Đề thi HSG Toán 11 năm 2025-2026

SỞ GD&ĐT HÀ NỘI
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
TRƯỜNG THPT PHÚ XUYÊN B Năm học 2025 - 2026 Môn Toán - lớp 11
(Đề thi có 02 trang)
Thời gian làm bài: 150 phút Câu I: (4,0 điểm).
1. Cho phương trình lượng giác: 2
2cos x 3sinx  0 (1).
a. Giải phương trình (1).
b. Tìm các nghiệm của phương trình (1) trong đoạn  3 2;    . 2   
2. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình: 2
2cos x 3sinx  2m 3  0 vô nghiệm. Câu II: (3,0 điểm).
1. Cho các số thực x, y thỏa mãn các điều kiện 5x  y , 2x  3y , x  2y theo thứ tự lập thành cấp số cộng,
và các số  y  2
1 , xy 1, x  2
1 theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Tìm x, y .
2. Học sinh Nam tới Hội chợ Xuân 2026 và tham gia trò chơi ném bóng, mỗi lần ném người chơi phải đặt
cược một số tiền sau đó mới được chơi. Lần chơi đầu tiên Nam đặt 20 000 đồng, mỗi lần chơi tiếp theo tiền
đặt gấp đôi lần tiền đặt cược trước. Nam chơi thua 9 lần liên tiếp và thắng ở lần thứ 10. Hỏi Nam thắng hay thua bao nhiêu tiền?
Câu III: (5,0 điểm). 1. Tính giới hạn:    .   3 3 lim x 1 x x x 
 2x 1  x
2. Tìm m để hàm số f x  khi x 1 2   x 1 liên tục trên .  2 5  x  mx khi x 1
3. Cho tam giác đều A B C có cạnh a . Người ta dựng tam giác đều A B C có cạnh bằng đường cao của 1 1 1 2 2 2
tam giác A B C , dựng tam giác đều A B C có cạnh bằng đường cao của tam giác A B C và cứ tiếp tục như 1 1 1 3 3 3 2 2 2
vậy sẽ nhận được một dãy các tam giác. Tính tổng diện tích S của tất cả các tam giác đều
A B C , A B C , A B C . . 1 1 1 2 2 2 3 3 3 Câu IV: (7,0 điểm).
Cho hình chóp S.ABCD , có đáy là hình bình hành. G là trọng tâm của tam giác SAC . Gọi I là điểm nằm trong tam giác SAB .
1. Xác định giao điểm E của đường thẳng IG với mặt phẳng SCD .
2. Trên đoạn AC lấy điểm F ( F khác A và C ). Gọi   là mặt phẳng qua F và song song với hai đường
SC, BD . Xác định giao tuyến (nếu có) của   với các mặt của hình chóp S.ABCD .
3. Gọi M là điểm thay đổi trên cạnh SB ( M khác S và B ). Đường thẳng MG cắt SD tại N . Chứng
minh rằng giá trị biểu thức SB SD T  
không phụ thuộc vào vị trí của điểm M . SM SN Câu V: (1,0 điểm)
Cho dãy số u được xác định bởi: u  5, và 1 u   
với mọi n ,n  1. Chứng minh rằng:  u u n  2n n 9 1  n  1 5
1. u là dãy số tăng. n  2. 1 1 1 1  
 , với mọi n ,n  1. u  2 u  2 u  2 2 1 2 2026
----------------------Hết-----------------------
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: 1. a.  2    x 5 2 1 sin
 3sinx  0  x   k2, x 
 k2 k   . 6 6 b.  3   11 7  5 x 2; x    ; ; ;        .  2   6 6 6 6  2. 2
2cos x 3sinx  2m 3  0   2
2 1sin x 3sinx 2m3  0. Đặt x  t t   2 sin ,
1;1  2t  3t  5  2m .
Vẽ đồ thị hàm số f t 2
 2t  3t  5 , ta thấy f t  49 ;0    . 8     2m  0  m  0
Để phương trình vô nghiệm thì:  49   49 . 2m   m   8  16 Câu 2:
1. Theo bài ta có: 5x  y  x  2y  2 2x 3y  và  y  2 x  2  xy  2 1 . 1 1        x y   14 4 9 9 ; 0;0 ,  ; , ; .   9 9   4 14  
2. Số tiền Nam đặt mỗi lần lập thành 1 cấp số nhân u  20000,q  2 . 1 9
Số tiền Nam có sau 10 lần chơi là: 9 2 1 200002  20000
 20000 (đồng) > 0  Nam thắng. 2 1 Câu 3: 3 2 3
x  3x  3x 1 x  x 1. lim 3 3
x 1 x  x     lim x
x  x  2 1  x 1 3 3
x  x   3 3 x  x 2 4 1 3  2 x x 3  lim   1 . 2 2 x 111  1   1  1  1     3   3 1 1 1 1     2 2 x x x x        2 2x 1  x 2x 1 x x   1 2. Ta có: 0 lim  lim    .  lim 0  2 x 1 x 1 x 1  
 2x  1 2x1 x x 1 
x  1 2x1 x 4
Để f x liên tục trên  thì 2
51  m1 0  m  5 . 2 2 2
3. Dễ dàng nhận thấy a 3 3a 3 9a 3 S  , S  , S 
 S , S , S ,. . lập thành 1 cấp số nhân lùi vô hạn 1 2 3 1 2 3 4 16 64 2 a 3 2 với a 3 3 u1 4 2 u  ,q   S    a 3 . 1 4 4 1 q 3 1 4 Câu 4:
1. E  MY  IG .
2. TH1: F OA TH2: F OC