Đề thi vào 10 môn Toán tỉnh Hà Nội_Sư Phạm Hà Nội (Hệ không chuyên) năm 2021

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO T O Ạ C N Ộ G HÒA XA H I Ộ CH N Ủ GHĨA VI T Ệ TRƯỜNG Đ I Ạ HỌC S P Ư H M Ạ HÀ N I Ộ NAM Đ c
ộ lập – Tự do – H n ạ h phúc Đ C Ề HÍNH TH C Ứ Bài 1. (2,0 đi m) ể  4 x 8x   x  1 2  P    :    2  x 4  x x  2 x x Cho biểu th c ứ     v i ớ x  0; x 4  ; x 9  a) Rút g n bi ọ u t ể h c ứ P
m x  3.P  x 1 b) Tìm m sao cho đúng v i ớ m i ọ giá tr ị x  9 Bài 2. (3,0 đi m) ể d : y 5  x  9 a) Trong h t ệ rục tọa đ ộ Oxy cho hai đư ng ờ thẳng  1  và
 d  : y  2
 m  4 x  3m 2  (m là tham s ). ố Tìm các giá trị c a ủ m để hai đư ng ờ thẳng d d 1 và 2 là song song. 2
x  2 m  1 x  2m  5 0 b) Cho phư ng ơ trình:    (m là tham s ). ố Tìm các giá tr c ị ủa m x , x để phư ng ơ trình trên có 2 nghi m ệ 1 2 th a ỏ mãn:  2
x  2mx  2m  1 x  2 0 1 1   2   c) Hai ô tô cùng kh i ở hành m t ộ lúc trên quãng đư ng ờ t ừ A đ n
ế B dài 120km . Vì mỗi giờ ô tô th nhá ứ t chạy nhanh h n ô t ơ ô th ha ứ i là 10km nên đ n ế B trư c ớ ô tô th ha ứ i là 0, 4 gi . ờ Tính vận t c ố mỗi ô tô, bi t ế r ng v ằ n t ậ ốc c a ủ m i ỗ ô tô là không đ i ổ trên c quã ả ng đư ng ờ A . B Bài 3. (1,5 đi m) ể Bác An mu n ố làm m t ộ cửa s khuôn g ổ , ỗ phía trên có d ng n ạ a ử hình tròn, phía dư i ớ
có dạng hình chữ nhật. Bi t ế rằng : đư ng ờ kính c a ủ n a
ử hình tròn cũng là c nh phí ạ a trên c a ủ hình ch nh ữ ật và t ng đ ổ ộ dài các khuôn g (c ỗ ác đư ng ờ in đ m ậ v t ẽ rong hình bên, b qua ỏ đ r ộ ng ộ c a ủ khuôn g ) ỗ là 8 .
m Em hãy giúp bác An tính đ dà ộ i các c nh ạ
của hình chữ nhật để c a ử s c ổ ó diện tích l n ớ nhất Bài 4. (3,0 đi m) ể O Cho đư ng ờ tròn   và m t
ộ điểm nằm ngoài đư ng ờ tròn. K t ẻ i p t ế uy n ế AB v i ớ O đư ng
ờ tròn   (B là ti p đi ế m ể ) và đư ng
ờ kính BC.Trên đoạn thẳng CO lấy điểm I ( I O khác C và O). Đư ng t ờ
hẳng IA cắt   tại hai điểm D và E ( D nằm gi a ữ A và E). G i ọ H là trung đi m ể c a ủ đoạn thẳng DE a) Ch ng ứ minh . AB BE B . D AE b) Đư ng t ờ
hẳng d đi qua điểm E song song v i
ớ AO, d cắt BC tại điểm K.Ch ng ứ minh HK / /CD


