Bộ 1 chuyên đề luyện thi vào 10 môn Toán năm 2021 - Chuyên đề 8: Hình học

CHUYÊN ĐỀ 8 : HÌNH HỌC
Câu 1. (Tuyển sinh tỉnh An Giang năm 2017-2018)
Cho điểm thuộc nửa đường tròn đường kính . Kẻ tiếp tuyến
của nửa đường tròn đó (
nằm trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng
chứa nửa đường tròn). Tia phân giác của góc
cắt nửa đường tròn tại . Kéo dài và cắt nhau tại . Kẻ vuông góc với tại . a) Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn. b) Chứng minh . c) Chứng minh tam giác cân. d) Tia cắt và
lần lượt tại và . Chứng minh là hình thoi. Lời giải x H E C K D F A B a) Ta có
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Suy ra (kề bù) Xét tứ giác ta có: , suy ra tứ giác
nội tiếp đường tròn đường kính
(tổng hai góc đối diện bằng ) b) Ta có nội tiếp nên (1) (cùng nhìn cạnh ). Lại có: (góc nội tiếp).
(góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung). Suy ra . Mà (do là phân giác). Suy ra (2) Từ (1) và (2) suy ra c) Xét và có:
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn – kề bù). chung. 1

(cmt). (g-c-g). (tương ứng). cân tại d) Theo câu c) là trung điểm (3) Xét và có:
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn – kề bù). chung. (do là phân giác). (g-c-g) (tương ứng). là trung điểm (4) Từ (3) và (4) ta có
là hình bình hành (tứ giác có các đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường). Mà là hình thoi.
Câu 2. (Tuyển sinh tỉnh Bà Rịa - Vũng Tàu 2017-2018) Cho nửa đường tròn đường kính . Trên lấy điểm ( khác , khác ). Qua
dựng đường thẳng vuông góc với
, đường thẳng này cắt nửa đường tròn tại . Trên cung lấy điểm ( khác , khác ). Dựng vuông góc với tại . a) Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn b) Chứng minh c) Gọi là giao điểm của và
. Tính theo giá trị biểu thức Lời giải: M C N K A O B H Ta có Tứ giác
nội tiếp đường tròn đường kính (do tứ giác nội tiếp). Mà (cùng chắn cung ). Vậy . Ta có Do đó (g.g)
thuộc nửa đường tròn đường kính nên tam giác vuông tại . Vậy 2


Câu 3. (Tuyển sinh tỉnh Bà Rịa - Vũng Tàu 2017-2018) Cho nhọn ( <
) nội tiếp đường tròn
Hai tiếp tuyến của đường tròn tại , cắt nhau tại . cắt
tại . Qua vẽ đường thẳng song song với , đường thẳng này cắt tại . đường thẳng cắt
tại . Tính tỉ số diện tích Lời giải: A F O K E C B D Ta có (cùng chắn ), (đồng vị) nội tiếp. Mà: nên các điểm
thuộc đường tròn đường kính
cũng thuộc đường tròn đường kính là trung điểm của . Do là trung trực của là trung điểm của và
đồng dạng có tỉ lệ đồng dạng là Hai tam giác
Câu 4. (Tuyển sinh tỉnh Bắc Giang năm 2017-2018) Cho tam giác
có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn
tâm bán kính . Hai đường cao và tam giác cắt nhau tại (với thuộc , thuộc ).
1. Chứng minh rằng tứ giác
nội tiếp được trong một đường tròn. 2. Chứng minh . 3. Chứng minh .
4. Cho , cố định và di động trên
nhưng vẫn thỏa mãn điều kiện tam giác nhọn; khi đó thuộc cung tròn
cố định. Xác định tâm và bán kính của đường tròn , biết . Lời giải 3

A K H O B E C M I 1. Xét tứ giác có ( vì , ). Hai góc này cùng chắn cung nên tứ giác
nội tiếp được một đường tròn. 2. Xét hai tam giác vuông và , chúng có chung góc nên (dpcm). 3. Tam giác cân tại nên . Mà tam giác nhọn nên nằm trong tam giác , do đó . Tam giác vuông tại nên . Từ và (dpcm). 4. Gọi
là giao điểm của đường thẳng với đường tròn . Ta có ( cùng chắn cung ). Mà ( cùng phụ với ) nên hay là phân giác của .Tam giác có
vừa là đường cao, đường phân giác góc nên cân tại và là trung trực của
. Gọi là điểm đối xứng với qua đường thẳng ( và cố định
cố định). Khi đó tứ giác
là hình thang cân vì nhận là trục đối xứng = = hay
luôn cách điểm cố định một khoảng không đổi nên thuộc đường tròn
tâm bán kính . Do đó = = cm.
Câu 5. (Tuyển sinh tỉnh Thái Bình năm 2017-2018) Cho có ba góc nhọn ( ), dựng vuông góc với tại điểm . Gọi
theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của trên . Đường thẳng cắt đường thẳng
tại điểm . Trên nửa mặt phẳng bờ
chứa điểm , vẽ nửa đường tròn đường kính .
Qua kẻ đường thẳng vuông góc với
, cắt nửa đường tròn trên tại điểm . a. Chứng minh tứ giác là tứ giác nội tiếp. b. Chứng minh . c. Chứng minh .
d. Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác . Chứng minh . Lời giải 4