Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 10 Đại số tổ hợp (có lời giải)

MỤC LỤC
CHỦ ĐỀ ❼. ĐẠI SỐ TỔ HỢP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
⬩PHẦN ❶. TỰ LUẬN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
⬩PHẦN ❷. TRẮC NGHIỆM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
⬩PHẦN ❸. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM ĐÚNG; SAI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⬩PHẦN ❹. CÂU HỎI TRẢ LỜI NGẮN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1
CHỦ ĐỀ ❼. ĐẠI SỐ TỔ HỢP
⬩PHẦN ❶. TỰ LUẬN
Câu 1: Có bao nhiêu số chẵn gồm bốn chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 Câu 2:
Khối lớp 10 gồm ba lớp 10 ,
A 10 B và 10C lân lượt có sĩ số là 46 học sinh, 45 học sinh
và 43 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách để chọn một học sinh lớp 10 tham gia đội văn nghệ của trường? Câu 3:
Để đi từ thành phố A đến thành phố C , bắt buộc phải đi qua thành phố B . Biết
rằng có 5 cách để đi từ thành phố A đến thành phố B , đồng thời có 3 cách để đi từ
thành phố B đến thành phố C . Hỏi có bao nhiêu cách để đi từ thành phố A đến thành phố C? Câu 4:
Bạn Nam muốn tạo một số có hai chữ số bằng cách quay hai vòng quay sau đây. Biết
rằng số nhận được ở vòng quay I, II lần lượt là chữ số hàng chục, chữ số hàng đơn
vị. Hỏi có thể tạo được bao nhiêu số có hai chữ số như vậy? Câu 5:
Một người gieo đồng xu hai mặt, sau mỗi lần gieo thì kết quả nhận được luôn là sấp
hoặc ngửa. Hỏi nếu người đó gieo 10 lân thì có bao nhiêu khả năng xảy ra? Câu 6:
Nhãn của mỗi chiếc ghế trong hội trường gồm hai phần: phần thứ nhất là một chữ
cái (trong bảng 26 chữ cái Tiếng Anh), phần thứ hai là một số nguyên dương nhỏ
hơn 26. Hỏi có nhiều nhất bao nhiêu chiếc ghế được ghi nhãn khác nhau? Câu 7:
Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ
số đôi một khác nhau và không vượt quá 2022? Câu 8:
Một trường THPT được cử một học sinh đi dự trại hè toàn quốc. Nhà trường quyết
định chọn một học sinh giỏi lớp 11A hoặc lớp 12A. Hỏi nhà trường có bao nhiêu
cách chọn, nếu biết rằng lớp 11A có 20 học sinh giỏi và lớp 12A có 22 học sinh giỏi Câu 9:
Một nhóm gồm 5 em học sinh (trong đó có một bạn tên Tùng) đang đứng xếp thành
một hàng dọc, hỏi có bao nhiêu cách xếp: Bạn Tùng đứng đầu hàng?
Câu 10: Có bao nhiêu cách sắp xếp 6 quyển sách Toán và 6 quyển sách Tiếng Anh (các quyển
sách là khác nhau) vào một hàng ngang của giá sách nếu:
Sắp xếp sao cho các quyển sách Toán và sách Tiếng Anh ở vị trí xen kẽ nhau?
Câu 11: Có 100000 vé được đánh số từ 00000 đến 99999. Hỏi có bao nhiêu vé gồm năm chữ số khác nhau?
Câu 12: Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số? 2
Câu 13: Biển số xe máy của tỉnh A (nếu không kể mã số tỉnh) có 6 kí tự, trong đó kí tự ở vị
trí đầu tiên là một chữ cái (trong bảng 26 cái tiếng Anh), kí tự ở vị trí thứ hai là một
chữ số thuộc tập {1;2;;9} mỗi kí tự ở bốn vị trí tiếp theo là một chữ số thuộc tập
{0;1;2;;9}. Hỏi nếu chỉ dùng một mã số tỉnh thì tỉnh A có thể làm được nhiều nhất
bao nhiêu biển số xe máy khác nhau?
Câu 14: Một nhóm công nhân gồm 15 nam và 5 nữ. Người ta muốn chọn từ nhóm ra 5 người
để lập thành một tổ công tác sao cho phải có 1 tổ trưởng nam, 1 tổ phó nam và có ít
nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập tổ công tác.
Câu 15: Lớp 10B có 15 bạn (trong đó có lớp trưởng) tham gia hoạt động trò chơi do Đoàn
trường tổ chức. Trong trò chơi chạy tiếp sức, cô giáo phải xếp đội hình gồm 6 bạn và
thứ tự chạy của họ. Hỏi cô giáo có bao nhiêu cách xếp đội hình để lớp trưởng là người chạy cuối.
Câu 16: Bạn Phú chọn mật khẩu cho tài khoản Microsoft Teams của mình gồm 8 kí tự đôi
một khác nhau, trong đó 2 kí tự đầu tiên là hai chữ cái in thường, 2 kí tự tiếp theo là
hai chữ cái in hoa (các chữ cái chọn từ bảng chữ cái Tiếng Anh gồm 26 chữ cái), 3 kí
tự tiếp theo là các chữ số và kí tự cuối cùng là một trong các kí tự đặc biệt:@, ,. Hỏi
bạn Phú có bao nhiêu cách tạo ra một mật khẩu?
