Đề thi HSG Toán 10 Trường THPT Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm - Quảng Nam

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
KHU VỰC DUYÊN HẢI, ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ LẦN THỨ XV TRƯỜNG THPT CHUYÊN
MÔN THI: TOÁN – KHỐI 10 NGUYỄN BỈNH KHIÊM Ngày thi 16/07/2024
Thời gian làm bài 180 phút ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
(Đề này có 5 câu; gồm 01 trang)
Câu 1. (4,0 điểm) Cho
là các số thực dương thỏa mãn
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Câu 2. (4,0 điểm) Cho các số nguyên dương đôi một khác nhau có và thỏa mãn , ,
. Chứng minh rằng không tồn tại tam
giác có độ dài các cạnh là .
Câu 3. (4,0 điểm) Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn , với mọi .
Câu 4. (4,0 điểm) Cho tam giác nội tiếp đường tròn . Gọi và lần lượt là trung điểm của các cung và
không chứa đỉnh thứ ba. Gọi là trung điểm của cung chứa điểm
là tâm đường tròn nội tiếp . Gọi là
đường tròn tiếp xúc với và tiếp xúc trong với tại và gọi là đường tròn tiếp xúc với và tiếp xúc trong với tại
. Chứng minh rằng đường thẳng
và đường thẳng đi qua hai giao điểm của
cắt nhau tại một điểm nằm trên
Câu 5. (4,0 điểm) Cho bảng ô vuông kích thước
, ô vuông có kích thước
được gọi là ô vuông đơn vị. Mỗi ô vuông đơn vị được tô bởi một trong hai màu
đen hoặc trắng. Biết rằng tất cả các ô vuông đơn vị ở đường viền của bảng được tô
màu đen và không có bảng ô vuông con
nào của bảng được tô bởi bốn ô
vuông đơn vị cùng màu. Chứng minh rằng tồn tại một bảng ô vuông con được
tô như hình bàn cờ vua, tức là có hai ô vuông đơn vị đen đối diện, hai ô vuông đơn
vị trắng đối diện (giả sử như hai hình bên dưới).
--------- HẾT --------- Họ tên người ra đề: 1. Lê Đình Nhật Điện thoại: 0911068005. 2. Bùi Xuân Toàn Điện thoại: 0985477797.
HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
KHU VỰC DUYÊN HẢI, ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ LẦN THỨ XV TRƯỜNG THPT CHUYÊN
MÔN THI: TOÁN – KHỐI 10 NGUYỄN BỈNH KHIÊM Ngày thi 16/07/2024
Thời gian làm bài 180 phút
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI ĐỀ XUẤT (HDC gồm 06 trang) Câu 1. Điểm Cho
là các số thực dương thỏa mãn
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 4,0 . Ta có: 0,75 0,75 Suy ra Tương tự: ; 0,5 . Suy ra Lại có: 0,5 (do ) 0,5 (do ) 1,0 Suy ra hay Đẳng thức xảy ra khi .
Vậy giá trị lớn nhất của bằng khi . Câu 2. Điểm Cho các số nguyên dương đôi một khác nhau có và thỏa mãn , ,
. Chứng minh rằng không tồn tại tam giác có độ 4,0 dài các cạnh là . Đặt . Giả sử . Ta có: (vì ). 1,0 hay (mâu thuẫn vì ) Suy ra . Tương tự hay ra
đôi một nguyên tố cùng nhau. Mặt khác, 1.0 . Tương tự chia hết cho và cho . 0,75 Mà
đôi một nguyên tố cùng nhau nên (1)
Giả sử tồn tại tam giác có độ dài các cạnh là . 0,75
Ta dễ dàng chứng ming được (2)
Từ (1) và (2) suy ra được (vô lí) 0.5
Vậy ta có điều phải chứng minh. Câu 3. Điểm
Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn , với mọi 4,0 . Ta có: , . (1) Từ (1) thay bởi ta được (2) 1,0 Giả sử tồn tại mà . Chọn , thay lần lượt vào (2) ta được suy ra đơn ánh. Từ (1) thay bởi ta được (3) Từ (3) thay ta được 1.0 Do đơn ánh nên (4) Thay vào (4) suy ra tồn tại sao cho . Từ (1) thay ta được Suy ra Suy ra 1,0 Chọn
và thay vào (1), đồng nhất ta tìm được . Suy ra Chọn , thay vào (1) ta được , suy ra 0,75 suy ra hay tức
Tương tự như trên, ta thu được .