Đề thi vào 10 Chuyên Toán chính thức (cả nước) năm 2023-2024 có đáp án

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TỈNH HÀ NAM
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ NAM NĂM HỌC 2023 - 2024 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (chuyên)
(Đề thi gồm có 01 trang)
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
 x x −1  x +1 x − 2 
Câu I (2,0 điểm) .Cho biểu thức A =   −  với 1+ x + x x −1 x − x − 2   
x  0, x  1, x  4.
1. Rút gọn biểu thức . A
2.Tìm tất cả các số nguyên của x để 2A −1 +1 = 2 . A
Câu II (2,0 điểm). 1. Giải phương trình 2 2
(x −1) x + 6x +16 = 2x − 6x + 4. 3 2 3
2x + xy(2y − x) + 2x + 6x = xy + y + 3y (1) 
2.Giải hệ phương trình  . 2 2 2
 3(x + y) + 7 + 5x + 5y +14 = 4 − y − x (2) 
Câu III. (1,0 điểm) Tìm tất cả các số tự nhiên n để 2024 2027 2 2 2n +
+ là số chính phương.
 x x −1  x +1 x − 2 
Cho biểu thức A =   −
 với x  0, x 1, x  4. 1+ x + x x −1 x − x − 2   
Câu IV. (4 điểm) Cho đường tròn (O) có dây cung BC cố định và không đi qua tâm O . Gọi
A là điểm di động trên đường tròn (O) sao cho tam giác ABC nhọn và AB  AC. Gọi M là
trung điểm của cạnh BC và H là trực tâm tam giác ABC. Tia MH cắt đường tròn (O) tại
K , đường thẳng AH cắt cạnh BC tại D và AE là đường kính của đường tròn (O) .
1. Chứng minh BAD = CAE.
2. Chứng minh rằng tứ giác BHCE là hình bình hành và H .
A HD = HK.HM .
3. Tia KD cắt đường tròn (O) tại I ( I khác K ), đường thẳng đi qua I và vuông góc với
đường thẳng BC cắt AM tại J . Chứng minh rằng các đường thẳng AK , BC và HJ cùng đi qua một điểm.
4.Một đường tròn thay đổi luôn tiếp xúc với AK tại A và cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại
P, Q phân biệt. Gọi N là trung điểm của đoạn thẳng PQ . Chứng minh rằng đường thẳng AN
luôn đi qua một điểm cố định. 1 1 1
Câu V. (1,0 điểm)Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện + + = 1. 2 2 2 a b c
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1 1 1 P = + + . 2 2 2 2 2 2
5a + 2ab + 2b
5b + 2bc + 2c
5c + 2ca + 2a


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN HÀ NAM Năm học: 2023-2024
(Hướng dẫn chấm thi có 06 trang) ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN (ĐỀ CHUYÊN) Ghi chú:
- Điểm toàn bài không làm tròn.
- Các cách giải khác mà đúng cho điểm tương đương. Nội dung Điểm
Câu I (2,0 điểm) .
 x x −1  x +1 x − 2 
Cho biểu thức A =   −
 với x  0, x 1, x  4. 1+ x + x x −1 x − x − 2   
1.(1,5 điểm) Rút gọn biểu thức . A ( x)3 −1   x +1 x − 2 A = . −  0,5 1+
x + x ( x + ) 1 ( x − ) 1
( x + )1( x −2)   ( x −1)(x + x + 1) x + 1 x − 2 = . −  0,25 1+ x + x  ( x + ) 1 ( x − ) 1
( x + )1( x −2)  (   = x − ) 1 1 1 −   0,25  x −1 x +1  = ( x − ) 2 1 ( 0,25 x − ) 1 ( x + ) 1 2 = . 0,25 + x 1
2.(0,5 điểm) Tìm tất cả các số nguyên của x để 2A −1 +1 = 2 . A 1
+) 2 A −1 +1 = 2 A  2 A −1 = 2 A −1  2 A −1  0  A  0,25 2 2 1 +)
  x  3  x  9 x +1 2
Kết hợp với điều kiện x  0; x  1; x  4  x 0;2;3;5;6;7;8;  9 0,25
Câu II (2,0 điểm).


