Phương pháp giải Toán 7 (cơ bản, nâng cao) Học kì 2

378 189 lượt tải
Chia sẻ Facebook Báo cáo tài liệu
Lớp: Lớp 7
Môn: Toán Học
Dạng: Chuyên đề
File:
Loại: Tài liệu lẻ

CÁCH MUA:

  • B1: Gửi phí vào TK: 0711000255837 - NGUYEN THANH TUYEN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
  • B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official ( nhấn vào đây ) để xác nhận thanh toán và tải tài liệu - giáo án

Liên hệ ngay Hotline hỗ trợ: 084 283 45 85

Tài liệu được cập nhật liên tục trong gói này từ nay đến hết tháng 3/2024. Chúng tôi đảm bảo đủ số lượng đề đã cam kết hoặc có thể nhiều hơn, tất cả có BẢN WORD,  LỜI GIẢI CHI TIẾT và tải về dễ dàng.

Để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút Tải Xuống ở trên!

  • Tailieugiaovien.com.vn giới thiệu bộ Chuyên đề Phương pháp giải Toán 7 biên soạn theo sgk Toán 7 Chân trời sáng tạo, các bộ sách khác có thể sử dụng được, từ cơ bản đến nâng cao gồm các dạng bài tập với phương pháp giải chi tiết nhằm giúp Giáo viên có thêm tài liệu tham khảo.
  • File word có lời giải chi tiết 100%.
  • Mua trọn bộ sẽ tiết kiệm hơn tải lẻ 50%.

Đánh giá

4.6 / 5(378 )
5
53%
4
22%
3
14%
2
5%
1
7%
Trọng Bình
Tài liệu hay

Giúp ích cho tôi rất nhiều

Duy Trần
Tài liệu chuẩn

Rất thích tài liệu bên VJ soạn (bám sát chương trình dạy)

TÀI LIỆU BỘ BÁN CHẠY MÔN Toán Học

Xem thêm

TÀI LIỆU BỘ BÁN CHẠY Lớp 7

Xem thêm

Tài liệu bộ mới nhất

TẢI NGAY
Lớp 7 GDCD

Đề cương Cuối kì 1 GDCD 7 Chân trời sáng tạo (có lời giải)

(5.0)

50.000 ₫
3 6
TẢI NGAY
Lớp 7 GDCD

Đề cương Cuối kì 1 GDCD 7 Cánh diều (có lời giải)

(5.0)

50.000 ₫
1 2
TẢI NGAY
Lớp 7 GDCD

Đề cương Cuối kì 1 GDCD 7 Kết nối tri thức (có lời giải)

(5.0)

50.000 ₫
1 2
TẢI NGAY
Lớp 6 Toán Học

Đề cương ôn tập Cuối kì 1 Toán 6 Chân trời sáng tạo

(5.0)

80.000 ₫
12 24
TẢI NGAY
Lớp 6 Toán Học

Đề cương ôn tập Cuối kì 1 Toán 6 Cánh diều

(5.0)

80.000 ₫
8 15
TẢI NGAY
Lớp 6 Toán Học

Đề cương ôn tập Cuối kì 1 Toán 6 Kết nối tri thức

(5.0)

80.000 ₫
34 67
TẢI NGAY
Lớp 7 Toán Học

Đề cương ôn tập Cuối kì 1 Toán 7 Chân trời sáng tạo

(5.0)

80.000 ₫
17 33
TẢI NGAY
Lớp 7 Toán Học

Đề cương ôn tập Cuối kì 1 Toán 7 Cánh diều

(5.0)

80.000 ₫
14 27
TẢI NGAY
Lớp 7 Toán Học

Đề cương ôn tập Cuối kì 1 Toán 7 Chân trời sáng tạo

(5.0)

Miễn phí
38
TẢI NGAY
Lớp 7 Toán Học

Đề cương ôn tập Cuối kì 1 Toán 7 Cánh diều

(5.0)

Miễn phí
27
Chương VI: CÁC ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ
Chủ đề 1: TỈ LỆ THỨC- DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Dạng 1: TỈ LỆ THỨC- TÌM X
A. PHƯƠNG PHÁP
Nhắc lại định nghĩa và các tính chất quan trọng của tỉ lệ thức.
Định nghĩa: Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số có dạng
ac
bd
Tỉ lệ thức
ac
bd
còn được viết là:
::a b c d
- Các ngoại tỉ: a và d
- Các trung tỉ: b và c
Ta có các tính chât:
+ Nếu
ac
bd
thì
.a d bc
+ Nếu
..a d bc
và
; ; ; 0a b c d
thì ta có các tỉ lệ thức:
,,,
a c a b d c d b
b d c d b a c a
B. BÀI TẬP MẪU CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài tập mẫu 1: Từ đẳng thức
và
0,24.1,61 0,84.0,46
ta có thể lập được các tỉ lệ
thức nào?
Hướng dẫn giải
+ Từ đẳng thức
6.63 9.42
ta có thể lập được các tỉ lệ thức sau
6 42 6 9 63 42 9 63
;;;
9 63 42 63 9 6 6 42
+ Từ đẳng thức
0,24.1,61 0,84.0,46
ta có thể lập được các tỉ lệ thức sau :
0,24 0,46 1,61 0,46 0,24 0,84 0,84 1,61
;;;
0,84 1,61 0,84 0,24 0,46 1,61 0,24 0,46
Bài tập mẫu 2: Tìm x trong các trường hợp sau:
a.
2
27 3,6
x
b.
1
4
4
7
1,61
2
8
x
Hướng dẫn giải
a. Áp dụng tính chất:
3,6 2.27x
2.27
3,6
x
1,5x
Vậy:
1,5x 
là giá trị cần tìm
b. Áp dụng tính chất:
71
2 4 1,61
84
x 
23 17
1,61
84
x
23 27,37
84
x
27,37 23
:
48
x
27,37 8
43
x
119
50
x
Vậy:
119
50
x
là giá trị cần tìm.
Bài tập mẫu 3: Tìm x trong các tỉ lệ thức sau :
a.
1,35 1,25
0,2 0,1x
b.
1
3
4
1
2,7
2
4
x
c.
33
4 20
x
Hướng dẫn giải
a. Áp dụng tính chất:
1,35.0,1 1,25.0,2x
0,135 0.25x
0,25
0,135
x
50
27
x
Vậy
50
27
x
là giá trị cần tìm.
b. Áp dụng tính chất:
11
2 3 2,7
44
x
9 1 27
3
4 4 10
x
27 27
4 40
x
27 27
:
40 4
x
27 4
40 27
x
4
40
x
1
10
x
Vậy:
1
10
x
là giá trị cần tìm.
c. Áp dụng tính chất:
3.20 4.3x
60 12 x
60
5
12
xx
Vậy:
5x
là giá trị cần tìm.
Bài tập mẫu 4: Tìm x trong các trường hợp sau:
a.
0,4: :0,9xx
b.
12
0,2:1 : 6 7
53
x
c.
11
13 :1 26: 2 1
33
x
d.
1,2 5
34x
Hướng dẫn giải
a. Áp dụng tính chất:
0,4
0,9
x
x
0,4.0,9 . xx
2
0,36x
0,6x
Vậy
0,6x 
là giá trị cần tìm.
b. Áp dụng tính chất:
2
0,2
3
1
67
1
5
x
21
0,2.(6 7) 1
35
x
2 2 6
(6 7)
10 3 5
x
14
(6 7)
55
x
41
6 7 :
55
x
45
67
51
x
6 7 4x
6 4 7x
63x
3
6
x
1
2
x
Vậy:
1
2
x
là giá trị cần tìm.
c. Áp dụng tính chất ta có :
40 4 26
:
3 3 2 1
x
40 3 26
3 4 2 1

