Đề thi HSG Toán 10 Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÙNG DH&ĐB BẮC BỘ
LẦN THỨ XV, NĂM 2024
ĐỀ THI MÔN: TOÁN HỌC - LỚP 10
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
Ngày thi: ……tháng 7 năm 2024
(Đề thi gồm 01 trang)
Câu 1. (4 điểm) Cho các đa thức hệ số thực xác định như sau
a. Xác định công thức tổng quát của
b. Tìm tất cả các số tự nhiên để chia hết cho
Câu 2. (4 điểm) Cho ba số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
Câu 3. (4 điểm) Cho tam giác
nội tiếp đường tròn tâm là các đường cao và là trực tâm tam giác.
là đường kính của đường tròn Các đường thẳng qua vuông góc với cắt lần lượt tại
a. Chứng minh rằng tứ giác là hình chữ nhật.
b. Kí hiệu tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác là
Định nghĩa tương tự cho các điểm Chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Câu 4. (4 điểm) Cho là một số nguyên lớn hơn 1 và tập
chứa vô hạn các số có dạng với
a. Chứng minh rằng tồn tại một số để từ có thể lấy ra một tập con có vô số
phần tử mà mỗi cặp hai số bất kì trong thì đều không nguyên tố cùng nhau.
b. Chứng minh rằng với mọi tồn tại một tập con của có vô hạn phần tử mà hai
số bất kì trong luôn nguyên tố cùng nhau.
Câu 5. Cho tập hợp
Một cấp số cộng gọi là 18+ nếu nó gồm đúng
số phân biệt ở trong và có công sai dương. Chứng minh rằng có một cách tô các số trong
bằng hai màu trắng, đen sao cho bất kì cấp số cộng 18+ nào cũng được tô bởi cả 2 màu.
………………………HẾT………………………
Họ và tên thí sinh: …………………………………… Số báo danh:………………………
HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÙNG DH&ĐB BẮC BỘ
LẦN THỨ XV, NĂM 2024
MÔN: TOÁN HỌC - LỚP 10
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
(Hướng dẫn chấm gồm 5 trang)
Câu 1. (4 điểm) Cho các đa thức hệ số thực xác định như sau Điểm
a. Xác định công thức tổng quát của
b. Tìm tất cả các số tự nhiên để chia hết cho
1. Đầu tiên ta xét phương trình đặt trưng của dãy đa thức trên: 0,5 Do đó dãy có dạng Mặt khác do nên suy ra . 1,0 Do đó
. Thử lại thấy thỏa mãn. 1,5 2. Do đa thức có 2 nghiệm là và nên để chia hết cho Q(x) thì P(x) nhận làm nghiệm. TH1: Khi đó:
Theo công thức Moivre ta có: TH2: Khi đó:
Theo công thức Moivre ta có: 1,0
Kết hợp cả hai dữ kiện trên ta được: .
Câu 2. (4 điểm) Cho ba số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng: Điể m
Bổ đề : Cho a, b, c là ba số dương. Khi đó Quay lại bài toán.
Đầu tiên ta sẽ chứng minh 1,5
Điều này tương đương với Hay Ta có các BĐT sau: 1,0