1.(1,0 điểm) Giải phương trình 2 2
(x −1) x + 6x +16 = 2x − 6x + 4. 2 2 2
(x −1) x + 6x + 16 = 2x − 6x + 4  (x −1) x + 6x +16 = (x −1)(2x − 4) 0,25 2
 (x −1)( x + 6x +16 − 2x + 4) = 0
+) x −1 = 0  x = 1 0,25 2x − 4  0 +) 2
x + 6x +16 = 2x − 4   2 2
x + 6x +16 = (2x − 4) x  2  x  2 x = 0(l)     2  3
 x − 22x = 0  22 x = (tm)   3 0,25 22
Phương trình đã cho có hai nghiệm x = 1; x = 0,25 3 3 2 3
2x + xy(2y − x) + 2x + 6x = xy + y + 3y (1) 
2.(1,0 điểm) Giải hệ phương trình  . 2 2 2
 3(x + y) + 7 + 5x + 5y +14 = 4 − y − x (2)  2 3
 (x + y) + 7  0 Điều kiện:  2 5
 x + 5y +14  0
Phương trình (1) tương đương với 3 2 2 2 3
2x + 2xy − x y + 2x + 6x = xy + y + 3y 3 2 2 3 2
 (2x − x y) + (2xy − y ) + (2x − xy) + (6x − 3y) = 0 2 2
 x (2x − y) + y (2x − y) + x(2x − y) + 3(2x − y) = 0 2 2 
(2x − y)(x + y + x + 3) = 0 0,25 1 11 2 2
 (2x − y)[(x + ) + y + ] = 0 2 4
 2x − y = 0  y = 2x 0,25
Thay y = 2x vào phương trình (2) ta được 2 2 2
3x + 6x + 7 + 5x +10x +14 = 4 − 2x − x 2 2 2
 ( 3x + 6x + 7 − 2) + ( 5x +10x +14 − 3) + (x + 2x +1) = 0 2 2 + + 3(x 1) 5(x 1) 2  + + (x +1) = 0 2 2 3x + 6x + 7 + 2 5x +10x +14 + 3 3 5 2  (x +1) ( + +1) = 0 2 2 3x + 6x + 7 + 2 5x +10x +14 + 3 0,25

3 5 Vì +
+1  0 nên phương trình tương đương với 2 2 3x + 6x + 7 + 2 5x +10x +14 + 3 2
(x +1) = 0  x +1 = 0  x = 1 −  y = 2 − (t ) m
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ; x y) = ( 1 − ; 2 − ) 0,25
Câu III. (1,0 điểm) Tìm tất cả các số tự nhiên n để 2024 2027 2 2 2n +
+ là số chính phương.
Giả sử số tự nhiên n thỏa mãn đề bài. Khi đó tồn tại số nguyên dương k sao cho 2024 2027 n 2 2024 n 2 + + =  + =  ( 1012 + )( 1012 2 2 2 9.2 2 3.2 − 3.2 ) = 2n k k k k . 0,25 1012 k + 3.2 = 2a  1012  k −3.2 = 2b a b 1013  2 − 2 = 3.2 . 0,25
a,b ,a +b = n 
2a−b −1= 3 b a−b 1013  − =  2 (2 1) 3.2  0,25 b 1013 2 = 2 a − b = 2 a = 1015      n = 2028 b  = 1013 b  = 1013
Vậy với n = 2028 thì 2024 2027 2 2 2n + + là số chính phương 0,25
Câu IV. (4 điểm) Cho đường tròn (O) có dây cung BC cố định và không đi qua tâm O . Gọi A là điểm
di động trên đường tròn (O) sao cho tam giác ABC nhọn và AB  AC. Gọi M là trung điểm của cạnh
BC và H là trực tâm tam giác ABC. Tia MH cắt đường tròn (O) tại K , đường thẳng AH cắt cạnh
BC tại D và AE là đường kính của đường tròn (O) . A K O H D B M C E