x
26
10
21
x
10 (2 1) 26 x
26
21
10
x
13
21
5
x
13
21
5
x
8
2
5
x
8
:2
5
x
81
52
x
4
5
x
Vậy:
4
5
x
là giá trị cần tìm
d. Áp dụng tính chất:
1,2 4 5( 3)x
4,8 5( 3)x
4,8
3
5
x 
24
3
25
x
24
3
25
x
24 3 25
25

x
51
25
x
Vậy
51
25
x 
là giá trị cần tìm.
Bài tập mẫu 5: Tìm x trong các trường hợp sau:
a.
0,15
3,15 7,2
x
b.
2,6 12
42x

c.
11 6,32
10,5 x
d.
41
10
9
7,3
4
x
Hướng dẫn giải
a. Áp dụng tính chất:
.7,2 0,15 3,15x
36 189
5 400
x
189 36
:
400 5
x
189 5
400 36
x
21
320
x
Vậy:
21
320
x
là giá trị cần tìm.
b. Áp dụng tính chất:
( 12) 2,6 42 x
546
( 12)
5
x
546
:( 12)
5
x
546 1
5 12
x
91
10
x
Vậy:
91
10
x
là giá trị cần tìm.
c. Áp dụng tính chất:
11 6,32 10,5 x
1659
11
25
x
1659
:11
25
x
1659 1
25 11
x
1659
275
x
Vậy:
1659
275
x
là giá trị cần tìm.
d. Áp dụng tính chất:
41 9
7,3
10 4
x
9 41 73
4 10 10
x
9 2993
4 100
x
8 2 15
15

x
38
15
x
Vậy:
38
15
x
là giá trị cần tìm
Bài tập mẫu 6: Tìm x trong các trường hợp sau:
a.
23
58
x
b.
37 3
13 7
x
x
c.
3 2 3 1
5 7 5 1
xx
xx


d.
1 0,5 2
2 1 3
xx
xx


Hướng dẫn giải
a. Áp dụng tính chất:
( 2) 8 3 5 x
( 2) 8 15 x
8
2
15
x
8
2
15
x
8 2 15
15

x
38
15
x
Vậy
38
15
x
là giá trị cần tìm.
b. Áp dụng tính chất:
7 (37 ) 3 ( 13) xx
7 37 7 3 3 13 xx
259 7 3 39 xx
7 3 39 259 xx
10 220 x
220
10
x
22x
Vậy x = 2 là giá trị cần tìm.
c. Áp dụng tính chất:
(3 2)(5 1) (3 1)(5 7) x x x x
22
15 3 10 2 15 21 5 7 x x x x x x
13 2 16 7 xx
13 16 7 2 xx
39 x
9
3
x
3x
Vậy:
3x
là giá trị cần tìm
d. Áp dụng tính chất:
( 1)( 3) (0,5 2)(2 1) x x x x
22
3 3 0,5 4 2 x x x x x x
4 3 4,5 2xx
0,5 1 x
1
0,5
x
2x
.
Vậy:
2x
là giá trị cần tìm.
Bài tập mẫu 7: Tìm x trong các trường hợp sau:
a.
16
57
x
x
b.
2
24
6 25
x
c.
37 13
37
xx
Hướng dẫn giải
a. Áp dụng tính chất:
7( 1) 6( 5)xx
7 7 6 30 xx
7 6 30 7 xx
37x
Vậy:
37x
là giá trị cần tìm.
b. Áp dụng tính chất:
2
25 24.6x
2
25 144x
2
144
25
x
2
2
12
5



x
12
5
x
Vậy:
12
5
x 
là giá trị cần tìm .
c. Áp dụng tính chất:
7(37 ) 3( 13) xx
259 7 3 39 xx
7 3 39 259 xx
10 298 x
298
10
x
149
5
x
Vậy:
149
5
x
là giá trị cần tìm.
C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP CÓ ĐÁP ÁN
Bài tập 1 : Tìm x trong các TLT sau :
a.
27
21
39
0,3 x
b.
16
57
x
x
c.
2
24
6 25
x
Bài tập 2: Hãy lập tất cả TLT có từ 4 trong 5 số sau :
3;9;27; 81;243
?
D. HƯỚNG DẪN GIẢI HOẶC ĐÁP SỐ
Bài tập 1:
a.
0,02x
b.
37x
c.
12 12
;
55
x
Bài tập 2: Từ 4 trong 5 số trên có thể lập được 3 đẳng thức :
3.243 9.81 có 4 TLT 
9.243 27.81 có 4 TLT 
3.81 9.27 có 4 TLT 
Vậy có tất cả 12 TLT
Dạng 2: TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU(DTSBN)- BÀI TOÁN TÌM GIÁ
TRỊ DỰA VÀO TÍNH CHẤT TỈ LỆ THỨC BẰNG NHAU.
A. PHƯƠNG PHÁP:
Cho ti lệ thức
ac
bd
, khi đó ta có thể suy ra các mối liên hệ sau:
()
a c a c a c
bd
b d b d b d


Thật vậy: Đặt
ac
k
bd

(1) thì
a k b
c k d


Ta có
a c kb kd
k
b d b d



(2) ;
a c kb kd
k
b d b d



Từ (1); (2) và (3) ta có được điêuu cần chứng minh.
* Mở rộng: Cho tỉ lệ thức
a c e
b d f

. Bằng cách chứng minh tương tự ta có các tỉ lệ thức tưong
ứng sau:
a c e a c e a c e
b d f b d f b d f
Chú ý: Khi ta áp dụng quy tắc sau: Nếu
abc
thì ta suy ra:
ab
ac
B. BÀI TẬP MẪU CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài tập mẫu 1: Tìm hai số
;xy
thỏa mãn
35
xy
và
16xy
.
Hướng dẫn giải
Áp dụng DTSBN:
16
2
3 5 3 5 8
x y x y
+ Từ:
2 thì 6
3
x
x
+ Từ
2 thì 10
5
y
y
Vậy:
6x
và
10y
là giá trị cần tìm.
Bài tập mẫu 2: Tìm hai số
;xy
thỏa mãn
25
xy
và
7xy
.
Hướng dẫn giải
Áp dụng DTSBN:
7
1
2 5 2 ( 5) 7
x y x y
+ Từ:
1 thì 2
2
x
x
+ Từ
y
= -1 thì y = 5
-5
Vậy:
2x 
và
5y
là giá trị cần tìm.
Chú ý: Khi có dãy số
2 3 5
abc

ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2,3,5.
Ta cũng viết:
: : 2:3:5abc
Bài tập mẫu 3: Tìm
;xy
biết và
– 24yx
Hướng dẫn giải
Áp dụng DTSBN:
24
12
3 5 3 5 3 2
x y x y x

+ Từ:
12 thì 12.3 36
3
x
x
+ Từ:
12 thì 12.5 60
5
y
y
Vậy:
36x
và
60y
là giá trị cần tìm.
53
y
x
Bài tập mẫu 4: Tìm hai số
;xy
biết rằng:
25
xy
và
. 40xy
.
Hướng dẫn giải
Cách 1: (đặt ẩn phụ). Đặt
25
xy
k
, suy ra:
2
5
xk
yk
.
Thay vào: 2 .5 40kk
nên
2
10 40k
2
4.k
Ta có hai trường hợp.
2.2 4
TH1: 2 thì
5.2 10
x
k
y


2.( 2) 4
TH 2: 2 thì
5.( 2) 10
x
k
y

Vậy:
4
10
x
y
hoặc
4
10
x
y


là giá trị cần tìm.
Cách 2: (Sử dụng tính chất của DTSBN). Hiển nhiên
0x
Nhân cả hai vế của
25
xy
với
2
40
:8
2 5 5
x xy
x
thì
2
16x
nên
4x 
+ Với
4 4.5
4 ta có 10
2 5 2
y
xy
+ Với
4 4.5
4 ta có 10
2 5 2
y
xy

