Phát triển tư duy sáng tạo Giải Toán 8 Hình học - Chương 1: Tứ giác

Chương I: TỨ GIÁC Chuyên đề 1. TỨ GIÁC
A. Kiến thức cần nhớ
1. Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào cũng
không cùng nằm trên một đường thẳng (h.1.1 a, b).
Ta phân biệt tứ giác lồi (h.1.1 a) và tứ giác lõm (h.1.1 b). Nói đến tứ giác mà không chú thích gì thêm, ta
hiểu đó là tứ giác lồi.
2. Tổng các góc của tứ giác bằng . B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD,
. Các tia phân giác của góc C và góc D cắt nhau tại O. Cho biết . Chứng minh rằng . Giải (h.1.2) * Tìm cách giải Muốn chứng minh ta chứng minh . Đã biết hiệu nên cần tính tổng .
* Trình bày lời giải Xét có (vì ; ). Xét tứ giác ABCD có: , do đó Trang 1

Vậy . Theo đề bài nên . Mặt khác, nên . Do đó .
Ví dụ 2: Tứ giác ABCD có AB = BC và hai cạnh AD, DC không bằng nhau. Đường chéo DB là đường
phân giác của góc D. Chứng minh rằng các góc đối của tứ giác này bù nhau. Giải (h.1.3 a,b) * Tìm cách giải
Để chứng minh hai góc A và C bù nhau ta tạo ra một góc thứ ba làm trung gian, góc này bằng góc A
chẳng hạn. Khi đó chỉ còn phải chứng minh góc này bù với góc C.
* Trình bày lời giải
- Xét trường hợp AD < DC (h.1.3a)
Trên cạnh DC lấy điểm E sao cho DE = DA (c.g.c) và . Mặt khác, nên . Vậy cân . Ta có: Do đó:
- Xét trường hợp AD > DC (h.1.3b)
Trên tia DA lấy điểm E sao cho DE = DC
Chứng minh tương tự như trên, ta được: ;
Ví dụ 3. Tứ giác ABCD có tổng hai đường chéo bằng a. Gọi M là một điểm bất kì. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng . Giải (h.1.4) * Tìm cách giải
Để tìm giá trị nhỏ nhất của tổng ta phải chứng minh ( là hằng số).
Ghép tổng trên thành hai nhóm .
Ta thấy ngay có thể dùng bất đẳng thức tam giác mở rộng.
* Trình bày lời giải Trang 2

Xét ba điểm M, A, C có (dấu “=” xảy ra khi ). Xét ba điểm M, B, D có (dấu ‘=’ xảy ra khi ). Do đó: . Vậy min
khi M trùng với giao điểm O của đường chéo AC và BD.
C. Bài tập vận dụng Tính số đo góc
1.1. Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai góc ngoài tại hai đỉnh bằng tổng hai góc trong tại hai đỉnh còn lại.
1.2. Cho tứ giác ABCD có
. Các tia phân giác ngoài tại đỉnh C và D cắt nhau tại K. Tính số đo của góc CKD.
1.3. Tứ giác ABCD có
. Chứng minh rằng các đường phân giác của góc B và góc D song song với nhau hoặc trùng nhau.
1.4. Cho tứ giác ABCD có ; ;
. Tính số đo góc A, góc B.
( Olympic Toán Châu Á - Thái Bình Dương 2010 )
So sánh các độ dài
1.5. Có hay không một tứ giác mà độ dài các cạnh tỉ lệ với 1, 3, 5, 10 ?
1.6. Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc. Biết . Tính độ dài AD.
1.7. Chứng minh rằng trong một tứ giác tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác.
1.8. Cho bốn điểm A, B, C, D trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng, bất kì hai điểm nào cũng có
khoảng cách lớn hơn 10. Chứng minh rằng tồn tại hai điểm đã cho có khoảng cách lớn hơn 14.
1.9. Cho tứ giác ABCD có độ dài các cạnh là , , , đều là các số tự nhiên. Biết tổng
chia hết cho , cho , cho , cho . Chứng minh rằng tồn tại hai cạnh của tứ giác bằng nhau.
Bài toán giải bằng phương trình tô màu
1.10. Có chín người trong đó bất kì ba người nào cũng có hai người quen nhau. Chứng minh rằng tồn tại
một nhóm bốn người đôi một quen nhau. Trang 3

Hướng dẫn giải 1.1.
Trường hợp hai góc ngoài tại hai đỉnh kề nhau (h.1.5) Gọi , là số đo hai góc trong; ,
là số đo hai góc ngoài tại hai
đỉnh kề nhau là C và D. Ta có: . (1) Xét tứ giác ABCD có: . (2) Từ (1) và (2) suy ra: .
Trường hợp hai góc ngoài tại hai đỉnh đối nhau (h.1.6)
Chứng minh tương tự, ta được 1.2. (h.1.7) Ta có: . (bài 1.1). Do đó . Xét có: 1.3. (h.1.8) Xét tứ giác ABCD có: . Vì , nên . (1) Xét có . (2) Từ (1) và (2) suy ra . Do đó // . 1.4. (h.1.9)
Vẽ đường phân giác của các góc và chúng cắt nhau tại E. Xét có . (c.g.c) . (c.g.c) . Suy ra
do đó ba điểm A, E, B thẳng hàng Vậy . Do đó . 1.5. (h.1.10) Trang 4