Đề chính thức Toán vào 10 Hà Nội năm 2025 - 2026

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT THÀNH PHỐ HÀ NỘI
NĂM HỌC 2025 – 2026 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút
(không kể thời gian phát đề) Câu 1. (1,5 điểm) 1) Kết quả khảo sát
học sinh lớp về thời gian tự học của mỗi bạn trong một tuần (đơn
vị: giờ) được cho trong bảng tần số ghép nhóm sau đây:
Thời gian tự học (giờ) Số học sinh
Xác định tần số và tần số tương đối ghép nhóm của nhóm .
2) Một hộp có chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số hai
thẻ khác nhau được ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một thẻ trong hộp. Tính xác suất của biến cố
“Số ghi trên thẻ rút được là một số chia hết cho ”. Câu 2. (1,5 điểm) Cho hai biểu thức và với .
1) Tính giá trị của biểu thức khi . 2) Chứng minh .
3) Tìm số nguyên dương lớn nhất để . Câu 3. (2,5 điểm)
1) Một ô tô đi từ Hà Nội đến Hải Phòng với vận tốc trung bình
km/h. Khi từ Hải Phòng về
Hà Nội trên cùng quãng đường đó, do điều kiện thời tiết xấu nên ô tô đi với vận tốc trung bình
km/h. Biết thời gian ô tô đi từ Hà Nội đến Hải Phòng ít hơn thời gian ô tô đi từ Hải Phòng
về Hà Nội là giờ, tính độ dài quãng đường ô tô đi từ Hà Nội đến Hải Phòng.
2) Để chuẩn bị cho năm học mới, bạn Quốc đến cửa hàng mua một chiếc ba lô và một chiếc
máy tính cầm tay với tổng giá tiền niêm yết là
nghìn đồng. Hiện tại cửa hàng đang triển
khai chương trình giảm giá cho học sinh, sinh viên nên giá tiền của một chiếc ba lô giảm
và giá tiền của một chiếc máy tính cầm tay giảm
so với giá tiền niêm yết. Vì vậy bạn
Quốc đã chỉ phải trả
nghìn đồng khi mua hai sản phẩm này. Hỏi giá tiền niêm yết của một
chiếc ba lô và giá tiền niêm yết của một chiếc máy tính cầm tay là bao nhiêu?
3) Biết phương trình bậc hai có hai nghiệm và
, tìm tất cả giá trị của thỏa mãn . Câu 4. (4,0 điểm)
1) Gia đình bạn Khánh đang sử dụng một thùng đựng nước
dạng hình trụ với bán kính đáy bằng cm và chiều cao bằng
cm. Thùng đựng nước được đặt thẳng đứng trên
mặt sàn như hình vẽ minh họa bên. (Lấy và coi
chiều dài của thùng là không đáng kể).
a) Tính diện tích xung quanh của thùng đựng nước.
b) Sau một thời gian, gia đình bạn Khánh sử dụng nước
trong thùng thì mực nước còn lại đã thấp hơn cm so với
mực nước ban đầu. Tính thể tích nước trong thùng mà gia
đình bạn Khánh đã sử dụng trong khoảng thời gian đó. 2) Cho tam giác có ba góc nhọn
, nội tiếp đường tròn . Đường cao của tam giác cắt đường tròn
tạ điểm ( khác ). Gọi là chân đường vuông
góc kẻ từ điểm đến đường thẳng .