Vậy:
4
10
x
y
hoặc
4
10
x
y


là giá trị cần tìm.
Cách 3: (phương pháp thế)
Từ ti lệ thức
25
xy
ta rút
x
theo
y
rồi thế vào giả thiết
. 40xy
để tính.
Bài tập mẫu 5: Tìm ba số
,,x y z
biết rằng:
;
2 3 4 5
x y y z

và
10x y z
Hướng dẫn giải
Từ tỉ lệ thức
23
xy
ta suy ra
28
3 12
x
y

Mặt khác: Từ tỉ lệ thức
45
yz
ta suy ra
4 12
5 15
y
z

Do đó:
23
xy
nên cũng có
8 12 15
x y z

. Vậy:
8 12 15
x y z

Bài tập mẫu 6: Tìm các số a, b, c biết:
5 7 2
a b c


và
28a b c
.
Hướng dẫn giải
Áp dụng tính chất của DTSBN:
28
7
5 7 2 5 7 4 4
a b c a b c
Từ
7
5
a
nên
7 ( 5) 35a
7 nên 7 ( 7) 49 7 thì 7.2 14
72
bc
bc
Vậy 3 số cân tìm a, b, c cần tìm lần lượt là
35,49, 14
.
Bài tập mẫu 7: Tìm
,,abc
biết:
1 2 3
2 3 4
abc
và
– 15ab
Hướng dẫn giải
Từ giả thiết ta biến đổi:
2 2 3 2( ) 2.15
30
4 3 4 4 3 1
a b c a b
Từ:
30
2
a

thì
2
60 30
3
ab
thì
3
45 30
4
bc
thì
40c
Vậy:
60; 45; 40abc
là giá trị cần tìm.
Bài tập mẫu 8: Tìm
;;x y z
biết:
a.
1 2 3
2 3 4
x y z

(1) và
2 3 – 50x y z
b.
2 3 4
2
3 4 5
x y z

và
49x y z
Hướng dẫn giải
a. Từ (1) ta có:
2( 1) 3( 2) 3 2 2 3 6 3
4 9 4 4 9 4
x y z x y z

(2 3 ) 2 6 3 50 5
5
99
x y z

Ta có:
1
5 thì 1 10 11
2
x
xx
2
5 thì 2 15 17
3
y
yy
3
5 thì 3 20 23
4
z
zz
Vậy:
11; 17; 23x y z
là các giá trị cần tìm.
b. Chia các vế cho
(2;3;4) 12BCNN
thì
2 3 4 49
1
3.12 4.12 5.12 18 10 15 18 10 15 49
x y z x y z x y z

Từ đó suy ra:
18; 16xy
và
15z
là các giá trị cần tìm.
Bài tập mẫu 9. Tìm x; y biết rằng:
a.
23
xy
(1) và
54 2xy
b.
53
xy
và
22
4xy
, 0xy
Hướng dẫn giải
a. Ta có:
2 2 3 2
x x y x
Nên:
2
54
9
4 6 6
x xy

. Do đó:
2 2 2 2
4.9 (2.3) (6) ( 6) 6xx
Thay vào (2) ta có: Với
54
69
6
xy
; Với
54
69
6
xy
b. Ta có:
2 2 2 2
41
25 9 25 9 16 4
x y x y
2
25 5
Suy ra: hay
42
xx
2
93
hay
42
yy
Bài tập mẫu 10: Tìm a, b, c biết:
8 5 3
abc

và
18a b c
Hướng dẫn giải
Ta có
18
:3
8 5 3 8 5 3 6
a b c a b c

.
Từ đó ta tính được:
24; 15; 9a b c
.
Bài tập mẫu 11: Tìm
;;x y z
biết:
a.
253
x y z

và
2 3 – 32x y z
b.
32
xy
và
24xy
Hướng dẫn giải
a. Ta có
2 3 2 3 32
2
2 5 3 4 15 3 4 15 3 16
x y z x y z x y z
Suy ra:
2 4 2 10 2 6
2 5 3
x y z
x y z
Vậy:
4; 10; 6x y z
là giá trị cần tìm
b. Đặt:
32
xy
k
thì
3
2
xk
yk
Thay vào ta đươc:
2 2 2 2
3 .2 24 6 24 4 2 2k k k k k k
+ Với:
2 6; 4k x y
Vói:
2 6; 4k x y
.
Bài tập mẫu 12: Tìm các số
;;abc
biết:
a.
23
ab
và
15ab
b.
2 3 4
a b c

và
2 3 20a b c
Hướng dẫn giải
a. Ta có:
15
3
2 3 2 3 5
a b a b
Suy ra: 3 6
2
a
a
3 9
3
b
b
Vậy:
6; 9ab
là các giá trị cần tìm.
b. Ta có:
2 3 2 3 20
10
2 3 4 6 12 4 6 12 2
a b c b c a b c
Suy ra:
10 20
2
a
a
10 30
3
b
b
10 40
4
c
c
Vậy:
20; 30; 40a b c
là các giá trị cần tìm.
Bài tập mẫu 13: Cho
3 4 5
x y z

. Tính giá trị của:
2
x y z
B
x y z


Hướng dẫn giải
Đặt:
3 4 5
x y z
k
thì
3
4
5
xk
yk
zk
Thay vào
B
ta được:
3 4 5 2 2 1
2 3 8 5 6 6 3
x y z k k k k
B
x y z k k k k
Vậy:
1
3
B
.
Bài tập mẫu 14: Cho
a b c
bca

và
0abc
. Tính giá trị:
3 2 1930
1935
..a b c
M
b
Hướng dẫn giải
Áp dụng tính chẫt của DTSBN:
1
a b c a b c
b c a b c a


.
Từ đây suy ra:
;;a b b c c a
. Nên
abc
Do đó:
3 2 1930 3 2 1930 1935
1935 1935 1935
1
a b c b b b b
M
b b b
Bài tập mẫu 15. Tìm các số
1 2 9
; ;...;a a a
biết:
9
12
9
12
...
9 8 1
a
aa

và
1 2 9
... 90a a a
Hướng dẫn giải
Ta có:
1 2 9
9
12
(1 2 9)
9
12
90 45
1
9 8 1 9 8 1 45
a a a
a
aa

Từ đó dễ dàng suy ra
1 2 9
10a a a
Bài tập mẫu 16: Tìm
;;x y z
biết:
1 2 3 1
1
y z x z x y
x y z x y z

Hướng dẫn giải
Theo tính chất của DTSBN ta có từ (1)
1 1 2 3 2( )y z y z x z x y x y z
x x y z x y z

Nếu
0x y z
suy ra:
1
2
x y z

thì
0,5x y z
nên ta có:
11
2 1 2 1 2 1,5 3
2
yz
y z x x y z x x x x
x

25
2 2 3 2,5 3
6
xz
x y z y y y
y

3
2 3 2 3
xy
x y z x y z
z

59
33
26
z z z
Nếu
0x y z
thi
0x y z
.
Bài tập mẫu 17. Tìm
;;x y z
biết rằng:
2 3 5
x y z

và
810xyz
Hướng dẫn giải
Ta có:
2 3 5 2 2 2 2 3 5 30
x y z x x x x y z xyz
Nên:
3
3
3 3 3
810
27 27 27.8 6 6
2 30 8
xx
x x x



Từ:
2 3 5
x y z

và
6x
. Ta tính được:
9; 15yz
Vậy
6; 9; 15x y z
là giá trị cần tìm.
Bài tập mẫu 18. Tìm x biết rằng:
1 2 1 4 1 6
18 24 6
y y y
x


