Đề thi HSG Toán 10 Trường THPT Chuyên Lê Khiết - Quảng Ngãi

TRƯỜNG THPT CHUYÊN
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC
LÊ KHIẾT-QUẢNG NGÃI
DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
LẦN THỨ XV- NĂM 2024
ĐỀ THI GIỚI THIỆU MÔN: TOÁN 10
(Đề gồm có 01 trang)
Thời gian 180 phút (Không kể thời gian giao đề)
Bài 1. Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn .
Bài 2. Chứng minh rằng, với mọi số nguyên dương ta luôn có
Bài 3. Cho đường tròn và dây cung
cố định. là một điểm thay đổi trên cung lớn sao cho tam giác
nhọn, không cân. Các đường cao đồng quy tại . Gọi
lần lượt là trung điểm của . Các đường thẳng
lần lượt cắt lại đường tròn tại . Giả sử cắt tại , cắt tại . a) Chứng minh rằng vuông góc với . b) cắt lại đường tròn
tại . Đường tròn qua trung điểm của và tiếp xúc trong với tại , cắt cạnh
tại . Chứng minh rằng đường thẳng
luôn đi qua một điểm cố định khi thay đổi.
Bài 4. Với mỗi số nguyên dương , kí hiệu là số ước nguyên dương của
mà tận cùng bởi 1 hoặc 9 và là số ước nguyên dương của mà tận cùng bởi 3 hoặc 7. Chứng minh rằng
với mọi số nguyên dương .
Bài 5. Trong một giải đấu tennis (nơi không có trận hòa), có hơn vận động
viên tham gia. Mỗi ngày thi đấu, mỗi vận động viên tham gia đúng một trận đấu. Đến
khi giải đấu kết thúc, mỗi người đã đấu với mỗi người khác đúng một lần. Gọi một
người chơi là "kiên định" nếu người đó đã giành chiến thắng ít nhất một trận và sau
trận thắng đầu tiên của người này, người này không bao giờ thua. Các người chơi còn
lại được gọi là "không kiên định". Mệnh đề: “Số ngày thi đấu, mà có trận đấu giữa TRƯỜNG THPT CHUYÊN
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC
LÊ KHIẾT-QUẢNG NGÃI
DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
LẦN THỨ XV-NĂM 2024
các người chơi không kiên định, nhiều hơn một nửa của tổng số ngày thi đấu của
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN 10
giải” là đúng hay sai? Hãy giải thích./. (Gồm có 06 trang)
Bài 1. Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn . Nội dung Điểm
Giả sử tồn tại hàm số thỏa mãn 0,5 . Trong cho ta được . 0,5 Trong cho ta được . 0,5 Nếu , trong , cho ta được . Khi đó và trở thành hay
. Thử lại thấy không thỏa mãn yêu cầu bài toán. Vậy và . Giả sử tồn tại sao cho . Trong cho ta được 0,5 . Vậy . Trong cho ta được . 1,0 Do đó . Từ đó . 1,0 Với , trong thay bởi ta được . Suy ra Kết hợp với ta có . Thử lại ta thấy
thỏa mãn yêu cầu bài toán. Vậy tất cả các hàm số cần tìm là .
Bài 2. Chứng minh rằng, với mọi số nguyên dương ta luôn có Nội dung Điểm 1,5
Bổ đề. Với là số nguyên dương, ta có . Chứng minh. Ta có
Hệ số của trong khai triển của vế trái là . Mặt khác
Hệ số của trong tích trên là . Vậy bổ đề được chứng minh.
Trở lại bài toán, áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có 2,5
Trong đó nếu dấu đẳng thức xảy ra thì là hằng số với mọi
, hiển nhiên sai với mọi Do vậy
Bài 3. Cho đường tròn và dây cung
cố định. là một điểm thay đổi trên cung lớn sao cho tam giác
nhọn, không cân. Các đường cao đồng quy tại . Gọi
lần lượt là trung điểm của . Các đường thẳng
lần lượt cắt lại đường tròn tại . Giả sử cắt tại , cắt tại a) Chứng minh rằng vuông góc với . b) cắt lại đường tròn
tại . Đường tròn qua trung điểm của và tiếp xúc trong với tại , cắt cạnh
tại . Chứng minh rằng đường thẳng luôn đi
qua một điểm cố định khi thay đổi. ý Nội dung Điểm a) A K E L F O W H G M N T B D C Gọi
là đường tròn Euler của tam giác , khi đó 0,5 . 1,0 Ta có nên cùng
thuộc một đường tròn. Suy ra nên . Ngoài ra ta cũng có nên . Do đó là
trục đẳng phương của hai đường tròn . Từ đó hay vì là trung điểm của .