Đề thi HSG Toán 11 Trường THPT Chuyên Bắc Giang

SỞ GD&ĐT BẮC GIANG
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI
TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC GIANG
VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM HỌC 2023 - 2024
(Đề thi đề xuất)
Môn: Toán – Lớp 11
(Thời gian: 180 phút – không kể thời gian giao đề) Câu 1 (4 điểm). Cho dãy số xác định bởi , , ∀ n ∈ ℕ .
a) Với c = 4, tìm giới hạn dãy số biết . b) Tìm c để dãy hội tụ.
Câu 2 (4 điểm). Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn: với mọi .
Câu 3 (4 điểm). Tìm tất cả các số a, n nguyên dương, p nguyên tố thỏa mãn .
Câu 4 (4 điểm). Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi M, N, P lần lượt là
trung điểm của BC, CA, AB. S là giao điểm thứ hai của các đường tròn (OBN) và
(OCP). Q là giao điểm thứ hai của các đường tròn (ABN) và (ACP). R là giao điểm
thứ hai của các đường tròn (QBP) và (QCN).
a) Chứng minh rằng A, S, O, M đồng viên.
b) Chứng minh rằng A, S, Q, R đồng viên.
Câu 5 (4 điểm). Trong một buổi biểu diễn, nhà ảo thuật bị bị mắt lại và người trợ lí mời một vị khách xếp
đồng xu do thành một hàng ngang trong đó có đúng
đồng xu được úp sấp. Sau đó, người trợ lí sẽ chọn ra
đồng xu bất kì đang nằm
ngửa để lật ngược lại. Chứng minh rằng nhà ảo thuật và trợ lý luôn có cách để tìm ra
cách sắp xếp các đồng xu ban đầu.
-------------------Hết-------------------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! SỞ GD&ĐT BẮC GIANG HƯỚNG DẪN CHẤM
TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC GIANG
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM HỌC 2023 - 2024
Môn: Toán – Lớp 11 ĐÁP ÁN C
Nội dung chính cần đạt Điểm âu 1 Cho dãy số thực xác định bởi: Cho dãy số xác định bởi 4.0đ a) Với , tìm giới hạn dãy số biết . b) Tìm c để dãy hội tụ. a)Đặt
, f(x) xác định và liên tục trên R. Ta có: .
Lập bảng biến thiên cho f(x).
Tính f(1)=1, f(3)=3, f(0)=3, f(3/2)=3/4; f(2) =1.
Dựa vào bảng biến thiên ta có, hàm số đồng biến trên [3;+∞) và f([3;+∞)) 1 đ =[3;+∞).
Do đó ta dễ dàng suy ra được
bị chặn dưới bởi 3 và tăng. Nếu bị chặn trên thì
có giới hạn là L, L>3.
Chuyển qua giới hạn ta được L=0 hoặc L=3, mâu thuẫn. Vậy không bị chặn trên hay
có giới hạn dương vô cực. 1 đ Vậy . 2 đ
b) Từ bảng biến thiên ở câu a), ta xét các trường hợp của a như sau:
+) nếu c=1, xn=1 với mọi n, dãy hội tụ.
+) nếu c= 3, xn=3 với mọi n, dãy hội tụ.
+) nếu c ∈[1;2] thì x1 ∈[3/4;1], x2 ∈[1;2], quy nạp ta được x2n+1 ∈[3/4;1], x2n ∈[1;2],
(x2n) giảm bị chặn dưới nên hội tụ về x∈[1;2), chuyển qua giới hạn ta có x=1. Khi đó suy ra dãy hội tụ về 1.
Nếu c∈[2;3) thì ta có hai khả năng sau
- Nếu tồn tại số hạng xk ∈[1;2] thì làm tương tự như trên ta có dãy
(xk+2n) hội tụ về 1, khi đó kéo theo dãy (xk+2n+1) hội tụ về 1 và ta
được dãy (xn) hội tụ về 1.
- Nếu không tồn tại số hạng nào của dãy (xn) thuộc [1;2] thì mội số
hạng của dãy đều thuộc khoảng (2;3).
Mà trên khoảng này hàm số f(x) đồng biến, x0>x1 suy ra dãy (xn)
giảm bị chặn dưới suy ra dãy hội tụ về y∈[2;3). Chuyển qua giới
hạn thì được y =1 hoặc y= 3 mâu thuẫn.
Do đó không thể xảy ra trường hợp này.
Như vậy c∈[1;3] dãy hội tụ.
Nếu c∈[0;1) thì x1∈[1;3], theo trên thì dãy hội tụ.
Nếu c>3 thì ta được dãy tăng không bị chặn trên nên dãy không hội tụ
Nếu c<0 thì x1>3, theo trên dãy không hội tụ.
Vậy c ∈[0;3] dãy hội tụ.
2 Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn: 4 đ với mọi .
Đặt a = f (1). Từ phương trình (1), ta cho y =1 có 1 đ
f(f(x) + 1) = x + a2, (2)
Thay x bởi f(x2)+1 vào (1), ta được
f(x2+y2+ a2)=f(x2)+(f(y))2+1, ∀ x,y >0
Đổi vai trò x và y vào pt trên ta được
f(x2)+(f(y))2+1 = f(y2)+(f(x))2+1, ∀ x,y >0
hay f(x2)-(f(x))2= f(y2)-(f(y))2 , ∀ x,y >0
f(x2)-(f(x))2+ b = 0 với ∀ x >0, (b = -a+a2).
Thay x bởi f(x) +1 vào (1), ta được
f(x+y2+ a2) = f(x)+f(y2)+1+b, ∀ x,y >0 1.5
hay f(x+y+ a2)=f(x)+f(y)+1+b, ∀ x,y >0
thay x và y bởi (x+y)/2 ta được f(x)+ f(y)= 2 f((x+y)/2), ∀ x,y >0.
Như vậy, f là hàm jensen trên tập R+. Do đó f(x)=mx+n với m,n không âm và
m+n >0. (chứng minh) 1.5
Thử lại ta được f(x) =x, mọi x >0.
3 Tìm tất cả các số a, n nguyên dương, p nguyên tố thỏa mãn n 3 2
5 p  a  a  a  2 0  . 4đ Ta có n 3 2
5 p  a  a  a  2 0  1,5 đ 2
 (a  2)(a  a 1) 5 n  p 2 d (
 a  2,a  a 1) (
 a  2,(a  2)(a  3)  7) (  a  2,7)  d 1   1đ d 7  
Nếu d = 1, do a + 2 > 1 và a2 –a + 1 > 1 nên  a  2 5    2 a    a 1 n p  a 3  , p 7  ,n 1   a   2 n p 1đ   2 a   a 1 5  (vn)
Nếu d = 7 thì a + 2 = 7m. Thay vào phương trình ban đầu ta được 0.5