Phát triển tư duy sáng tạo Giải Toán 8 Đại số - Chương 3: Phương trình bậc nhất một ẩn

Chương III
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
Chuyên đề 15. PHƯƠNG TRÌNH. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
A. Kiến thức cần nhớ 1. Phương trình:
⁕ Một phương trình một ẩn x có dạng , trong đó vế trái và vế phải là hai biểu
thức của cùng một biến x
⁕ Nghiệm của phương trình: Giá trị của biến thỏa mãn (hay nghiệm đúng) phương trình đã cho
⁕ Giải phương trình: Tìm tập nghiệm của phương trình.
⁕ Hai phương trình tương đương: có cùng một tập nghiệm.
2. Hai quy tắc biến đổi phương trình:
a) Quy tắc chuyển vế: Trong một phương trình ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó.
b) Quy tắc nhân với một số: Trong một phương trình ta có thể nhân (hoặc chia) cả hai vế với (cho) cùng một số khác 0.
⁕ Từ một phương trình, dùng quy tắc chuyển vế hay nhân, ta luôn nhận được một phương trình mới tương
đương với phương trình đã cho.
3. Phương trình bậc nhất một ẩn:
⁕ Phương trình có dạng
với a, b là hai số đã cho và ⁕ Phương trình
luôn có nghiệm duy nhất: B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Cho các phương trình ; và
Trong các phương trình trên:
a) Phương trình nào là phương trình một ẩn?
b) Phương trình nào là phương trình bậc nhất một ẩn? c) Số nào trong tập
là nghiệm của phương trình một ẩn? Giải a) Các phương trình và
là phương trình một ẩn. b) Phương trình
là phương trình bậc nhất một ẩn.
c) Lần lượt thay các giá trị
vào từng phương trình một ẩn ta có: V ⁕ ới thì nên
là nghiệm của phương trình

V ⁕ ới thì Và Vậy
là nghiệm của phương trình
Nhận xét: Muốn xem một số có phải là nghiệm của phương trình ta xét xem giá trị đó của ẩn thoả mãn
(hay nghiệm đúng) phương trình đã cho bằng cách thay vào từng vế của phương trình. Nếu hai vế có
cùng giá trị thì số đó là nghiệm của phương trình.
Ví dụ 2: Cho bốn phương trình: (1) (2) (3) (4) a) Chứng tỏ rằng
là nghiệm chung của cả bốn phương trình. b) Chứng tỏ rằng
là nghiệm của phương trình (2) nhưng không là nghiệm của phương trình (1) và (3).
c) Hai phương trình (1) và (2) có tương đương không. Tại sao? Giải a) Với
- Thay vào phương trình (1) ta có
- Thay vào phương trình (2) ta có
- Thay vào phương trình (3) ta có: Vế trái Vế phải
- Thay vào phương trình (4) ta có
nghiệm đúng cả bốn phương trình nên là nghiệm chung của bốn phương trình. b) Với
- Thay vào phương trình (1) ta có
- Thay vào phương trình (2) ta có:
- Thay vào phương trình (3): ta có: Vế trái Vế phải Vậy
nghiệm đúng phương trình (2) nhưng không nghiệm đúng phương trình (1) và (3) nên là
nghiệm của phương trình (2) nhưng không là nghiệm của phương trình (1) và (3).


c) Hai phương trình (1) và (2) không tương đương vì không cùng tập nghiệm.
Nhận xét: Ta thay các số đã cho vào từng vế của phương trình để xét xem các số đó có phải là các
nghiệm của phương trình. Từ đó xác định tập nghiệm của các phương trình. b)
là nghiệm của phương trình (2) vì thay vào làm 2 vế cùng có giá trị 0.
Nhưng không là nghiệm của phương trình (1) và (3) vì khi thay vào 2 phương trình làm hai vế có giá trị khác nhau. c) Tương tự cách 1.
Ví dụ 3: Cho phương trình với a là tham số: (1) Chứng minh rằng: a) Với
phương trình (1) nghiệm đúng với mọi giá trị của x. b) Với
phương trình (1) vô nghiệm. c) Với
phương trình (1) tương đương với phương trình (2)
⁕ Tìm cách giải: Với mọi giá trị của ẩn x:
- Nếu hai vế của phương trình luôn có giá trị bằng nhau thì phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị của . Tập nghiệm là R.
- Nếu hai vế của phương trình luôn có giá trị khác nhau thì phương trình vô nghiệm. Tập nghiệm là .
- Hai phương trình cùng vô nghiệm được coi là hai phương trình tương đương. Giải a) Với
phương trình (1) có dạng hay
. Phương trình (1) nghiệm đúng . b) Với
phương trình (1) có dạng hay
. Phương trình vô nghiệm vì hai vế của phương trình luôn có giá trị khác nhau . Tập
nghiệm của phương trình là . c) Với
phương trình (2) trở thành hay
. Phương trình này cũng vô nghiệm vì vế trái khác 0, . Tập
nghiệm của phương trình là cùng tập nghiệm với phương trình . Do đó hai phương trình và tương đương.
Ví dụ 4: Bằng quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân hãy giải các phương trình: a) (1) b) (2) ⁕ Tìm cách giải:


Câu a) lưu ý sử dụng công thức tính tổng các số hạng của dãy số cộng (từ số thứ hai, các số đều bằng số
liền trước cộng với cùng một số): Tổng
(số hạng đầu + số hạng cuối) x Số số hạng.
Câu b) sử dụng định nghĩa về giá trị tuyệt đối: nếu .
Sau khi giải xong cần kiểm tra để xác định kết quả tìm được có thoả mãn điều kiện hay không. Giải a) . b) ⁕ Nếu thì Phương trình trở thành
.(loại vì không thoả mãn điều kiện) ⁕ Nếu thì Phương trình trở thành .
Vậy phương trình có một nghiệm là .
Ví dụ 5: Xét xem các cặp phương trình sau có tương đương không? Giải thích. a) và ; b) và ; c) và ; d) và với a là một số.
⁕ Tìm cách giải: Để xét các cặp phương trình có tương đương hay không, ngoài so sánh các tập nghiệm ta
còn sử dụng hai quy tắc biến đổi phương trình. Giải a)
vì theo quy tắc chuyển vế . b) vì theo quy tắc nhân. .