Đề thi vào 10 môn Toán tỉnh Hà Nội_KHTN Năng Khiếu (Hệ không chuyên) năm 2021

Đ I Ạ H C Ọ QU C Ố GIA HÀ N I Ộ Đ Ề THI TUY N Ể SINH VÀO L P Ớ 10 TRƯỜNG ĐH KHOA H C Ọ T N Ự HIÊN TRƯ N
Ờ G THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2020
MÔN THI: TOÁN (cho t t ấ c các t ả hí sinh) Th i
ờ gian làm bài: 120 phút (không k t ể h i ờ gian phát đ ) ề Câu I. (4 đi m ể ) 2 2
x  y  xy 7    3 2
9x xy  70 x  y 1) Gi i ả h ph ệ ư ng t ơ rình :    
11 5  x  8 2x  1 24   3 5  x 2x  1 2) Gi i ả phư ng t ơ rình:     Câu II. (2 đi m ể ) 2 2 2 2
1) Tìm x, y nguyên dư ng t ơ h a
ỏ mãn x y  16xy  99 9
 x  36 y 13x  26 y 2) V i
ớ a,b là nh ng s ữ ố th c d ự ư ng ơ th a m ỏ ãn 2 2 2 2  a  3b 5  ;8a 12b 2
 a  3b  5ab 10 Ch ng ứ minh r ng: ằ 2 2
3a  8b 10ab 2  1 Câu III. (3 đi m ể )
Cho tam giác ABC có BAC là góc nh nh ỏ ất trong ba góc c a t ủ am giác và n i ộ ti p ế đư ng ờ tròn (O). Đi m ể D thu c c ộ nh
ạ BC sao cho AD là phân giác BAC. Lấy các đi m ể M , N thu c ộ (O) sao cho đư ng t ờ h ng
ẳ CM , BN cùng song song v i ớ đư ng ờ th ng ẳ AD 1) Ch ng ứ minh r ng ằ AM AN 2) G i ọ giao đi m ể c a đ ủ ư ng ờ th ng ẳ MN v i ớ các đư ng ờ th ng ẳ AC, AB lần lư t
ợ là E, F.Ch ng m ứ inh r ng b ằ ốn đi m
ể B,C, E, F cùng thu c m ộ t ộ đư ng ờ tròn 3) G i
ọ P,Q theo th t ứ l ự à trung đi m ể c a các ủ đo n t ạ h ng
ẳ AM , AN.Ch ng ứ minh r ng các ằ đư ng t ờ h ng
ẳ EQ, FP, AD đồng quy. Câu IV. (1 đi m ể ) V i ớ a, , b c là nh ng s ữ ố th c d ự ư ng ơ th a m ỏ
ãn a  b  c 3  .Ch ng ứ minh r ng: ằ


a a  bc 2
b b  ca2
c c  ab2   4  b 2
ab  2c  c 2
bc  2a  a 2 ca  2b  ĐÁP ÁN Câu I. 2 2
x  y  xy 7  (1)   3 2
9x xy  70 x  y (2) 1) Giải h p ệ hư ng t ơ rình:     2  7 3   x 7  x     3 3 8  x 0    N u
ế x y, hệ phư ng t ơ rình tr t ở hành x 0   (Vô nghi m ệ ), do đó x y Nhân c hai ả v c ế a ủ phư ng t ơ rình   1 v i ớ x  y 0  ta có:
    x  y  2 2
x  y  xy   x  y 3 3
 x  y   x  y   3 3 1 7 7
10 x  y  70   x  y Th vào ph ế ư ng ơ trình  2 ta có:  2 3 2
 9x xy 10 3 3 x  y  3 2 3
 x  xy  10 y 0   x  2 y 0   3
  x  2 y  2 2
x  2xy  5y  0    2 2
 x  2xy  5y 0   4 
Ta có:  3  x 2  y Th vào ph ế ư ng ơ trình (1) ta có:  y 1   x 2  2 2 2 2
4y  y  2y 7   7 y 7
   y  1 x  2 
 4  x  2xy  y  4y 0
   x  2y 2 2 2 2 2  4 y 0  x  2 y 0 
  x  2 y 2   2 y 2 0     x y 0(  ktm) y 0   ;
x y  2;1 ;  2; 1 V y ậ nghi m ệ c a h ủ ph ệ ư ng t ơ rình là       
11 5  x  8 2x  1 24   3 5  x 2x  1 2) Giải phư ng t ơ rình:    


11 5  x  8 2x  1 24 
 3  5  x  2x   1 * 5   x 0  1   x 5  ĐKXĐ: 2x  1 0  2   5  x a    a 0   2  a 5   x    2  2x  1 b  b 0  b  2  x  1 Đ t ặ :     2 2  2a  b 2
  5  x  2x  1 9  11  a  8b 24   3ab (1)  2 2
Khi đó ta có: 2a  b 9  (2)  Gi i ả phư ng t ơ rình  
1 ta có:  1  11a  3ab 2
 4  8b  a 11  3b 2  4  8b * 11 16 11 11 3b 0   b 
  *  0a   b  V i ớ 3 3 (vô lý) 3 không là nghi m ệ c a ủ phư ng ơ trình (*)
24  8b 8b  24 8b  24  a   a  11 3b 3b  11 , Thay
3b  11 vào  2 ta đư c: ợ 2  8b  24  2  2  2  b 9    3b 11     2 2
64b  384b  576 2  b  2 9b  66b   121 9   2 9b  66b   121 2 4 3 2 2
 128b  768b 1152  9b  66b 121b  81b  594b  1089 0  4 3 2 4 3 2
 9b  66b 168b  174b  63 0
  3b  22b  56b  58b  21 0    b   1  3 2
3b  19b  37b  2  1 0    b   1  b  
1  b  3  3b  7 0            2x  1 1 b 1 0 b 1   2x  1 1   x 1  (tm) b 3 0  b 3  2x 1 3  2x 1 9               x 5  (tm)      3b 7 0  7  7  49     29   b   2x  1   2x  1   x  (tm)  3  3  9  9  29 S 1; ;5   V y ậ phư ng t ơ rình có t p nghi ậ m ệ  9 

Câu II.
1) Tìm x, y nguyên dư ng t ơ h a ỏ mãn: 2 2 2 2
x y  16xy  99 9
 x  36 y 13x  26 y 2 2 2 2
x y  16xy  99 9
 x  36 y 13x  26 y 2 2 2 2
 x y  20xy  99 9
 x  36xy  36 y 13x  26 y
  x y  20xy 100  1 
 3x  2 y  2 2 2
13 x  2y * x  2 y a    a  0 xy 10 b  b 10 Đ t ặ        2 2 *  b  1 9  a 13a 13 169 169 2 2  9a  2.3 . a   b   1 6 36 36 2  13  133  3a   b    18a 13 2 2 2  36 133    6  36
 18a  6b 13 18a  6b 13 133  (1) Ta l i
ạ có : a,b  0  18a  6b 13 18a  6b 13  0 L i ạ có 133 1  33.1 1  9.7  b  11    (tm)  18  a  6b 13 0   18  a  6b 1  20 a 3       
18a  6b 13 1 
18a  6b  12          19 1     a  18 
a  6b 13 19   18  a  6b 3  2    6       (ktm)
 18a  6b 13 7   
 18a  6b  6  25   b       18 x  2 y 3  x 3   2 y x 3   2 y x 3   2 y        xy 10 11  xy 1  y    3  2y  2 1  2y  3y 1 0    x 3   2 y x 3 2y     1 x 1  (tm)  
  y  (ktm)   2y  1  y  1 0      2 y 1  (tm)      y 1  