Bài tập Toán 11 Kết nối tri thức (Dạy thêm - có lời giải)

CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC NG I
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHƯƠ
BÀI 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG GIÁC LÝ THUYẾT. I = 1. GÓC LƯỢNG GIÁC
a. Khái niệm góc lượng giác và số đo của góc lượng giác
Trong mặt phẳng cho hai tia Ou, Ov . Xét tia Om cùng nằm trong mặt phẳng này. Nếu tia Om
quay điểm O , theo một chiều nhất định từ Ou đến Ov , thì ta nói nó quét một góc lượng giác
với tia đầu Ou , tia cuối Ov và kí hiệu là (Ou, Ov).
Góc lượng giác (Ou, Ov) chỉ được xác định khi ta biết được chiều chuyển động quay của tia
Om từ tia đầu Ou đến tia cuối Ov . Ta quy ước: chiều quay ngược với chiều quay của kim đồng
hồ là chiều dương, chiều quay cùng với chiều quay của kim đồng hồ là chiều âm.
Khi tia Om quay góc  thì ta nói góc lượng giác mà tia đó quét nên có số đo  . Số đo của góc
lượng giác với tia đầu Ou , tia cuối Ov được kí hiệu là sd (Ou, Ov).
Cho hai tia Ou, Ov thì có vô số góc lượng giác tia đầu Ou , tia cuối Ov . Mỗi góc lượng giác
như thế đều kí hiệu là (Ou, Ov). Số đo của các góc lượng giác này sai khác nhau một bội nguyên của 360 .
b. Hệ thức Chasles: với 3 tia Ou, O ,
v Ow bất kì ta có:
sd (Ou,Ov) + sd (O ,
v Ow) = sd (Ou,Ow) + k.360 (k  )
Từ đó suy ra: sd (Ou,Ov) = sd (Ou,Ow) − sd (O ,
v Ow) + k.360 (k  )
2. ĐƠN VỊ ĐO GÓC VÀ ĐỘ DÀI CUNG TRÒN
a. Đơn vị đo góc và cung tròn Đơn vị độ:
Đơn vị radian: Cho đường tròn (O) tâm O bán kính R và một cung AB trên (O) . Ta nói cung
AB có số đo bằng 1 radian nếu độ dài của nó đúng bằng bán kính R . Khi đó ta cũng nói rằng góc
AOB có số đo bằng 1 radian và viết AOB = 1 radian
b) Quan hệ giữa độ và radian  0   0 180 1 = rad và 1rad = .   180   
b. Độ dài của một cung tròn
Một cung của đường tròn bán kính R có số đo  rad thì có độ dài là = R . Trang 1
CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
3. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC LƯỢNG GIÁC
a. Đường tròn lượng giác
Đường tròn lượng giác là đường tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính bằng 1, được
định hướng và lấy điểm A(1;0) làm gốc của đường tròn.
Đường tròn này cắt hai trục tọa độ tại bốn điểm A(1;0) + A'( 1 − ;0), B(0 ) ;1 , B '(0; − ) 1 . O
Điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo 
là điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho sd (O , A OM ) = .
b. Giá trị lượng giác của góc lượng giác Giả sử M ( ;
x y) là điểm trên đường tròn lượng giác, biểu
diễn góc lượng giác có số đo  .
• Hoành độ x của điểm M gọi là côsin của  và kí hiệu là cos. cos = x
• Tung độ y của điểm M gọi là sin của  và kí hiệu là sin. sin  = y  • sin
Nếu cos  0, tỉ số cos gọi là tang của  và kí hiệu là tan (người ta còn dùng kí hiệu sin  tg ): tan  = . cos  • cos
Nếu sin  0, tỉ số sin gọi là côtang của  và kí hiệu là cot (người ta còn dùng kí hiệu cos cotg ) : cot  = . sin 
Các giá trị sin, cos, tan, cot  được gọi là các giá trị lượng giác của cung  . Chú ý:
a) Ta cũng gọi trục tung là trục sin, còn trục hoành là trục côsin
b) Từ định nghĩa ta suy ra:
1) sin và cos xác định với mọi   . Hơn nữa, ta có:
sin ( + k2 ) = sin, k   ; 1 −  sin 1
cos ( + k2 ) = cos, k   . 1 −  cos  1. Trang 2
CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
2) tan xác định với mọi  
+ k (k  ). 2
3) cot xác định với mọi   k (k  ).
4) Dấu của các giá trị lượng giác của góc  phụ thuộc vào vị trí điểm biểu diễn M trên
đường tròn lượng giác.
Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác
c. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt      0 6 4 3 2 1 3 sin 0 2 1 2 2 2 cos 3 2 1 1 0 2 2 2 1 tan 0 1 3 Không xác định 3 1 cot Không xác định 3 1 0 3 Trang 3
CHUYÊN ĐỀ I – TOÁN – 11 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
4. QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
a. Công thức lượng giác cơ bản
Đối với các giá trị lượng giác, ta có các hằng đẳng thức sau 2 2 sin  + cos  = 1 1  2 1+ tan  = ,   + k , k  2 cos  2 1 2 1+ cot  =
,   k , k  2 sin  k tan.cot  = 1,   , k  2
b. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt Trang 4