Đề thi HSG Toán 10 Trường THPT Chuyên Lê Quý Đông - Đà Nẵng

SỞ GD-ĐT THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG
KỲ THI CHỌN HSG GIỎI CÁC TRƯỜNG TRƯỜNG THPT CHUYÊN
THPT CHUYÊN VÙNG DUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN
HẢI VÀ ĐBBB LẦN THỨ XV NĂM HỌC 2023-2024 ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ
Môn thi: TOÁN HỌC 10
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1. (4,0 điểm)
Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn với mọi
Câu 2. (4,0 điểm) Cho và các số thực thỏa mãn . Tìm giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Câu 3. (4,0 điểm) Cho tam giác nội tiếp đường tròn tâm . Gọi là các điểm nằm trên cạnh sao cho là đẳng giác trong góc . Các đường thẳng cắt lại lần lượt tại . Gọi
lần lượt là tâm của đường
tròn Euler của các tam giác , , và . Gọi là giao điểm của và và là giao điểm của và . a) Chứng minh . b) Chứng minh .
Câu 4. (4,0 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên dương thỏa mãn .
Câu 5. (4,0 điểm)
Mỗi điểm nguyên có các tọa độ không âm trên mặt phẳng tọa độ được gán cho
một số nguyên không âm theo quy tắc sau đây: Điểm
được gán số ; với mọi
, tập các số được gán cho các điểm (x y), (x y + 1) và (x + 1 y) là
với số nguyên không âm nào đó. Xác định tất cả các số có thể gán được cho điểm . ---Hết---
SỞ GD-ĐT THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG
KỲ THI CHỌN HSG GIỎI CÁC TRƯỜNG TRƯỜNG THPT CHUYÊN
THPT CHUYÊN VÙNG DUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN
HẢI VÀ ĐBBB LẦN THỨ XV NĂM HỌC 2023-2024
ĐÁP ÁN ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN: TOÁN 10
Câu 1. (4,0 điểm)
Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn (1) với mọi Gọi là phép thế vào phương trình hàm (1) và . Suy ra với mọi . Kết hợp ta được ra với mọi
và do đó là đơn ánh và toàn ánh. Từ (1) suy ra với mọi . Đổi vai trò của ta cũng nhận được với mọi . Suy ra (2) Thay vào (2), ta được . Do là đơn ánh và nên . Suy ra
( là hằng số) với mọi . Lại do nên với mọi Thay vào (1) ta tìm được . Giả sử tồn tại sao cho .
Do là song ánh nên (1) có thể viết lại thành (3) Trong (3), từ ta được 2 . Nếu thì suy ra vô lý. Nếu thì suy ra vô lý. Vậy với mọi và với mọi
là tất cả các hàm số thỏa
mãn phương trình hàm đã cho.
Câu 2. (4,0 điểm) Cho và các số thực thỏa mãn
. Tìm giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Với mọi , với thì và với thì .
Ta sẽ chứng minh với mọi và thì . Nhận xét rằng, nếu không âm và thì hay .
Vì thế, ta chỉ cần chứng minh: với mọi không âm, và thì . Lại do nên ta sẽ chứng minh là đủ.
Thật vậy, theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có và nên
Vậy GTLN của bằng và GTNN của bằng . Câu 3. Cho tam giác nội tiếp đường tròn tâm . Gọi là các điểm nằm trên cạnh sao cho là đẳng giác trong góc . Các đường thẳng cắt lại lần lượt tại . Gọi
lần lượt là tâm của đường
tròn Euler của các tam giác , , và . Gọi là giao điểm của và và là giao điểm của và . 3 a) Chứng minh . b) Chứng minh . a) Ta có và . Gọi và . Vì nên . Suy ra 4 điểm đồng viên.
Tương tự, ta cũng có 4 điểm đồng viên. Vì thế . Xét phép vị tự tâm tỉ số 2, biến lần lượt thành . Chú ý rằng,
là trực tâm các tam giác và . Gọi là trực tâm tam giác . Do nên 4 điểm đồng viên. Tương tự, cũng đồng viên.
Bằng biến đổi góc suy ra , và ta có . Suy ra .
b) Áp dụng định lý Pascal cho , ta được thẳng hàng, trong đó . Gọi
lần lượt là trung điểm của và . Do là tâm của và cũng là tâm của và do là một đỉểm chung nên . Tiếp theo, ta chứng minh .
Bằng biến đổi đơn giản các tỉ số, suy ra .
Áp dụng định lý Desargues cho và ta có .
Từ các kết quả trên suy ra .
Câu 4. (4,0 điểm) 4