Câu 17: Cho hai dãy ghế được xếp như sau: Dãy 1 Ghế 1 Ghế 2 Ghế 3 Ghế 4 Dãy 2 Ghế 1 Ghế 2 Ghế 3 Ghế 4
Một đội chơi có 15 người gồm 7 nam và 8 nữ. Chọn ngẫu nhiên 8 bạn ngồi vào hai
dãy ghế để tham gia trả lời câu hỏi. Hai người được gọi là ngồi đối diện nhau nếu
ngồi ở hai dãy và có cùng số ghế. Hỏi có bao nhiêu cách xếp để mỗi bạn nam ngồi
đối diện với một bạn nữ?
Câu 18: Có 3 cuốn sách Lý, 4 cuốn sách Sinh, 5 cuốn sách Địa. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp
các cuốn sách trên vào giá sách hàng ngang nếu các cuốn sách cùng môn học đứng cạnh nhau?
Câu 19: Từ các chữ số 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 15 chữ số,
trong đó các chữ số 1 và 2 mỗi chữ số xuất hiện năm lần, các chữ số còn lại xuất hiện
không quá một lần và các chữ số lớn hơn 2 không có bất kì hai chữ số nào đứng cạnh nhau.
Câu 20: Một nhóm học sinh gồm 5 nam và 5 nữ xếp thành một hàng ngang. Tính số cách sắp
xếp để cho học sinh nam và học sinh nữ xen kẽ nhau.
Câu 21: Nam xếp 5 quyển sách Toán khác nhau, 4 quyển sách Hóa khác nhau và 3 quyển
sách Lí khác nhau lên một giá sách theo từng môn học. Hỏi Nam có bao nhiêu cách sắp xếp?
Câu 22: Ban văn nghệ lớp 10 A có 7 học sinh nam và 9 học sinh nữ. Cần chọn ra 5 học sinh
nam và 5 học sinh nữ để ghép thành 5 cặp nam nữ diễn tiết mục thời trang. Hỏi có
bao nhiêu cách chọn thỏa mãn yêu cầu trên?
Câu 23: Một đa giác đều có 44 đường chéo, hỏi số cạnh của đa giác đó bằng bao nhiêu? 3
Câu 24: Cho hai đường thẳng d và d song song với nhau. Trên d có 10 điểm phân biệt, 1 2 1
trên d có n điểm phân biệt (n  2) . Biết rằng có 2800 tam giác mà đỉnh của chúng 2
là các điểm nói trên. Tìm n .
Câu 25: Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu
cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho
mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ?
Câu 26: Tìm tất cả nghiệm thực của phương trình 10 9 8
A  A  A . x x 9 x
Câu 27: Có bao nhiêu số tự nhiên có tám chữ số trong đó có ba chữ số 0, không có hai chữ số
0 nào đứng cạnh nhau và các chữ số khác chỉ xuất hiện nhiều nhất một lần.
Câu 28: Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam và 3 nữ.
Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về 3 tỉnh miền núi
sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ.
Câu 29: Cho hai đường thẳng song song d , d . Trên đường thẳng d lấy 10 điểm phân biệt, 1 2 1
trên d lấy 15 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó được 2
chọn từ 25 vừa nói trên.
Câu 30: Tìm số nguyên dương n sao cho: 4
P  A  P . n n 15 1 4 n2 n n 5
Câu 31: Giải bất phương trình (ẩn n thuộc tập số tự nhiên) 1 2
C  C  A . n2 n2 2 n
Câu 32: Giải bất phương trình (ẩn n thuộc tập số tự nhiên 3 (n!) n C  n C  n C  . n n n 720 2 3
Câu 33: Giải bất phương trình (ẩn n thuộc tập số tự nhiên) 3 n 1  A  C  n  . n n 14( 1) 1 1  x A  C y 90  3 x
Câu 34: Cho x, y là nghiệm của hệ phương trình,
y . Tìm x và y ? 3   x A  C y 80 10 x  y
Câu 35: Cho hai đường thẳng song song d và d . Trên d lấy 15 điểm phân biệt, trên d lấy 1 2 1 2
10 điểm phân biệt. Tính số tam giác mà có các đỉnh được chọn từ 25 điểm này. 1 1 1
Câu 36: Cho n là các số tự nhiên. Tính: 0 1 2
T  C  C  C  n C . n 2 n 3 n n 1 n
Câu 37: Tìm số hạng chứa 2
x trong khai triển của biểu thức   2 ( ) 3   n P x x x với n là số 3 nguyên dương thỏa mãn 2 C  An  . n 12 n
Câu 38: Tính tổng sau 0 1 10
S  C  C  C . 10 10 10 Câu 39: Tính tổng: 1 2018 2 2017 2 3 2016 3 2018 1 2018 2019 2019 S  C 3  2  C 3  2  C 3  2  C 3  2  C  2 . 2019 2019 2019 2019 2019 Câu 40: Tính tổng: 0 2021 1 2010 2 2019 2 3 2018 3 2020 1 2020 S  C  4  C  4  2  C  4  2  C  4  2  C  4  2 . 2021 2021 2021 2021 2021
Câu 41: Tìm hệ số của 7
x trong khai triển biểu thức sau: 10
f (x)  (1 2x) .
Câu 42: Tìm hệ số của 7
x trong khai triển biểu thức sau: 9
6h(x)  x(2  3x) . 4