Hướng dẫn giải
Ta có:
1 4 1 2 1 6 2 8
24 18 6 18 6
y y y y
xx


Nên:
1 4 24 1 4 24 1
24 18 6 2(1 4 ) 18 6 2
yy
x y x

Từ đây tính được:
18 6 24.2 5xx
.
Bài tập mẫu 19. Tìm các số
1 2 1
, , ,
nn
x x x x
biết rằng:
12
12
...
n
n
x
xx
a a a
và
12
...
n
x x x c
1 2 1 2
0; 0;...; 0; ... 0
nn
a a a a a a
Hướng dẫn giải
Ta có:
12
12
1 2 1 2 1 2
nn
nnn
x x x x
xx
c
a a a a a a a a a
Do đó:
12
i
i
n
ca
x
a a a
. Trong đó:
1;2;3; ;in
Bài tập mẫu 20: Tìm các số
;;x y z
biết rằng:
( ):(5 ):( ):(9 ) 3:1:2:5x y z y z y
Hướng dẫn giải
Ta có
59
: (1)
3 1 2 5
x y z y z y
k
Khi đó:
( ) (5 ) ( ) (9 ) 4
3 1 2 5 1
x y z y z y x y
Do đó:
4
3
x y k
x y k

. Nên
4k x y
. Suy ra:
43kk
hay
2k
.
Từ (1) ta suy ra:
5 5 5 2 3 z k z k
9 5 5 9 10 9 1 y k y k
5
3 3 6 1 5 1
3
x
x y k x k y y
z
Vậy
5; 1; 3x y z
là các số cần tìm.
Bài tập mẫu 21. Tổng các luỹ thừa bậc ba của 3 số là -1009. Biết tỷ số giữa số thứ 1 và số thứ 2
là
2
3
; giữa số thứ 1 và số thứ 3 là
4
9
. Tìm 3 số đó?
Hướng dẫn giải
Ta có:
3 3 3
1009x y z
Từ đề bài ta có:
2
3
1
9
x
y
x
z
nên
23
49
xy
xz
Do đó:
46
49
xy
xz
. Suy ra:
4 6 9
x y z
k
Nên:
4
6
9
xk
yk
zk
. Thay vào:
3 3 3 3 3 3 3
(4 ) (6 ) (9 ) 64 216 729 1009 1009k k k k k k k
Do đó:
1k 
. Lần lượt thay vào tính được:
4; 6; 9x y z
Vậy
4; 6; 9x y z
là các số cần tìm.
C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP CÓ ĐÁP ÁN
Bài tập 1: Tính giá trị các tỷ số. Biết:
a b c b d c c d a d a b
d a b c
Bài tập 2: Tìm
;;x y z
. Biết
3 4 6
x y z

và
. . 576x y z
Bài tập 3: Tìm
;xy
. Biết
34
xy
và
22
. 144xy
.
Bài tập 4: Tìm
;;x y z
. Biết:
a.
3 15 8
x y z

và
2 3 45x y z
b.
;
4 9 5 8
x y y z

và
35x y z
c.
5 6 ; 5 6x y y z
và
2 –3 42x y z
d.
3 5 1 0x y z
và
– 2 1 5x y z
e.
2 3 4
3 4 5
x y z

và
98x y z
f.
;
10 5 2 3
x y y z

và
2 3 4 330x y z
Bài tập 5: a. Tìm
;;x y z
. Biết:
1 2 2 14
3 5 9
x y z

và
x z y
b. Tìm
;;x y z
. Biết:
3 4 5
1 2 3x y z

và
18x y z
.
Bài tập 6: Tìm
;xy
. Biết :
a.
3 3 3 3
2
64
x y x y
và
66
. 64xy
b.
4 3 1 3 5
68
x y y x
x

Bài tập 7: Tìm
;;x y z
Biết:
12 15 20 12 15 20
7 9 11
x y z x y z

và
48x y z
Bài tập 8: Cho
23
23
x y z
P
x y z


. Tính P? Biết
;;x y z
tỷ lệ với
5;4;3
. .
Bài tập 9: Tìm các số
;;x y z
biết:
3 13 200
x y x y xy

D. HƯỚNG DẪN GIẢI HOẶC ĐÁP SỐ
Bài tập 1: Ta có:
3( )
3
a b c b c d c d a d a b a b c d
d a b c a b c d
Bài tập 2: Ta có:
3 3 3
3
576
8
3 4 6 3 4 6 72 72
x y z x y z x y z
k

. Nên
2k
Từ đó suy ra:
6
28
3 4 6
12
x
x y z
y
z
Bài tập 3: Ta có:
22
24
3 4 3 4
x y x y
Nhân mồi tỷ số với
2
x
ta đượ:
22
4
3
4 144
9 81
4
9 16 16
x
x x y
x
y


Bài tập 4: a.
9; 45; 24x y z
b. Để quy về tỷ số của y ta nhận thấy
(9;5) 45BCNN
Nên
4 9 20 45
x y x y
và
5 8 45 72
y z y z
Do đó ta đượ:
20 45 72
x y z

.... Nên:
100; 225; 360x y z
c. Từ
56xy
và
56yz
. Nên
65
xy
và
65
yz
Tương tự câu b:
(5;6) 30BCNN
.Suy ra:
36 30 25
x y z
Do đó:
72, 60, 50x y z
.
d. Để lập được các tỷ số ta chia mỗi tỷ số cho
BCNN(3,5,10) 30
rồi rút gọn:
3 5 10
3 5 10 Nên: 150; 90; 45
30 30 30 10 6 3
x y z x y z
x y z x y z
e. Tương tự câu d ta chia mỗi tỷ số cho
(2,3,4) 12BCNN
rồi rút gọn:
2 3 4
3.12 4.12 5.12 18 16 15
x y z x y z
Biến đổi ta có kết quả:
35; 32; 30x y z
f.
60; 30; 75x y z
Bài tập 5:
a. Ta có:
1 2 2 14 2 2 2 4
3 5 9 6 10
x y z x y
2 2 2 14 (2 4) 20
4
6 9 10 5

x z y
Từ đây tính được:
11; 22; 11x y z
.
b. Ta có
3 4 5 3 4 5 12
1
1 2 3 1 2 3 18 6x y z x y z

Từ đây tính được:
4; 6; 8x y z
Bài tập 6:
a. Ta có:
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
2 2 2 2 2 2 3
6 4 12 12 4 16
x y x y x y x y x y x
3 3 3 3
2
64
x y x y

3
3
3 3 3 3
3
2
3
6 4 2
x y x y
y

Do đó:
3 3 3
3
33
16 2 8
x y x
y
. Nên:
6
36
64
x
yy
Nhân mỗi tỷ số với
6
y
ta được:
66
12
64
1 1 2
64 64
xy
y y x
Vậy:
(2;1)
và
( 2; 1)
b. Ta có:
4 3 1 3 5 3 5
2; 3
6 8 2
x y y x y x
xy
x
Vậy:
(2;1)
và
( 2; 1)
b. Ta có:
4 3 1 3 5 3 5
2; 3
6 8 2
x y y x y x
xy
x
Bài tập 7: Ta có …....
12 15 20 12 15 20 0
0
7 9 11 27
x y z x y z

Nên:
12 15 0 12 15 :5 :4x y x y x y
(1)
Mặt khác:
20 12 0 12 20 :5 :3z x x z x z
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
48
20; 16; 12
5 4 3 5 4 3 12
x y z x y z
x y z


Bài tập 8: Ta có:
5
4
5 4 3
3
xk
x y z
k y k
zk
Vậy:
5 8 9 4 2
5 8 9 6 3
k k k k
k k k k


. Từ đây tính được:
2
3
P
Bài tập 9: Ta có:
(1)
3 13 200
x y x y xy

Và:
2
3 13 3 13 16 8
x y x y x y x y x x
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
8 200 8 200 0
200 8
xy x
xy x xy
0
8 ( 25) 0
25
x
xy
y
Xét hai trường hợp: + Nếu x = 0 thì:
00
00
3 13
yy
y

