Lý thuyết Toán 10 Kết nối tri thức Bài 24: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Đây là bản xem th , vu ử i lòng mua tài li u ệ đ xe ể m chi ti t (c ế ó l i ờ gi i ả ) Bài 24. Hoán v , ch ị nh h ỉ p và t ợ h ổ p ợ A. Lý thuy t ế 1. Hoán vị M t ộ hoán vị c a m ủ t ộ t p ậ h p có n ph ợ ần t l ử à m t ộ cách s p ắ x p có t ế h t ứ n ph ự n ầ t đó ( ử v i ớ n là m t ộ s t ố ự nhiên, n ≥ 1). Số các hoán vị c a ủ t p h ậ p có ợ n ph n t ầ , kí ử hi u l ệ à Pn, đư c ợ tính b ng công t ằ h c ứ
Pn = n.(n – 1).(n – 2) … 2.1. Chú ý : + Kí hi u n.( ệ
n – 1).(n – 2) … 2.1 là n! (đ c l ọ à n giai th a) ừ , ta có : Pn = n!. Ch ng h ẳ n ạ v i
ớ n = 3 ta có P3 = 3! = 3.2.1 = 6. + Quy ư c ớ 0! = 1.
Ví dụ : Từ 3 chữ số 1, 6, 9 có thể l p ậ đư c
ợ bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau ? Hư ng d ớ ẫn gi i ả Mỗi cách s p ắ x p ế ba ch ữ s ố đã cho đ ể l p ậ thành m t ộ s ố có ba ch ữ s ố khác nhau là m t ộ hoán v c ị a ủ ba ch s ữ ố đó.
Do đó ta có số các số th a
ỏ mãn là: P3 = 3! = 3.2.1 = 6 (s ) ố . V y ậ có 6 số có ba ch s ữ khác nhau ố l p t ậ ba ch ừ ữ s 1, 6, 9. ố 2. Ch nh h ỉ p ợ M t ộ chỉnh h p ợ ch p ậ k c a ủ n là m t ộ cách s p ắ x p ế có th t ứ ự k ph n ầ t t ử ừ m t ộ t p ậ h p ợ n phần t ( ử v i ớ k, n là các s t ố nhi ự ên, 1 ≤ k ≤ n). k Số các chỉnh h p ch ợ p k c ậ a ủ n, kí hi u l ệ à An , đư c t ợ ính b ng ằ công th c: ứ n! k A  k A n (n  k)!
n = n.(n – 1)…(n – k + 1) hay (1 ≤ k ≤ n). Chú ý : M i
ọ thắc mắc vui lòng xin liên h h
ệ otline: 084 283 45 85
Đây là bản xem th , vu ử i lòng mua tài li u ệ đ xe ể m chi ti t (c ế ó l i ờ gi i ả ) + Hoán vị s p ắ x p ế t t ấ cả các ph n ầ tử c a ủ t p ậ h p, ợ còn ch nh ỉ h p ợ ch n ọ ra m t ộ số phần t và s ử p x ắ p ế chúng. + Mỗi hoán vị c a ủ n ph n ầ t ử cũng chính là m t ộ ch nh ỉ h p ợ ch p ậ n c a ủ n ph n ầ tử n đó. Vì v y P ậ A n = n . Ví d : ụ M t ộ nhóm có 8 h c ọ sinh, giáo viên mu n ố ch n ọ ra hai b n, ạ trong đó m t ộ b n ạ làm nhóm trư ng ở và m t ộ b n l ạ àm nhóm phó. H i ỏ có bao nhiêu cách ch n ọ ? Hư ng d ớ ẫn gi i ả Mỗi cách ch n ọ l n ầ lư t ợ 2 b n ạ trong 8 b n, ạ m t ộ b n ạ làm nhóm trư ng ở và m t ộ b n ạ làm nhóm phó là m t ộ ch nh h ỉ p ch ợ p ậ 2 c a 8 h ủ c ọ sinh. 8! 2 A  5  6 8 Ta có : (8  2)! . V y ậ có 56 cách ch n ọ ra 2 trong 8 b n, ạ m t ộ b n ạ làm nhóm trư ng, ở m t ộ b n ạ làm nhóm phó. 3. Tổ h p ợ M t ộ tổ h p ợ ch p ậ k c a ủ n là m t ộ cách ch n ọ k ph n ầ t ử t ừ m t ộ t p ậ h p ợ n ph n ầ tử (v i ớ k, n là các số t nhi ự ên, 0 ≤ k ≤ n). k Số các tổ h p ch ợ p ậ k c a n, kí ủ hi u l ệ à Cn , đư c t ợ ính b ng ằ công th c ứ : n! k C  (0 k  n  ) n (n  k)!k! . Chú ý : k A k n C  n +) k! +) Ch nh ỉ h p ợ và tổ h p ợ có đi m ể gi ng ố nhau là đ u ề ch n ọ m t ộ số ph n ầ tử trong m t ộ t p ậ h p, ợ nh ng ư khác nhau ở ch , ỗ ch nh ỉ h p ợ là ch n ọ có x p ế thứ t , ự còn tổ h p ợ là ch n không x ọ p t ế h t ứ . ự M i
