đường tròn
đồng trục với trục đẳng phương là b) Chứng minh rằng thẳng hàng. Nội dung Điểm
Không mất tính tổng quát, xét thế hình như hình vẽ. Các trường hợp còn lại ta chứng minh tương tự. N Y J A E O H L F M X I D C B T 3 a) Tiếp tuyến tại của cắt tại
Do vai trò của các đường tròn 1.0
là như nhau nên ta chỉ cần chứng minh
là trục đẳng phương của
hai trong ba đường tròn này là đủ. Hiển nhiên là tiếp tuyến của Do đó:
Tương tự, ta chỉ ra được
Vậy thuộc trục đẳng phương của và
Tiếp theo, ta sẽ chỉ ra cũng thuộc trục đẳng phương của và Thật 1.0 vậy: cắt lại tại Lúc này
là tứ giác điều hoà nên cũng là tiếp tuyến của hay Khi đó:
Tương tự, ta chỉ ra được
Vậy thuộc trục đẳng phương của và nên
là trục đẳng phương của và b) lần lượt cắt tại Gọi
lần lượt là trung điểm 1.0
Ta cũng chứng minh được
là trục đẳng phương của và
(tính toán bằng phương tích trên các đường cao của tam giác ). Bây giờ, để chỉ ra
thẳng hàng thì ta sẽ chứng minh Thật vậy, 1.0 chú ý rằng: và kết hợp với và ta có: Vậy theo định lý đảo, ta có
Ta hoàn tất chứng minh bài toán. 4