Đề thi HSG Toán 10 Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Điện Biên

TRƯỜNG THPT CHUYÊN
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
LÊ QUÝ ĐÔN, ĐIỆN BIÊN
KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM HỌC: 2023 - 2024 (ĐỀ ĐỀ XUẤT)
Môn: TOÁN – LỚP 10
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm 01 trang, 05 bài Đề bài
Câu 1. (4,0 điểm) Tìm tất cả các hàm số , thỏa mãn:
với mọi số thực x, y.
a. Chứng minh rằng f là một song ánh.
b. Tìm tất cả hàm số thỏa mãn điều kiện bài toán.
Câu 2. (4,0 điểm) Cho các số thực không âm thỏa mãn . Chứng minh rằng:
Câu 3. (4,0 điểm) Cho hai đường tròn và
tiếp xúc trong tại P, nằm trong .
Dây cung AB của đường tròn
tiếp xúc với đường tròn
tại C, đường thẳng PC cắt lại đường tròn
tại Q. Dây cung QR và QS của đường tròn tiếp xúc với .
a. Chứng minh Q là điểm chính giữa cung AB.
b. Gọi I, X và Y lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác APB, ARB và ASB. Chứng minh rằng .
Câu 4. (4,0 điểm) Chứng minh rằng với số nguyên dương bất kì, số
là một số nguyên nhưng không là là số chính phương.
Câu 5. (4,0 điểm) Cho tập hợp
gồm 2024 số tự nhiên liên tiếp nhau. Hỏi có
bao nhiêu cách chọn ra 3 số tự nhiên từ tập sao cho trong 3 số được chọn không có hai số nào
là số tự nhiên liên tiếp. ------Hết----- TRƯỜNG THPT CHUYÊN
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
LÊ QUÝ ĐÔN, ĐIỆN BIÊN
KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM HỌC: 2023 - 2024
HƯỚNG DẪN CHẤM THI
Môn: TOÁN – LỚP 10 (ĐỀ ĐỀ XUẤT)
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Đáp án gồm 01 trang 05 bài I. HƯỚNG DẪN CHUNG
1. Giám khảo chấm đúng như đáp án, biểu điểm.
2. Nếu thí sinh có cách trả lời khác đáp án nhưng đúng thì giám khảo vẫn chấm điểm theo biểu
điểm của Hướng dẫn chấm thi.
3. Giám khảo không quy tròn điểm thành phần của từng câu, điểm của bài thi.
II. ĐÁP ÁN, BIỂU ĐIỂM
Câu 1 (4,0 điểm)
Tìm tất cả các hàm số , thỏa mãn: (1) với mọi số thực x, y.
a. Chứng minh rằng f là một song ánh.
b. Tìm tất cả hàm số thỏa mãn điều kiện bài toán. Nội dung trình bày Điểm a. Kí hiệu là phép thế vào (1).
+, Giả sử tồn tại các số thực a, b sao cho . Xét và , ta có: 1,0 và , từ đây suy ra nên f là đơn ánh. +, Xét , ta có: suy ra
(do f đơn ánh) nên 1,0 +, Xét , ta có: , tới đây ta cho , ta thu được
, từ đây suy ra f toàn ánh. Từ đây suy ra f là một song ánh.
b. +, Do f toàn ánh nên tồn tại số thực a sao cho . +, Xét , ta thu được: , từ đây suy ra 1,5 do f toàn ánh.
+, Thay vào đề bài ta thu được 0,5
Câu 2 (4,0 điểm)
Cho các số thực không âm thỏa mãn . Chứng minh rằng: Nội dung trình bày Điểm Vì nên 0,5 0,5 1,0 Do đó Đặt thì ta có 1,0 , Vậy
(theo Định lý S.O.S). 1,0
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
. BĐT (1) được chứng minh.
Câu 3 (4,0 điểm) Cho hai đường tròn và
tiếp xúc trong tại P, nằm trong . Dây cung AB của đường tròn
tiếp xúc với đường tròn
tại C, đường thẳng PC cắt lại đường tròn
tại Q. Dây cung QR và QS của đường tròn tiếp xúc với .
a. Chứng minh Q là điểm chính giữa cung AB.
b. Gọi I, X và Y lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác APB, ARB và ASB. Chứng minh rằng . Nội dung trình bày Điểm B Q X R C I O2 O P 1 0,5 A Y S a. Gọi
là điểm chính giữa cung AB, khi đó: nên , mặt khác ta có: , từ đây suy ra thẳng hàng nên suy ra điều 0,5 phải chứng minh.
b. +, Giả sử QS tiếp xúc với tại
. Do SQ là phân giác của góc ASB và nên
là tâm nội tiếp của tam giác ASB nên . Chứng minh tương 1,0
tự ta có X chính là tiếp điểm của QR với .
+, Tương tự ta cũng có PX, PY lần lượt đi qua điểm chính giữa cung QR, QS. Khi đó: và 1,0 Từ hai điều trên suy ra 1,0
suy ra điều phải chứng minh.
Câu 4. (4,0 điểm) Chứng minh rằng với số nguyên dương bất kì, số