ọ thắc mắc vui lòng xin liên h h
ệ otline: 084 283 45 85
Đây là bản xem th , vu ử i lòng mua tài li u ệ đ xe ể m chi ti t (c ế ó l i ờ gi i ả ) Ví dụ : M t ộ tổ có 10 ngư i ờ , b n ạ tổ trư ng ở mu n ố c ử ra 5 b n ạ đi tr c ự nh t ậ . H i ỏ có bao nhiêu cách ch n ọ ? Hư ng d ớ ẫn gi i ả Mỗi cách ch n ọ l n ầ lư t ợ 5 b n ạ trong 10 b n ạ đi tr c ự nh t ậ là m t ộ tổ h p ợ ch p ậ 5 c a ủ 10. 10! 5 C  2  52 10 Ta có (10  5)!5! . V y ậ có 252 cách ch n 5 t ọ rong 10 b n ạ đi tr c ự nh t ậ . 4. ng d Ứ ng h ụ oán v , ch ị nh h ỉ p, t ợ h ổ p vào các ợ bài toán đ m ế Các khái ni m ệ hoán v ,ị ch nh ỉ h p ợ và tổ h p ợ liên quan m t ậ thi t ế v i ớ nhau và là nh ng ữ khái ni m ệ c t ố lõi c a ủ các phép đ m ế . R t ấ nhi u ề bài toán liên quan đ n ế k k việc l a ự ch n, ọ vi c ệ s p ắ x p, ế vì v y ậ các công th c ứ tính P A C n, n , n sẽ đư c ợ dùng rất nhi u. ề
Ví dụ : Ở các căn hộ chung c , ư ngư i ờ ta thư ng ờ dùng các ch s ữ ố đ ể t o m ạ t ậ mã mở c a. ử Gia đình bác An đ t ặ m t ậ mã nhà là m t ộ dãy số g m ồ 6 chữ số đôi m t ộ khác nhau. H i
ỏ bác An có bao nhiêu cách t o m ạ t ậ mã ? Hư ng d ớ ẫn gi i ả Các ch s ữ ố có m t ộ ch s ữ ố đ t ể o ạ m t
ậ mã là 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9. Vì m t ậ mã nhà là m t ộ dãy s ố g m ồ 6 ch ữ s ố đôi m t ộ khác nhau nên m i ỗ m t ậ mã là m t ộ chỉnh h p ợ ch p 6 c ậ a ủ 10 ch s ữ . ố 10! 6 A  1  51 200 10 Ta có (10  6)! . V y ậ có 151 200 cách đ bác ể An t o ạ m t ậ mã c a. ử
5. Sử dụng máy tính c m ầ tay Ta có th dùng m ể áy tính c m ầ tay đ t ể ính s các ố hoán v , ch ị nh h ỉ p và t ợ h ổ p. ợ Hoán vị M i
ọ thắc mắc vui lòng xin liên h h
ệ otline: 084 283 45 85
Đây là bản xem th , vu ử i lòng mua tài li u ệ đ xe ể m chi ti t (c ế ó l i ờ gi i ả ) Để tính n!, ta n phí ấ m theo trình t s ự au : n Ấ số n, n ấ phím , sau đó n ấ phím . Khi đó k t ế quả sẽ hi n ể thị ở dòng k t ế qu . ả Ví dụ : Tính 9! Ta ấn liên ti p các phí ế m nh s ư au Dòng k t ế quả hi n r ệ a 362 880. V y ậ 9! = 362 880. Ch nh h ỉ p ợ k
Để tính An ta ấn theo trình t s ự au : n Ấ số n, n ấ phím ấn số k, sau đó n ấ phím . Khi đó k t ế qu ả sẽ hi n ể thị dòng k ở t ế qu . ả 2 Ví d : ụ Tính A15
Ta ấn các phím theo trình t s ự au : Dòng k t ế quả hi n r ệ a 210. 2 V y ậ A15 = 210. T h ổ p ợ k
Để tính Cn ta ấn phím theo trình t s ự au : n Ấ số n, ấn phím , ấn số k, sau đó n ấ phím . Khi đó, k t ế quả sẽ hi n t ể hị dòng k ở t ế qu . ả 5 Ví d : ụ Tính C20
Ta ấn các phím theo trình t s ự au : . Dòng k t ế quả hi n r ệ a 15 504. 5 V y ậ C20 = 15 504. B. Bài t p t ậ l ự uy n ệ M i
ọ thắc mắc vui lòng xin liên h h
ệ otline: 084 283 45 85