Đề thi HSG Toán 10 Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định

TRƯỜNG THPT
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CHUYÊN
KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ LÊ HỒNG PHONG
LẦN THỨ XV – NĂM 2024 – HẢI DƯƠNG NAM ĐỊNH
MÔN THI: TOÁN KHỐI 10 ĐỀ ĐỀ XUẤT (Thời gian: 180’)
Câu 1 (4,0 điểm). Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn: với mọi giá trị
Câu 2 (4,0 điểm). Cho
là ba số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Câu 3 (4,0 điểm). Trong tam giác ký hiệu
là đường tròn bàng tiếp ứng với đỉnh Gọi
lần lượt là tiếp điểm của đường tròn với với cạnh và các tia Đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt đường thẳng lần lượt tại sao cho nằm giữa và Gọi
là giao điểm thứ hai của đường thẳng và đường tròn
a) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác
đi qua trung điểm của đoạn thẳng
b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác
tiếp xúc với đường tròn
Câu 4 (4,0 điểm). Trên mặt phẳng tọa độ
một chú Robot ban đầu đứng ở gốc tọa độ Ở
mỗi lượt, chú Robot này có thể chọn tùy ý một bộ hai số nguyên dương miễn là bộ này chưa được chọn. Nếu chia hết cho
thì chú tiến sang bên phải một bước (tức là bước từ điểm có tọa độ sang điểm có tọa độ
Nếu không thì chú đứng yên. Chứng minh rằng,
chú Robot này có thể tiến đến điểm sau hữu hạn bước.
Bài 5 (4,0 điểm). Khách sạn của chú mèo Hello Kitty có phòng phân biệt, với là một số nguyên
dương. Không may, có hai chú chuột và lọt vào khách sạn và mỗi ngày chúng lại chạy ngẫu nhiên
vào một số phòng (chúng cũng có thể không chạy vào phòng nào ngày hôm đó). Ký hiệu và lần
lượt là tập hợp các phòng mà và chạy vào. Ta gọi mỗi bộ
như vậy là một cấu hình, và ký
hiệu tập là tập hợp tất cả các cấu hình có thể xảy ra. Kết thúc mỗi ngày, Hello Kitty lại thuê công
nhân dọn những phòng có chuột chạy vào, và tốn 1 đồng cho mỗi phòng. Giả sử trong ngày liên tiếp,
mỗi ngày hai chú chuột và đều chạy vào các phòng theo một cấu hình thuộc tập và các cấu hình
này đôi một phân biệt. Hỏi sau
ngày như vậy, Hello Kitty phải mất bao nhiêu tiền cho việc dọn phòng?
------------------------------- HẾT ------------------------------ HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu 1 (4,0 điểm). Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn: với mọi giá trị Nội dung Điểm Giả sử là hàm số thoả mãn với mọi giá trị Đặt thì Kéo theo 1,0 Suy ra Hay (1)
Hoàn toàn tương tự, đặt suy ra Kéo theo Suy ra 1,0 Hay (2)
Từ (1) và (2), cộng vế với vế, và sử dụng phương trình ở giả thiết, ta có 1,0 Rút gọn ta được Hay với 1,0
Thử lại, ta thấy hàm số vừa tìm được thỏa mãn. Vậy hàm số với
là hàm số duy nhất thỏa mãn điều kiện bài toán.
Câu 2 (4,0 điểm). Cho
là ba số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng: Nội dung Điểm Nhận thấy và
áp dụng bất đẳng thức hoán vị, suy ra 1,0 Kéo theo Nhận thấy
Tạo ra hai bất đẳng thức
tương tự, và cộng vế với vế, suy ra 1,0 (1) 1,0 Mặt khác,
Tạo ra hai bất đẳng thức tương tự, và cộng vế với vế suy ra (2) Từ (1) và (2), suy ra 1,0 Mà
nên ta có điều cần chứng minh.
Câu 3 (4,0 điểm). Trong tam giác ký hiệu
là đường tròn bàng tiếp ứng với đỉnh Gọi
lần lượt là tiếp điểm của đường tròn với với cạnh và các tia Đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt đường thẳng lần lượt tại sao cho nằm giữa và Gọi
là giao điểm thứ hai của đường thẳng và đường tròn
c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác
đi qua trung điểm của đoạn thẳng
d) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác
tiếp xúc với đường tròn