Đề thi HSG Toán 10 Trường THPT Chuyên Thái Nguyên

SỞ GD &ĐT THÁI NGUYÊN
ĐỀ ĐỀ XUẤT KỲ THI HỌC SINH GIỎI KHU VỰC TRƯỜNG THPT CHUYÊN
DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ ĐỀ ĐỀ XUẤT NĂM 2024
Môn: TOÁN – KHỐI 10
Thời gian: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (4,0 điểm) : Giả sử
là các hàm số thỏa mãn điều kiện . Tính .
Câu 2 (4,0 điểm): Cho
là ba số thực dương thỏa mãn
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Câu 3 (4,0 điểm): Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, phân giác trong cắt đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm
. Đường tròn đường kính DE cắt (O) tại F khác E. Kẻ
đường kính EH của (O). Chứng minh
a) EF, AD, BH đồng quy.
b) FD là phân giác của góc AFC.
Câu 4 (4,0 điểm): Cho là một số nguyên dương, trong mặt phẳng cho
điểm phân biệt trong đó
không có 3 điểm nào thẳng hàng. Biết rằng số đường thẳng đi qua 2 điểm trong điểm trên là một số
chính phương. Tìm tất cả các giá trị của .
Câu 5 (4,0 điểm): Trong hệ trục tọa độ
, một đường đi từ đến là một dãy các điểm
thỏa mãn các điều kiện: hoặc
a) Đếm số đường đi từ điểm có tọa độ
đến điểm có tọa độ
b) Một đường đi từ đến được gọi là đẹp nếu
. Đếm số đường đi đẹp từ điểm đến điểm HẾT
SỞ GD &ĐT THÁI NGUYÊN
KỲ THI HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI TRƯỜNG THPT CHUYÊN
VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ ĐỀ ĐỀ XUẤT NĂM 2024
Môn: TOÁN – KHỐI 10
Thời gian: 180 phút, không kể thời gian phát đề HƯỚNG DẪN CHẤM Câu 1. Giả sử
là các hàm số thỏa mãn điều kiện 4,0 . Tính .
Lời giải. Thay bởi ta được 1,0 1,0 Suy ra . Từ đó 1,0 Hay 1,0 Từ đó . Câu 2. Cho
là ba số thực dương thỏa mãn . 4,0
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . 1,0 Lời giải. Ta có 1,0 1,0 . 1,0 Dấu xảy ra khi và chỉ khi
, khi đó giá trị nhỏ nhất của là .
Câu 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, phân giác trong cắt
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm
. Đường tròn đường kính DE cắt
(O) tại F khác E. Kẻ đường kính EH của (O). Chứng minh 4,0
a) EF, AD, BH đồng quy.
b) FD là phân giác của góc AFC. Lời giải.
a) Gọi M là trung điểm của AC thì tứ giác DFEM, DBHM nội tiếp, do đó ba đường 1,0
thẳng EF, DM, BH đồng quy tại K. 2,0 b) Ta có . 1,0 Từ đó
mà DF vuông góc với FE nên FD là phân giác góc AFC.
Câu 4 : Cho là một số nguyên dương, trong mặt phẳng cho điểm phân biệt
trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Biết rằng số đường thẳng đi qua 2 điểm 4,0 trong
điểm trên là một số chính phương. Tìm tất cả các giá trị của . Lời giải. 1,0
Số đường thẳng đi qua 2 điểm trong điểm trên là . 1,0 Ta có . Đặt thì
là nghiệm của phương trình (1) Đảo lại, nếu
là nghiệm của phương trình trên thì lẻ, do đó thỏa mãn 1,0 đề bài.
Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là
nên (1) có nghiệm là dãy thỏa mãn Với ta có . Từ đó dãy xác định bởi 1,0 là dãy cần tìm.
Từ đây ta xác định được các số nguyên dương thỏa mãn yêu cầu là là
các số hạng của dãy số xác định như trên.
Câu 5 (4,0 điểm): Trong hệ trục tọa độ
, một đường đi từ đến là một dãy các 4,0 điểm
thỏa mãn các điều kiện: hoặc
a) Đếm số đường đi từ điểm có tọa độ
đến điểm có tọa độ
b) Một đường đi từ đến được gọi là đẹp nếu . Đếm số đường đi đẹp từ điểm đến điểm Lời giải.
Mỗi đường đi thỏa mãn có đúng
đoạn thẳng đi lên (mỗi đoạn có độ dài bằng 1 1,0 đơn vị) và có đúng
đoạn thẳng đi sang ngang (mỗi đoạn có độ dài bằng 1 đơn
vị). Vậy số đường đi thỏa mãn là: đường. 1,0 Gọi
Một đường đi từ A đến B nếu không phải là đường đi đẹp thì ta gọi là một đường đi
xấu. Xét một đường đi “xấu”
từ A đến B. Giả sử đường này cắt đường thẳng d có
phương trình y = x tại điểm C. Khi đó gồm hai phần:
từ A đến C và từ C đến B. Lấy đối xứng với
qua d ta được phần đường . Xét đường đi gồm hai phần:
từ A’ đến C và từ C đến B. 1,0 Rõ ràng
luôn là một đường “xấu”.
có tương ứng với duy nhất một đường và ngược lại. Vậy Như vậy mỗi đường
số đường “xấu” từ A đến B bằng số đường đi từ A’ đến B và bằng 1,0
Vậy số đường đẹp từ A đến B bằng
………………………HẾT……………………..