+ Nếu
25y
thì
25 25
13 325 3 75 40
3 13
xx
x x x

Vậy:
0; 0xy
và
40; 25xy
Dạng 3: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC
Để chứng minh tỉ lệ thức:
AC
BD
ta thường dùng một số phương pháp sau:
Phương pháp 1: Chứng tỏ rằng
..AD BC
Phương pháp 2: Chứng tỏ rằng hai tỉ số
A
B
và
C
D
có cùng giá trị.
Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức.
Một số kiến thức cần chú ý:
+)
( 0)
a n a
n
b n b

+)
nn
a c a c
b d b d
Để minh họa cho 3 phương pháp mà chúng tôi vừa nêu, trong 2 bài tập mẫu đầu tiên chúng tôi sẽ
trình bài 3 phương pháp đó. Còn những bài tập mẫu sau chúng ta có thể tùy thuộc vào tính chất
của yêu cầu bài toán mà vận dụng cho phù hợp.
B. BÀI TẬP MẪU CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài tập mẫu 1: Cho tỉ lệ thức:
22
22
a b ab
c d cd
. Chứng minh rằng:
ac
bd
.
Hướng dẫn giải
Ta có:
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 ( )
2 2 ( )
a b ab ab a ab b a b ab
c d cd cd c cd d c d cd
Từ đây suy ra được:
( )( )
( )( ) .
a b a b ab
c d c d c d


Do đó ta cũng suy ra:
( ) ( )
1
( ) ( )
c a b b c d ca cb bc bd ca bd
a c d d a b ac ad da db ca bd
Do đó:
ca cb ac ad
Nên:
cb ad
. Vì vậy:
(
ac
bd
đccm)
Bài tập mẫu 2: Cho tỉ lệ thức
ac
bd
. Chứng minh rằng:
a b c d
a b c d


.
Hướng dẫn giải
Cách 1: (Ta dùng phương pháp 1)
Ta có:
( )( )a b c d ac ad bc bd
(1)
( )( )a b c d ac ad bc bd
(2)
Từ giả thiết:
ac
ad bc
bd
(3)
Từ (1), (2), (3) suy ra:
( )( ) ( )( )a b c d a b c d
Nên:
(
a b c d
a b c d


dpcm )
Cách 2: (Ta dùng phương pháp 2)
Đặt
ac
k
bd

, suy ra:
a bk
c dk
.
Ta có:
( 1) 1
( 1) 1
a b kb b b k k
a b kb b b k k
(1)
( 1) 1
( 1) 1
c d kd d d k k
c d kd d d k k
Từ (1) và (2) suy ra:
(
a b c d
a b c d


đpcm)
Cách 3: (Ta dùng phương pháp 3)
Từ giả thiết
a c a b
b d c d
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a b a b a b a b c d
c d c d c d a b c d
(đpcm)
Bài tập mẫu 3: Cho tỉ lệ thức
ac
bd
. Chứng minh rằng:
22
22
ab a b
cd c d
.
Hướng dẫn giải
Cách 1: (Ta dùng phương pháp 1)
Từ giả thiết:
ac
ad bc
bd
(1)
Ta có:
2 2 2 2
ab c d abc abd acbc adbd
(2)
2 2 2 2
cd a b a cd b cd acad bcbd
(3)
Từ (1), (2), (3) suy ra:
22
2 2 2 2
22
(
ab a b
ab c d cd a b
cd c d
đpcm)
Cách 2: ( Ta dìng phuong pháp 2)
Đặt
ac
k
bd

, suy ra
a bk
c dk
Ta có:
22
22
ab bk b kb b
cd dk d kd d
(1)
22
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
22
1
()
()
1
bk
a b bk b b k b b
c d dk d d k d d
dk
(2)
Từ (1) và (2) suy ra :
22
22
(dpcm)
ab a b
cd c d
Cách 3 (Ta dùng phương pháp 3):
Từ giả thiết:
2 2 2 2
2 2 2 2
a c a b ab a b a b
b d c d cb c d c d
Từ đây ta suy ra được
22
22
(dpcm)
ab a b
cd c d
Bài tập mẫu 4: Nếu
ac
bd
thì:
a.
5 3 5 3
5 3 5 3
a b c d
a b c d


b.
22
2 2 2 2
7 3 7
11 8 11 8
a ab c cd
a b c d


Hướng dẫn giải
a. Từ
5 3 5 5 5 3 5 3
5 3 3 3 5 3 5 3
a c a b a b a c a b c d
b d c d c d b d a b c d


(dccm)
b. Ta có biến đổi:
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
7 8 3 11
7 8 3 11
a c a b a b ab a b ab a
b d c d c d cd c d cd c
Nên:
2 2 2
2 2 2
7 3 11 8
(
7 3 11 8
a ab a b
c cd c d


đccm)
Bài tập mẫu 5: Chứng minh rằng:
Nếu
2
a bc
thì
a b c a
a b c a


điều đảo lại có đúng hay không?
Hướng dẫn giải
Ta có:
2
a b a b a b a b c a
a bc
c a c a c a a c c a
Điều đảo lại cũng đúng, thật vậy: Ta có:
a b c a
a c c a


22
( )( ) ( )( ) . a b c a a b c a ac a bc ab ac a bc ab
Nên
2
22a bc
hay
2
a bc
Bài tập mẫu 6: Cho
ac
bd
. Chứng minh rằng:
22
22
ac a c
bd b d
.
Hướng dẫn giải
Từ giả thiết:
ac
bd
. Ta suy ra:
2 2 2 2
2 2 2 2
ac a c a c
bd b d b d
Do đó ta được:
22
22
ac a c
bd b d
(đccm)
Bài tập mẫu 7: Chứng minh rằng: Nếu
ac
bd
thì
4
44
44
a b a b
c d c d





Hướng dẫn giải
Ta có:
4
4
4
(1)
a c a b a b a a b
b d c d c d c c d





.
Từ
4 4 4 4
4 4 4 4
(2)
a b a b a b
c d c d c d
Từ (1) và (2) ta suy ra được:
4
44
44
(
a b a b
c d c d





đccm)
Bài tập mẫu 8: CMR: Nếu
2 1
2 2
a c b
bd c b d


với
;0bd
thì
ac
bd
.
Hướng dẫn giải
Ta có:
2 ( ) 2 (3)a c b a c d bd
Từ (3) và (2)
( ) ( )c b d a c d cb cd ad cd
Nên từ đây ta có:
ac
bd
(đccm).
Bài tập mẫu 9: Cho a, b, c, d là 4 số khác nhau, khác không đồng thời thỏa mãn các điều kiện sau:
22
;b ac c bd
và
3 3 3
0b c d
. CMR:
3 3 3
3 3 3
a b c a
b c d d


.
Hướng dẫn giải
Ta có:
2
(1)
ab
b ac
bc
. Mặt khác:
2
(2)
bc
c bd
cd
Từ (1) và (2) ta có
a b c
b c d

Từ đây suy ra được:
3 3 3 3 3 3
3 3 3 3 3 3
(3)
a b c a b c
b c d b c d


Mặt khác:
a b c
b c d

Ta cũng suy ra được:
3
3
(4)
a a b c a
b b c d d

Từ (3) và
3 3 3
3 3 3
(4) (
a b c a
b c d d



dccm)
Bài tập mẫu 10: CMR: Nếu
1a y z b z x c x y
Trong đó a ; b ; c là các số khác nhau và khác 0 thì:
*
y z z x x y
a b c b c a c a b

Hướng dẫn giải
Vì
; ; 0abc
nên chia các các số của (1) cho abc ta có:
( ) ( ) ( )
(2)
a y z b z x c x y y z z x x y
abc abc abc bc ac ab
Nhìn vào (*) ta thấy mẫu thức cần có
ab ac
Từ (2) ta suy ra được:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y z x y z x y z x y z x y z
bc ab ac bc ab ac bc
Bài tập mẫu 11: Cho:
1
bz cy cx az ay bx
a b c

