Đề thi HSG Toán 10 Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông - Quảng Nam

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
KHU VỰC DUYÊN HẢI, ĐỒNG BẰNG LẦN THỨ XV BẮC BỘ
MÔN THI: TOÁN – KHỐI 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN Ngày thi: LÊ THÁNH TÔNG
Thời gian làm bài: 180 phút ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
Câu 1. (4,0 điểm) Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn: và .
Câu 2. (4,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng . Câu 3. (4,0 điểm). Cho hai đường tròn và
cắt nhau tại hai diểm A và B. Các tiếp tuyến của
tại A và B cắt nhau tại K. Gọi M là điểm trên
nhưng không trùng A và B.
Đường thẳng AM cắt
tại P, đường thẳng KM cắt
tại C và đường thẳng AC cắt tại Q.
a) Gọi N là giao điểm của MK và PQ. Chứng minh N là trung điểm của PQ.
b) Chứng minh đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi trên đường tròn .
Câu 4. (4,0 điểm) . Biết , giả sử .
Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho: .
Câu 5. (4,0 điểm). Trong mỗi ô của một bảng hình chữ nhật gồm 9 hàng và 2024 cột,
người ta điền một số tự nhiên từ 1 đến 2024, mỗi số được viết 9 lần, sao cho hiệu
của hai số bất kỳ trên một cột không lớn hơn 3. Với mỗi cách điền thỏa mãn yêu
cầu bài toán, gọi tổng nhỏ nhất trong số 2024 tổng các số nằm trên cùng một cột
là tổng nhỏ nhất của cách điền đó.
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng nhỏ nhất.
b) Tìm giá trị lớn nhất của tổng nhỏ nhất .==== Hết ====
HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
KHU VỰC DUYÊN HẢI, ĐỒNG BẰNG LẦN THỨ XV BẮC BỘ
MÔN THI: TOÁN – KHỐI 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN Ngày thi: LÊ THÁNH TÔNG
(Hướng dẫn chấm này gồm có … trang)
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI ĐỀ XUẤT Câu 1
Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn: và (4,0 điểm) . Thay vào (1) ta có 1,0 Nên 1.0 Thay vào (2) ta có 1,0 (vì ) Thay vào (2) ta có 1,0 (vì ) Mà Thử lại thấy đúng.
Vậy có duy nhất một hàm số thỏa yêu cầu bài toán là . Câu 2
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng (4,0 điểm) . Ta có , 1,0
Do đó bất đẳng thức đã cho tương đương với 1.0 Cộng thêm đại lượng
vào hai vế, ta thu được 1.0
Sử dụng bất đẳng thức cauchy-schwarz dạng cộng dồn mẫu, ta có ngay 1.0
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c. Câu 3 (4,0 điểm)