c) Tia CD cắt AO tại điểm P, tia EO cắt BP tại điểm F.Ch ng m ứ inh t gi ứ ác BECF là hình chữ nhật x y z Bài 5. (0,5 đi m) ể Tìm các s t ố h c ự , , th a ỏ mãn các đi u ki ề n s ệ au:
0  x, y, z 1    x y z 3    1
  y  zx 1 z  xy 1 x  yz x  y  z  ĐÁP ÁN Bài 1. a) Rút g n bi ọ u t ể h c ứ P V i ớ x  0, x 4  , x 9  ta có: 4 x 8x x  1 2  4 x 8x   x  1 2      P   :     :         2  x 4  x x  2 x x  2  x    
 2  x 2  x   x. x  2 x     
4 x  2  x   8x
x  1 2 x  2 x
x  x  x  x  2 8 4 8  P  :  .
 2  x  2  x  x  x  2
 2  x  2  x  x  1 2 x 4 x 
 x  2 4 x. x 2. 8 4 x x x 4x  .  
 2  x 2  x  3  x
 x  2. x  3 x  3 4x P  V y ậ x  3 .
m x  3.P  x 1
b) Tìm m sao cho đúng v i ớ m i ọ giá tr ị x  9 Đi u ki ề n: ệ x  9. x   9, Ta có:
   P  x   m x   4x m x 3 . 1 3 .  x 1 x  3 1
 4mx  x 1   4m  
1 x 1  4m  1  x 1 1 
Vì x  9 nên x 9 1 1 10 5 4m  1  , x   9
4m  1   4m   m  Do đó x thì 9 9 18

5 m  V y ậ 18 Bài 2. a) Tìm các giá tr c ị a
ủ m đ hai ể đư ng t ờ h ng ẳ d ,d 1 2 song song 2
d : y  m  4 x  3m Ta có hai đư ng ờ th ng ẳ  d : y 5  x  9 1  và  2    song song  m 3  2 2 m  4 5  m 9      
  m  3  m  3 3m 9 m 3      m 3   V y
ậ m  3 thì đư ng t ờ h ng ẳ d d 1 và 2 song song. 2
x  2mx  2m  1 x  2 0 b) Tìm m đ ể  1 1   2   2 Xét phư ng
ơ trình: x  2 m  
1 x  2m  5 0  , ta có:  '   m   2 2 1  2m  5 m 
 2m 1  2m  5 m   4m  4  2   m  2 2 2  2  0 m    Phư ng
ơ trình đã cho luôn có hai nghiệm phân bi t ệ x , x 1 2 v i ớ m i ọ m x  x 2  m  2 1 2  Áp d ng ụ h t ệ h c ứ Vi et ta có: x x 2  m  5  1 2 Vì x1là nghi m ệ c a ủ phư ng t ơ rình đã cho nên ta có: 2
x  2 m   2
1 x  2m  5 0
  x  2mx  2x  2m  5 0 1 1 1 1 1  2 2
 x  2mx  2m  1  2x  4 0
  x  2mx  2m  1  2 x  2 1 1 1 1 1  1  Theo đ bài ề ta có:  2
x  2mx  2m  1 x  2 0
   2 x  2 x  2 0 1 1   2   1   2  
  x  2 x  2 0
  x x  2 x  x  4 0 1   2  1 2  1 2  
 2m  5  2 2m  2  4 0
  2m  1  4m  4 0  3
 2m  1  4m  4 0
   2m  3  m 2

3 m  V y ậ 2 th a m ỏ ãn đi u ki ề n bài ệ toán c) Tính v n t ậ c m ố i ỗ ô tô G i ọ v n t ậ ốc c a ô t ủ ô th nh ứ t
ấ là x km / h  x 10 120 (h)  Th i ờ gian ô tô th nh ứ t ấ đi h t ế quãng đư ng ờ AB là x V n ậ tốc c a ô t ủ ô th nh ứ t ấ l n h ớ n v ơ n ậ t c c ố a ủ ô tô th hai ứ
là 10km / h  V n ậ tốc c a
ủ ô tô thứ hai là : x  10(km / h) 120 (h)  Th i ờ gian c a ủ ô tô thứ hai đi h t ế quãng đư ng ờ
AB là : x  10 2 0,4h  h Vì ô tô th nh ứ t ấ đ n B ế trư c ớ ô tô th hai ứ là 5 nên ta có phư ng ơ trình: 120 120 2 
  5.120x  5.120. x  10 2
 x  x  10 x  10 x 5 2 2
 600x  600x  6000 2
 x  20x  2x  20x  6000 0  2 2
 x  10x  3000 0
  x  60x  50x  3000 0   x  60 0   x 60(  tm)
  x  60  x  50 0     x 50 0    x  50   V y ậ v n t ậ ốc c a ủ ô tô thứ nh t
ấ là 60km / h và v n ậ tốc c a ô t ủ ô th hai ứ : 60  10 5  0(km / h) Bài 3. Tính đ dài ộ c nh và d ạ i n t ệ ích l n nh ớ t ấ G i ọ đư ng kí ờ nh c a n ủ a
ử hình tròn là x m  0  x  8  Bán kính c a ủ n a ử đư ng ờ x (m) tròn 2