a) Chứng minh bốn điểm
cùng thuộc một đường tròn. b) Đường thẳng cắt đường thẳng tại điểm . Chứng minh là tia phân giác của góc và . c) Gọi
là trực tâm của tam giác
và là trung điểm của đoạn . Chứng minh đường thẳng
vuông góc với đường thẳng . Câu 5. (0,5 điểm)
Một công ty kinh doanh trong lĩnh vực vận tải đang vận hành một đội xe gồm xe chở hàng
cùng loại, với lợi nhuận trung bình của mỗi xe là triệu đồng một ngày. Để mở rộng mô hình
kinh doanh, công ty dự định bổ sung một số xe chở hàng cùng loại với xe đang vận hành. Công
ty đã tiến hành khảo sát và phân tích thị trường, kết quả cho thấy: cứ bổ sung một xe chở hàng
cùng loại vào hoạt động thì lợi nhuận trung bình của mỗi xe trong cả đội lại giảm đi nghìn
đồng một ngày. Hỏi công ty nên bổ sung bao nhiêu xe chở hàng cùng loại để lợi nhuận trung
bình mỗi ngày của đội xe là lớn nhất? ---HẾT--- HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. (1,5 điểm) 1) Kết quả khảo sát
học sinh lớp về thời gian tự học của mỗi bạn trong một tuần (đơn
vị; giờ) được cho trong bảng tần số ghép nhóm sau đây:
Thời gian tự học (giờ) Số học sinh
Xác định tần số và tần số tương đối ghép nhóm của nhóm .
2) Một hộp có chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số hai
thẻ khác nhau được ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một thẻ trong hộp. Tính xác suất của biến cố
“Số ghi trên thẻ rút được là một số chia hết cho ”. Lời giải
1) Dựa vào bảng tần số ghép nhóm đã cho, suy ra tần số của nhóm là bằng .
Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm là:
2) Do chiếc thẻ cùng loại, rút ngẫu nhiên thẻ trong hộp nên các kết quả xảy ra là đồng khả năng.
Ta có kết quả có thể xảy ra là:
Có kết quả thuận lợi của biến cố
“Số ghi trên thẻ rút được là một số chia hết cho 3” là: 3,6
Khi đó, xác suất của biến cố là: . Câu 2. (1,5 điểm) Cho hai biểu thức và với .
1) Tính giá trị của biểu thức khi . 2) Chứng minh .
3) Tìm số nguyên dương lớn nhất để . Lời giải 1) Thay
(thỏa mãn điều kiện xác định) vào biểu thức , ta được: . Vậy với thì biểu thức . 2) Với , ta có: Vậy
(điều phải chứng minh). 3) Với , ta có: Để thì hay hay Mà với mọi , suy ra: Kết hợp điều kiện suy ra
, mà là số nguyên lớn nhất, suy ra . Câu 3. (2,5 điểm)
1) Một ô tô đi từ Hà Nội đến Hải Phòng với vận tốc trung bình
km/h. Khi từ Hải Phòng về
Hà Nội trên cùng quãng đường đó, do điều kiện thời tiết xấu nên ô tô đi với vận tốc trung bình
km/h. Biết thời gian ô tô đi từ Hà Nội đến Hải Phòng ít hơn thời gian ô tô đi từ Hải Phòng
về Hà Nội là giờ, tính độ dài quãng đường ô tô đi từ Hà Nội đến Hải Phòng.
2) Để chuẩn bị cho năm học mới, bạn Quốc đến cửa hàng mua một chiếc ba lô và một chiếc
máy tính cầm tay với tổng giá tiền niêm yết là
nghìn đồng. Hiện tại cửa hàng đang triển
khai chương trình giảm giá cho học sinh, sinh viên nên giá tiền của một chiếc ba lô giảm
và giá tiền của một chiếc máy tính cầm tay giảm
so với giá tiền niêm yết. Vì vậy bạn
Quốc đã chỉ phải trả
nghìn đồng khi mua hai sản phẩm này. Hỏi giá tiền niêm yết của một
chiếc ba lô và giá tiền niêm yết của một chiếc máy tính cầm tay là bao nhiêu?
3) Biết phương trình bậc hai có hai nghiệm và
, tìm tất cả giá trị của thỏa mãn . Lời giải
1) Gọi độ dài quãng đường ô tô đi từ Hà Nội đến Hải Phòng là (km, ).
Thời gian ô tô đi từ Hà Nội về Hải Phòng là: (giờ).
Thời gian ô tô đi từ Hải Phòng về Hà Nội là: (giờ).