. CMR:
x y z
a b c

Hướng dẫn giải
Nhân thêm cả tử và mẫu của (1) với a hoặc
b
;
c
Từ (1) ta có:
2 2 2
bz cy abz acy bcx baz cay cbx
a a b c
2 2 2
0
abz acy bcx baz cay cbx
abc


0
0
xy
bz cy bz cy
cb
xy
ay bx ay bx
ab
Từ (2) và (3)
(dccm)
x y z
a b c
Bài tập mẫu 12: Biết
'
1
'
ab
ab

và
'
1
'
bc
bc

. CMR:
’ ’ ’ 0abc a b c
Hướng dẫn giải
Từ
a
1 1 (1)
a
b
ab a b
b

Nhân cả hai vế của (1) với c ta có:
abc abc abc

(3)
Ta có:
1 (2)
bc
bc bc b c
bc
Nhân cả hai vế của (2) với a' ta có:
(4)abc abc abc

Cộng cả hai vế của (3) và (4) ta có:
abc abc abc abc abc abc
Suy ra:
0(abc abc


(dcm)
Bài tập mẫu 13: a. Tìm cặp số nguyên âm
;ab
sao cho:
13
42
a
b

b. Cho các số
, , , , , a b c x y z
thỏa mãn
x y z
a b c

. CMR:
bz cy cx az ay bx
a b c

Hướng dẫn giải
a. Ta có:
23
4
a
b
. Nên:
( 2) 12ba
Do
0b
nên ta có thống kê ở bảng sau:
B
-1
-12
-2
-6
-3
-4
a
-12
-1
-6
-2
-4
-3
A
-10
1
-4
0
-2
-1
Vậy
( , ) {( 10; 1);( 4; 2);( 2; 3);( 1; 4)}ab
b. Đặt:
0
x ak
x y z bz cy bck cbk
k y bk
a b c a a
z ck

Do đó:
0 0(dccm)
cx az cak ack ay bx abk bak
b b c c
C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP CÓ ĐÁP ÁN
Bài tập 1: Cho dãy tỷ số bằng nhau
3 4 11
a b c

. Tính giá trị biểu thức:
b c a
a c b


Bài tập 2: Tìm
;;x y z
biết:
12 15 20 12 15 20
7 9 11
x y z x y z

và
48x y z
Bài tập 3: Cho
23
23
x y z
P
x y z


. Tính P? Biết
;;x y z
tỷ lệ với
5;4;3
.
Bài tập 4: Cho DTSBN:
2 2 2 2a b c d a b c d a b c d a b c d
a b c d

.
Tính giá trị của biểu thức M. Biết:
a b b c c d d a
M
c d d a a b b c
Bài tập 5: a. CMR nếu:
2 5 3 x y y z z x
thì:
45
x y y z
b. Cho
2
b ac
. CMR:
22
22
a b a
b c c
Bài tập 6: Tìm các số
;;x y z
biết:
3 13 200
x y x y xy

Bài tập 7: Cho
; ; ;a b c d
thoả
3 3 3 3
a b c d
b c d a
và
0a b c d
. CMR:
a b c d
Bài tập 8: Tìm x. Biết rằng:
a b c
x
b c c a a b
D. HƯỚNG DẪN GIẢI HOẶC ĐÁP SỐ
Bài tập 1:
4 11 3 12
b c a b c a

và
3 11 4 10
a c b a c b

nên
12
10
b c a
a c b


Bài tập 2: Ta có: ..
12 15 20 12 15 20 0
0
7 9 11 27
x y z x y z

Nên:
12 15 0 12 15 :5 :4(1)x y x y x y
Mặt khác:
20 12 0 12 20 :5 :3(2)z x x z x z
Từ(1) và (2) suy ra:
48
5 4 3 5 4 3 12
x y z x y z

. Nên
20; 16; 12x y z
Bài tập 3: Ta có:
5
4
5 4 3
3
xk
x y z
k y k
zk
Vậy:
5 8 9 4 2 2
5 8 9 6 3 3
k k k k
P
k k k k

Bài tập 4: Mỗi tỷ số đã cho đều bớt đi 1 ta được :
2 2 2 2
1111
a b c d a b c d a b c d a b c d
a b c d
a b c d a b c d a b c d a b c d
a b c d

Nêu:
0a b c d
thì
a b c d
lúc đó
1 1 1 1 4M
Nêu:
0a b c d
thì:
()
()
()
()
a b c d
b c d a
c d a b
d a b c
Lúc đó:
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 4
.
Bài tập 5:
a. Từ giả thiết:
2( ) 5( ) 3( )
15 6 10
x y y z z x
x y y z z x
Vậy:
10 6 10 6 4
x z y z x z y z x y
(1)
15 10 15 10 5
x y z x x y z x y z
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
45
x y y z
b. Ta có:
22
2
22
a b a b a b a
b ac
b c b c b c c
. Do đó:
22
22
a b a
b c c
Bài tập 6: Ta có:
(1)
3 13 200
x y x y xy

Và:
2
3 13 3 13 16 8
x y x y x y x y x x
(2)
Tù (1) và (2) suy ra:
8 200 8 200 0
200 8
xy x
xy x xy
0
8 ( 25) 0
25
x
xy
y
Xét hai trường hợp:
+ Nếu x = 0 thì:
00
00
3 13
yy
y

+ Nếu y = 25
25 25
thì 13 325 3 75 40
3 13
xx
x x x

Vậy:
0; 0xy
và
40; 25xy
Bài tập 7: Áp dụng dãy TSBN:
1
3 3 3 3 3( ) 3
a b c d a b c d
b c d a a b c d
Ta suy ra:
1
(1)
33
1
(2)
33
1
(3)
33
a
ab
b
b
bc
c
c
cd
d
. Từ (1);(2);(3) và(4) ta được
a b c d
.
Bài tập 8: * Khi
0abc
ta có:
1
( ) ( ) ( ) 2( ) 2
a b c a b c
x
b c a c a b a b c
Khi
0abc
thi
()
()
()
a b c
b a c
c a b
Nên:
1
a b c
x
b c c a a b
Dạng 4: GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
A. PHƯƠNG PHÁP
Tùy thuộc vào từng bài mà ta có thể gọi ẩn các bài toán khác nhau. Đồng thời, chúng ta cũng cần
thấy được mối liên hệ của ân và các giả thiết mà đề bài cho. Từ đó ta lập tỉ lệ thức rồi tìm giá trị
của ẩn số cũng chính là điều mà bài toán yêu cầu.
Một số kiến thức cần nhớ:
+ Tổng ba góc của một tam giác bằng
180
.
+ Chu vi của một tam giác bằng độ dài của ba cạnh cộng lại.
B. BÀI TẬP MẪU CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài tập mẫu 1: Số đo ba góc của một tam giác tỉ lệ với 2:3:4. Tính số đo mỗi góc của tam giác
đó? Biết rằng tổng ba góc của một tam giác là
0
180
.
Hướng dẫn giải
Gọi số đo ba góc của tam giác là
; ; ( ; ; 0)a b c a b c
Ta có:
2 3 4
a b c

Và:
0
180abc
(Tổng ba góc của
)
Từ đây ta có tính chất của DTSBN:
180
20
2 3 4 2 3 4 9
a b c a b c

