Phát triển tư duy sáng tạo Giải Toán 8 Đại số - Chương 4: Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Chương IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
Chuyên đề 21. BẤT ĐẲNG THỨC
A. Kiến thức cần nhớ 1. Định nghĩa * Hệ thức dạng (hay
) gọi là bất đẳng thức. * . 2. Tính chất a) d) Tính chất nhân: b) Tính chất bắc cầu: * nếu nếu nếu c) Tính chất cộng: * nếu nếu nếu
e) Cộng vế với vế của hai bất đẳng thức cùng chiều được một bất đẳng thức cùng chiều.
f) Trừ từng vế của hai bất đẳng thức ngược chiều ta được một bất đẳng thức cùng chiều với bất đẳng thức
thứ nhất. (Không được trừ vế với vế của hai bất đẳng thức cùng chiều) g) ; ; . h) Với nếu ; ; . i) Nếu và thì
3. Các phương pháp chứng minh ; ( tương tự):
1) Dùng định nghĩa chứng minh
(Xét hiệu hai vế).
2) Biến đổi tương đương: ; Nếu đúng thì đúng.
3) Phản chứng: Giả sử
dẫn tới một điều vô lý. Vậy .
4) Chứng minh bằng quy nạp toán học:
+ Bước 1: Chứng minh bất đẳng thức đúng với .
+ Bước 2: Giả sử bất đẳng thức đúng với
, ta chứng minh bất đẳng thức đúng với .


Từ đó kết luận bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên .
(Phương pháp quy nạp toán học thường được sử dụng khi trong bất đẳng thức có sự tham gia của n với
vai trò của một số nguyên dương tùy ý hoặc số nguyên dương lấy mọi giá trị bắt đầu từ nào đó).
5) Phương pháp tổng hợp:
+ Sử dụng tính chất và các hằng bất đẳng thức.
+ Sử dụng tính chất bắc cầu (làm trội) .
4. Một số hằng bất đẳng thức a) . Dấu “=” xảy ra ; b) . Dấu “=” xảy ra ;
c) Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối: * (Dấu “=” xảy ra ). * (Dấu “=” xảy ra và ).
d) Bất đẳng thức tam giác: với a; b; c là 3 cạnh tam giác:
e) Bất đẳng thức Cauchy (Augustin Louis Cauchy [1789 – 1857 nhà toán học Pháp]: Với n số không âm ta có: . Dấu “=” xảy ra .
* Chú ý: Vài dạng bất đẳng thức cụ thể hay gặp có thể sử dụng như bổ đề: hay .
f) Bất đẳng thức Bunyakovsky [Victor Yakovlevich Bunyakovsky (1804 – 1889) nhà toán học Nga].
Với mọi bộ n số , ta có: Dấu “=” xảy ra để . Nếu thì dấu “=” xảy ra .
* Chú ý: Dạng cụ thể hay gặp . B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Cho a và b là hai số bất kỳ chứng minh rằng


* Tìm cách giải: Bài toán này thực chất gồm hai bài toán: Chứng minh 1) ; 2) .
Từ (1) và (2) ta suy ra kết quả.
Với mỗi câu 1) hoặc 2) ta đều có thể dùng 4 cách: Biến đổi tương đương; Xét hiệu hai vế; phản chứng và tổng hợp. Giải Ta chứng minh 1) bằng cả 4 cách:
Cách 1: Biến đổi tương đương: (hiển nhiên đúng). Dấu “=” xảy ra . Cách 2: Xét hiệu Vậy . Dấu “=” xảy ra . Cách 3: Phản chứng Giả sử vô lý. Vậy . Dấu “=” xảy ra . Cách 4: Tổng hợp: Ta có:

Hay . Dấu “=” xảy ra . 2) Chứng minh: hiển nhiên đúng. Từ (1) và (2) suy ra . Dấu “=” xảy ra . * Nhận xét: ;
Từ bài toán a) ta có thể suy ra Thật vậy do
hai vế bất đẳng thức đều dương nên bình phương hai vế ta có
; cũng có bài toán a) ta lại có . Từ (1) và (2) ta có: .
Ví dụ 2: a) Chứng minh rằng b) Chứng minh và . Áp dụng chứng minh .
* Tìm cách giải: a) Hoán vị nhân tử
ở vế trái và thực hiện phép nhân và ta thấy xuất hiện
ở hai kết quả, ta nghĩ đến việc đặt ẩn phụ. Ta xét hiệu hai vế để chứng minh.
b) Xét hiệu hai vế và biến đổi. Giải a) Xét hiệu