Bộ 3 chuyên đề luyện thi vào 10 môn Toán năm 2023 - Chuyên đề 2: Bất đẳng thức

Câu 1.
(Tuyển sinh tỉnh Thanh Hóa năm 2019-2020) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn , Chứng minh rằng: Lời giải Ta có: Tương tự có: ; Suy ra Đặt ta có: ( do ) Suy ra: Dễ cm đc Vậy Dấu “_” xảy ra khi Câu 2.
(Tuyển sinh tỉnh Thái Bình năm 2019-2020) Cho , , là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng: . Lời giải Đặt .
Có , , là các số thực dương, theo bất đẳng thức AM-GM có: . , mà . 1

. Có . Suy ra . Có . Do đó . , . Suy ra
. Dấu đẳng thức xảy ra khi . Vậy . Câu 3.
(Tuyển sinh tỉnh Vĩnh Phúc năm 2019-2020) Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh: Lời giải Câu 4.
(Tuyển sinh tỉnh Hà Nam năm 2019-2020) Cho
là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện Chứng minh . Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh
Thật vậy áp dụng bất đẳng thức CauChy cho 3 số dương ta có . Dấu “=” xảy ra khi . Hoàn tất chứng minh. 2

Câu 5.
(Tuyển sinh tỉnh Hòa Bình năm 2019-2020) Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a + b = 4ab Chứng minh rằng: .Lời giải .Từ a + b = 4ab .
.Chứng minh được BĐT: Với x, y >0 ta có (*) . .Áp dụng (*) ta có =
Dấu đẳng thức xảy ra khi . Câu 6.
(Tuyển sinh tỉnh Hải Phòng năm 2019-2020)Cho
là ba số dương. Chứng minh Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức cho hai số ta chứng minh được . Câu 7.
(Tuyển sinh tỉnh KONTUM năm 2019-2020) Chứng minh . Lời giải . . Ta có : . Vậy . Câu 8.
(Tuyển sinh tỉnh Lai Châu năm 2019-2020) Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: 3

Lời giải
Ta chứng minh bất đẳng thức với x, y > 0.
Thậy vậy, với x, y > 0 thì: (luôn đúng) Do đó: với x, y > 0.
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có: Tương tự ta có:
Cộng vế với vế các bất đẳng thức với nhau ta được: Do đó (đpcm).
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c. Câu 9.
(Tuyển sinh tỉnh Lạng Sơn năm 2019-2020)Cho ba số thực không âm a, b, c và thỏa
mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng: Lời giải Ta có
Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có
Áp dụng bất đẳng thức cô si 4