Suy ra:
20 40 20 20 80
2 3 4
a b c
ac
Vậy: Số đo ba góc của tam giác đó là:
40 ;60 ;90
.
Bài tập mẫu 2: Ba người A, B, C góp vốn kinh doanh theo tỉ lệ 3, 5, 7. Biết tổng số vốn của ba
người là 105 triệu đồng. Hỏi số tiền góp vốn của mỗi người là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Gọi a ; b ; c theo thứ tự là số tiền góp vốn của ba người A, B, C.
Theo đề bài ta có:
3 5 7
a b c

và
105abc
Áp dụng tính chất DTSBN:
105
7
3 5 7 3 5 7 15
a b c a b c

Từ đó tính được:
21; 35; 49a b c
Vậy:
+ Người A góp vốn 21 triệu
+ Người B góp vốn 35 triệu
+ Người C góp vốn 49 triệu
Bài tập mẫu 3: Biết các cạnh của một tam giác tỉ lệ với 2;3;4 và chu vi của nó bằng
45cm
. Tính
các cạnh của tam giác đó .
Hướng dẫn giải
Gọi các cạnh của tam giác lần lượt là x ; y ; z.
Theo đề bài ra ta có:
45( cm)x y z
và
2 3 4
x y z

Theo tính chất của DTSBN:
45
5
2 3 4 2 3 4 9
x y z x y z

Nên: 5 10; 5 15; 5 20
2 3 4
x y z
x y z
Vậy ba cạnh của tam giác là:
10 cm;15 cm;20 cm
.
Bài tâp mẫu 4: Tìm 3 số
;b;ac
biết
24abc
và
;b;ac
tỉ lệ với
3;4;5
.
Hướng dẫn giải
Ta có:
24
2
3 4 5 3 4 5 12
a b c a b c

. Nên:
2
3
6
2
8
4
2
5
a
a
b
b
c


Vậy ba Số cần tìm lần lượt là:
6; 8; 10a b c
Bài tập mẫu 5: Bốn lớp
7 ;7 ;7 ;7A B C D
trồng được 172 cây xung quanh trường. Tính số cây
trồng được cuả mỗi lớp. Biết rằng số cây của 4 lớp
7 ;7 ;7 ;7A B C D
tỉ lệ với
15; 20; 24; 27
.
Hướng dẫn giải
Gọi a, b, c, d lần lượt là số cây trồng được của lớp
7 ;7 ;7 ;7 ; ; ;A B C D a b c d
Ta có:
15 20 24 27
a b c d

172
2
15 20 24 27 86
a b c d

Từ đây suy ra:
15.2 30; 20.2 40; 24.2 48; 27.2 54a b c d
.
Bài tập mẫu 6: Số tiền của ba bạn Lan, Huệ, Hồng lần lượt tỉ lệ thuận với
2; 3,5; 2,5
. Biết tổng
số tiền của ba bạn là
240.000
đồng. Hỏi mỗi bạn có bao nhiêu tiền ?
Hướng dẫn giải
Gọi x, y, z lần lượt là số tiền (đơn vị tính là đồng) của Lan, Huệ, Hồng. Theo đề bài ta có:
240.000x y z
và
2 3,5 2,5
x y z

Theo tính chất của DTSBN:
240000
30000
2 3,5 2,5 2 3,5 2,5 8
x y z x y z

Suy ra:
30000.2 60000 x
30000.3,5 105000 y
30000.2,5 75000 z
Vậy:
+ Bạn Lan có 60000 đồng
+ Bạn Huệ có 105000 đồng
+ Bạn Hồng có 75000 đồng
Bài tập mẫu 7: Học sinh khối lớp 7 đã quyên góp được số sách nộp cho thư viện. Lớp
1
7
có 37
học sinh, Lớp
2
7
có 37 học sinh, Lớp
3
7
có 40 học sinh, Lớp
4
7
có 36 học sinh. Hỏi mỗi lớp
quyên góp được bao nhiêu quyển sách cũ biết rằng số sách quyên góp được tỉ lệ với số học sinh
của lớp và lớp
3
7
góp nhiều hơn lớp
4
7
là 8 quyển sách.
Hướng dẫn giải
Theo đề bài ta có:
37 37 40 36
a b c d
và
8cd
.
Áp dụng được tính chất DTSBN:
8
2
37 37 40 36 40 36 4
a b c d c d
Từ đây ta tính được:
37.2 74; 40.2 80; 36.2 72a b c d
Kết luận: Số sách cũ các lớp
1 2 3 4
7 ;7 ;7 ;7
quyên góp được lần lượt là: 74;74;80;72.
Bài tập mẫu 8: Ba cạnh của tam giác tỉ lệ với
4;3;2
. Chu vi của tam giác là
27cm
. Tính độ dài
ba cạnh của tam giác.
Hướng dẫn giải
Gọi độ dài ba cạnh của tam giác lần lượt là
; ; ( cm)abc
.
Ta có:
4 3 2
a b c

và
27abc
Áp dụng tính chất DTSBN:
27
3
4 3 2 4 3 2 9
a b c a b c

Nên: 3 12 3 9 3 6
4 3 2
a b c
a b c
Vậy: độ dài ba cạnh của tam giác là:
12( cm);9( cm);6( cm)
.
Bài tập mẫu 9: Khối học sinh lớp 7 tham gia trồng ba loại cây: Phượng, bạch đàn và tràm. Số
cây phượng, bạch đàn và tràm tỉ lệ với 2; 3; 5. Tính số cây mỗi loại , biết rằng tổng số cây của cả
3 loại là 120 cây.
Hướng dẫn giải
Gọi số cây Phượng, bạch đàn và tràm lần lượt là
*
; ; ; ; ; ; ; 0x y z x y z x y z
(cây)
Lập được tỉ lệ thức:
2 3 5
x y z

và
120x y z
Áp dụng t/c của DTSBN:
120
12
2 3 5 2 3 5 10
x y z x y z

Nên:
24; 36; 60x y z
.
Vậy số cây Phượng là 24 cây, số cây Bạch đàn là 36 cây, số cây Tràm là 60 cây.
Bài tập mẫu 10: Hưởng ứng đợt kể chuyện về tấm gương đạo đức của Bác Hồ, ba chi đội 7A,
7B, 7C có tất cả 18 đội viên tham gia dự thi, biết rằng số đội viên của ba chi đội lần lượt tỉ lệ với
2 ; 3 ; 4. Hãy tính số đội viên dự thi của mỗi chi đội ?
Hướng dẫn giải
Gọi số đội viên dự thi của ba chi đội lần lượt là a ; b ; c.
Theo đề bài ta có:
2 3 4
a b c

và
18abc
Theo tính chất của DTSBN:
18
2
2 3 4 2 3 4 9
a b c a b c

Nên:
2 4;
2
a
a
2 6;
3
b
b
2 8
4
c
c
Vậy số đội viên của ba chi đội lần lượt là 4 (bạn) ; 6 (bạn) ; 8 (bạn)
Bài tập mẫu 11: Số cây ba tổ trồng tỉ lệ với số học sinh của mỗi tổ, tổng số cây cả ba tổ trồng
được là 108 cây. Tìm số cây mỗi tổ trồng được, biết tổ 1 có 7 học sinh, tổ 2 có 8 học sinh và tổ 3
có 12 học sinh.
Hướng dẫn giải
Gọi số cây của mỗi tổ lần lượt là x ; y ; z (cây),
*
;;x y z
Theo đề bài:
108x y z
và
7 8 12
x y z

