Đề thi HSG Toán 10 Trường THPT Chuyên Trần Phú - Hải Phòng

TRƯỜNG THPT
KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN CHUYÊN TRẦN PHÚ
KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ ĐỀ ĐỀ XUẤT
LẦN THỨ XV, NĂM 2024
ĐỀ THI MÔN TOÁN – KHỐI 10
(Đề thi gồm 01 trang)
Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (4,0 điểm). Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn trong đó
là một hằng số thực cho trước.
Câu 2 (4,0 điểm). Cho thỏa mãn . Chứng minh rằng .
Câu 3 (4,0 điểm). Cho đường tròn
và điểm nằm ngoài đường tròn sao cho . Trung trực của cắt tại và . Đoạn thẳng cắt tại . Trung trực của cắt tại và . Các tia và cắt tại và tương
ứng. Chứng minh rằng các tam giác và
là các tam giác đều và các đường thẳng và đồng quy.
Câu 4 (4,0 điểm). Gọi là số nguyên tố thứ
theo thứ tự tăng dần. Chứng minh rằng
tồn tại các số nguyên tố phân biệt thỏa mãn .
Câu 5 (4,0 điểm). Cho số nguyên tố
. Gọi là số các hoán vị của thỏa mãn . Chứng minh rằng . ------- HẾT -------
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh: . . . . . . . . . .
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN – KHỐI 10 Câu Nội dung Điểm
Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn trong đó
là một hằng số thực cho trước. Ta chứng minh
là hàm số duy nhất thỏa mãn. -) Nếu tồn tại sao cho
thì đề bài chỉ đúng với . 1,0 đ Do đó nếu thì (để ) phải thuộc . Hay thì , thì . -) Nếu , chọn (để ) thì Câu 1 (4,0 điểm) +) Nếu thì 1,5 đ , loại. Tương tự suy ra . -) Khi bất kỳ, chọn thì và . 1,5 đ Ta có , từ đó . Thử lại thỏa mãn. Câu 2 Cho thỏa mãn . Chứng minh rằng (4,0 điểm) . Sử dụng và , theo 2,0 đ Cauchy – Schwarz ta có Suy ra . Từ đó ta có 1,0 đ 1,0 đ
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi và các hoán vị. Câu 3 Cho đường tròn
và điểm nằm ngoài đường tròn sao cho . Trung (4,0 trực của cắt tại và . Đoạn thẳng cắt tại . Trung trực của điểm) cắt tại và . Các tia và cắt tại và tương
ứng. Chứng minh rằng các tam giác và
là các tam giác đều và các đường thẳng và đồng quy. A' Q C B P O S A C' R B'
Không mất tính tổng quát xét trường hợp hình vẽ. Các trường hợp khác hoàn toàn tương tự. -) Do là hình thoi nên . Mà nên là hình thang cân. 1,5 đ Do đó là trung trực của . Từ đó . Suy ra .
-) Gọi là giao điểm của và
thì nằm trên trục đối xứng của hình thang cân .
Xét phép nghịch đảo đường tròn biến
thành đường tròn ngoại tiếp , do nên cũng biến thành .
Mà phép nghịch đảo đường tròn biến thành đường tròn , do 1,5 đ nên thuộc đường tròn . Do đó . Từ và suy ra các tam giác và là các tam giác đều. -) Từ phần trên suy ra
là hình thang cân có trục đối xứng . 0,5 đ Do đó đồng quy tại .
-) Xét phép đối xứng trục ta có nên . Do nên . 0,5 đ Từ và ta có đpcm. Gọi là số nguyên tố thứ
theo thứ tự tăng dần. Chứng minh rằng tồn tại các số
nguyên tố phân biệt thỏa mãn . -) Chọn . Khi đó .
Giả sử ta đã chọn được sao cho . Trong hai số và luôn có ít nhất một số , gọi số đó là . 2,0 đ
Theo định lý thặng dư Trung Hoa hệ có Câu 4 (4,0 vô hạn nghiệm dạng
, trong đó là một nghiệm cố điểm) định.
-) Theo quy nạp và cách chọn ta có nên . 1,0 đ Do trong cấp số cộng
có vô hạn số nguyên tố nên ta
luôn chọn được số nguyên tố trong đó sao cho . -) Như vậy . 1,0 đ Từ đó , suy ra đpcm. Câu 5 Cho số nguyên tố
. Gọi là số các hoán vị của thỏa (4,0 điểm) mãn . Chứng minh rằng . -) Ta gọi một hoán vị
là “kiểu cấp số cộng” nếu tồn tại sao cho (theo mod ). 1,0 đ Rõ ràng có tất cả
hoán vị kiểu cấp số cộng. -) Với mỗi hoán vị ta gọi: +) Hoán vị “
tịnh tiến” là hoán vị (theo mod ) . 0,5 đ +) Hoán vị “ quay” là hoán vị (chỉ số cũng theo mod ) .
-) Ta gọi một hoán vị thỏa mãn đề bài là một hoán vị “tốt”.
Dễ thấy với mỗi hoán vị tốt, không phải kiểu cấp số cộng thì các hoán vị tịnh tiến và quay cũng đều là tốt. 1,0 đ
Ta gọi các hoán vị này là với
thì không tồn tại hai cặp số phân biệt sao cho .
-) Chia các hoán vị tốt, không phải kiểu cấp số cộng thành các nhóm, mỗi 1,0 đ