Đề thi HSG Toán 10 Trường THPT Chuyên Nguyễn Tất Thành - Yên Bái

TRƯỜNG THPT CHUYÊN
KỲ THI OLYMPIC CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH
KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ YÊN BÁI
LẦN THỨ XV NĂM 2024 MÔN: TOÁN
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu)
Câu 1. (4,0 điểm) Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn , với mọi .
Câu 2. (4,0 điểm) Cho
là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng .
Câu 3. (4,0 điểm) Cho đường tròn và dây cung
khác đường kính. Gọi là một điểm thuộc dây cung sao cho
không là trung điểm của . Hai đường tròn và cùng đi qua
và tiếp xúc trong với đường tròn . Gọi
là giao điểm thứ hai của và . Đường thẳng cắt tại và . Đường tròn cắt và
lần lượt tại và . Đường tròn cắt và
lần lượt tại và . Chứng minh rằng a) Tứ giác là hình thang cân. b) là trung điểm của .
Câu 4. (4,0 điểm) Với mỗi số nguyên dương , kí hiệu
là tổng các chữ số trong biểu diễn theo hệ thập phân của .
a) Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương sao cho .
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Câu 5. (4,0 điểm) Cho là một tập hợp gồm phần tử. Kí hiệu
là tập hợp gồm tất cả các
tổng của phần tử bất kì (không nhất thiết phân biệt) trong , tức là . Chứng minh rằng , trong đó
là kí hiệu số phần tử của .
---------- HẾT ----------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. TRƯỜNG THPT CHUYÊN
KỲ THI OLYMPIC CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH
KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ YÊN BÁI
LẦN THỨ XV NĂM 2024 MÔN: TOÁN
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM
(Hướng dẫn chấm có 05 trang)
Câu 1. (4,0 điểm) Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn , với mọi . Giải. 
là một đơn ánh. Thật vậy, giả sử . Từ ta có . Khi đó , chứng tỏ đơn ánh. 
là một toàn ánh. Cố định . Do vế phải của
có tập giá trị là nên vế trái của
cũng thế, thành ra nhận toàn bộ giá trị
thuộc , nói cách khác là một toàn ánh. 1,0 điểm
 Do là một song ánh nên tồn tại sao cho . Trong cho và ta được , . Mà là song ánh nên , . Thế thì và . Từ đó ta có . 1,0 điểm  Trong lại cho ta được , . Bây giờ trong cho và thay bởi ta được , . Kết hợp với ta được , .  Trong cho ta được , , kéo theo , . Từ đó suy ra , . Kết hợp với
ta suy ra vừa cộng tính vừa đơn điệu tăng.
Theo kết quả về phương trình hàm Cauchy thì với . Mà nên với mọi . 1,5 điểm
Thử lại ta thấy hàm số như trên thỏa mãn. 0,5 điểm
Câu 2. (4,0 điểm) Cho
là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng . Giải.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta được , suy ra .
Lập hai bất đẳng thức tương tự và cộng vế ba bất đẳng thức đó lại ta được . 1,5 điểm Do đó ta cần chứng minh . Thật vậy, đặt . Khi đó
. Hơn nữa theo bất đẳng thức AM - GM ta có . Từ đó ta có . 1,5 điểm
Đến đây ta cần chứng minh .
Bất đẳng thức trên tương đương với . Vì
nên dễ thấy bất đẳng thức trên đúng. Vậy ta có bất đẳng thức cần chứng minh. 1,0 điểm
Câu 3. (4,0 điểm) Cho đường tròn và dây cung
khác đường kính. Gọi là một điểm thuộc dây cung sao cho
không là trung điểm của . Hai đường tròn và cùng đi qua
và tiếp xúc trong với đường tròn . Gọi
là giao điểm thứ hai của và . Đường thẳng cắt tại và . Đường tròn cắt và
lần lượt tại và . Đường tròn cắt và
lần lượt tại và . Chứng minh rằng a) Tứ giác là hình thang cân. b) là trung điểm của . Giải.
a) (2,0 điểm) Vì dây cung
khác đường kính nên tiếp tuyến tại và của cắt nhau
tại một điểm nào đó.
Theo tính chất của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung ta có . Suy ra . Tương tự . Do đó là hình thang. 1,0 điểm
Ta thấy đường nối tâm của và là trung trực của nên nó vuông góc với ,
thành ra nó cũng vuông góc với và
. Khi đó đường nối tâm nói trên chính là trung trực chung của và . Do đó tứ giác là hình thang cân. 1,0 điểm b) (2,0 điểm) Vì
là trục đẳng phương của hai đường tròn và nên nó đi qua tâm
đẳng phương của ba đường tròn , và . Khi đó
là một tứ giác điều hòa. Suy ra
là đường đối trung của tam giác . 1,0 điểm Lại thấy và
có chung đường trung trực nên là hình thang cân,