Áp dụng tính chất DTSBN:
108
4
7 8 12 7 8 12 27
x y z x y z

Nên:
4 28
7
x
x
4 32
8
y
y
4 48
12
z
z
Vậy Tổ I: 28 cây; Tổ II: 32 cây; Tổ III: 48 cây
C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP CÓ ĐÁP ÁN
Bài tập 1: Ba lớp chia nhau dự định chia nhau một số kẹo theo tỷ lệ
5:6:7
. Nhưng Cô giáo lại
cho chia theo tỷ lệ
4:5:6
nên có một lớp được nhận hơn dự định 4
túi kẹo. Tính tổng số túi kẹo?
Bài tập 2: Tìm ba phân số có tổng bằng
37
1
44
. Biết các tử số của chúng tỷ lệ với
4:3:5
và các mẫu tỷ lệ với
1:2:4
.
Bài tập 3: Tìm ba số. Biết BSCNN của chúng bằng
120
; số thứ nhất và số thứ hai tỷ lệ 3; 4. Số
thứ nhất với số thứ ba tỷ lệ 5; 8 .
Bài tập 4: Tìm a số tự nhiên. Biết rằng số thứ nhất bằng
14
15
số thứ hai và số thứ hai bằng
9
10
số
thứ ba. Tổng 2 lần số thứ nhất và 3 lần số thứ hai nhiều hơn 4 lần số thứ ba là 19 .
Bài tập 5: Ba tấm vải có chiều dài tổng cộng
145m
. Nếu cắt tấm thứ nhất đi
1
2
; cắt tấm thứ hai
đi
1
3
và cắt tấm thứ ba đi
1
4
chiều dài mỗi tấm thì chiều dài của ba tấm còn lại bằng nhau. Hỏi
chiều dài mỗi tấm trước khi cắt ?
Bài tập 6: Tìm ba phân số biết tổng
3
3
7
và biết tử tỉ lệ với
2;3;5
và mẫu tỉ lệ với
5;4;6
?
Bài tập 7: Cho tam giác vuông
0
90A
. Biết
3
4
AB
AC
và
. Tính
; ?AB AC
Bài tập 8: Tìm hai phân số tối giản biết hiệu của chúng
3
196
; các tử số tỷ lệ
với 3 ; 5 và các mẫu số tương ứng tỷ lệ với 4 và 7.
Bài tập 9: Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích
2
300m
. Hai cạnh tỷ lệ với 4 ; 3. Tính chiều
dài chiều rộng khu vườn ?
Bài tập 10: Học sinh của ba lớp 7 cần phải trồng 48 cây xanh. Lớp 7A có 28 học sinh, lớp 7B có
32 học sinh, lớp 7C có 36 học sinh. Hỏi mỗi lớp phải trồng bao nhiêu cây xanh? Biết rằng số cây
xanh tỉ lệ với số học sinh.
Bài tập 11: Cho
ABC
có số đo tỉ lệ thuận với 3 ; 5 ; 7. Tính số đo các góc của
ABC
.
D. HƯỚNG DẪN GIẢI HOẶC ĐÁP SỐ
Bài tập 1: Gọi
x
là là tông số túi kẹo
( *)x
+ Số túi kẹo mỗi lớp dự định chia là a ; b ; c
5
18
6
Ta có:
5 6 7 5 6 7 18 18
7
18
x
a
a b c a b c x x
b
x
c


+ Số túi kẹo mỗi lớp chia theo cô giáo là m ; n ; p.
+ Vì
6 5 5 4 7 6
;;
15 15 18 15 18 15
x x x x x x
Nên: Lớp thứ ba nhận nhiều hơn lúc đầu và phân số chi 4 túi kẹo là:
67
15 18 90
x x x

Nên: Tổng số túi kẹo là:
4.90 360
túi
Bài tập 2: Gọi ba phân số cần tìm là
; ; ( , , 0)
a c e
b d f
b d f
.
Ta có:
37
1
44
4 3 5
4
a c e
b d f
a c e
df
d

. Do đó:
: : :
4 1 3 2 5 4
a b c d e f

,,A B C
Nên:
2 4 81 3
3 5 3 5
4 3 5 4 27 11
4
2 4 2 4
e a c e
ac
a c e
f b d f
bd
b d f


Vậy:
3 12
4
11 11
3 3 9
2 11 22
5 3 15
4 11 44
a
b
c
d
e
f
Bài tập 3: Ba số cần tìm là a,b,c khi đó:
15
34
20
15 20 24
24
58
ab
ak
a b c
k b k
ac
ck



Nhận xét:
( , , ) (15 ;20 ;24 ) 120 120 1BCNN a b c BCNN k k k k k
Vậy:
15; 20; 24a b c
Bài tập 4: Gọi x ; y ; z là ba số tự nhiên phải tìm
Theo đề bài ta có:
49
5 10
& x y y
z

và
2 3 4 19x y z
.
Bài tập 5: Gọi chiêu dài mỗi tấm trước khi cắt là
; ; ( ; ; ; 0)x y z m x y z
. Thì sau khi cắt tấm thứ
nhất còn
1
2
x
, tấm thứ hai còn
2
3
y
và tấm thứ ba còn
3
4
z
.
Theo để bài:
23
2 3 4 12 9 8
x y z x y z
và
145x y z
Áp dụng DTSBN ... Tính được:
60 m; 45 m; 40 mx y z
Bài tập 6: Gọi x ; y ; z là 3 phân số cần tìm theo đề bài ta có :
2 3 5 7
: : : : 24: 45:50 3
5 4 6 24 45 5 0
&
0
6
x y z
x y z x y z
Áp dụng DTSBN:
11 22 33 55
24 ;
420 35 28 42
& x y z
Bài tập 7: Ta có:
2 2 2
22
9 cm
3 15
9
12 cm
4 3 4 3 4 25
AB
AB AB AC AB AC
AC
AC
Bài tập 8: Gọi x ; y là phân số cần tìm .
Ta có
35
: : 21:20
4 7 21 20
xy
xy
và
9
3
28
15
196
49
x
xy
y
Bài tập 9: Gọi x ; y là chiều dài và chiều rộng khu vườn
Ta có:
. 300xy
và
:4 :3xy
. Nên:
4
3
xk
yk
Thay vào ta được:
22
5
. 4 3 12 25
5( )
k
x y k k k k
kl

Vậy
20xm
và
15ym
Bài tập 10: Số cây lớp
7 A,7 ,7BC
phải trồng lần lượt là 14 cây, 16 cây, 18 cây.
Bài tập 11:
00
ˆˆ
ˆ
36 , 60 , 84A B C
Chủ đề 2: ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN
Dạng 1: MỐI LIÊN HỆ GIỮA ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN VÀ HỆ SỐ TỈ LỆ
A. PHƯƠNG PHÁP
Định nghĩa
Nếu đại lượng
y
liên hệ với đại lượng
x
theo công thức:
y kx
(với
k
là hằng số khác 0 ) thì ta
nói đại lượng
y
tỉ lệ thuận với đại lượng
x
theo hệ số tỉ lệ là
k
.
Nếu hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau thì:
* Tỉ số hai giá trị tương ứng của chúng không đối tức là nếu đại lượng y và đại lượng x tỉ lệ thuận
với nhau thì tỉ số
y
x
luôn bằng một giá trị nào đó không đổi.
* Tỉ số hai giá trị bất kỳ của đại lượng này bằng tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia.
B. BÀI TẬP MẪU TỰ LUẬN CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài tập mẫu 1: Cho biết hai đại lượng x và đại lượng y tỉ lệ thuận với nhau và khi thì
.
a. Tìm hệ số tỉ lệ k của y đối với x.
b. Biểu diễn đại lượng y theo đại lượng x
c. Tính giá trị của đại lượng y khi và
Hướng dẫn giải
6x
4y
9x
15x
a. Vi đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng
x
nên ta có mối liên hệ của đại lượng y và đại lượng
x
là:
y kx
.
Do đó thay vào ta được:
42
4 .6
63
kk
. Vậy hệ số tỉ lệ là:
2
3
k
.
b. Theo công thức về tỉ lệ thuận ta có:
2
3
yx
.
c. Thay lần lượt
9x
và
15x
vào công thức
2
3
yx
ta có:
+ Với
2
9 thì 9 6
3
xy
+ Với
2
15 thì 15 10
3
xy
Bài tập mẫu 2: Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau. Điền số thích hợp vào ô
trống trong bảng sau:
x
-3
-1
1
2
5
y
-4
Hướng dẫn giải
Dựa vào cặp tỉ số đã biết giữa
x
và
y
ta suy ra được hệ số tỉ lệ
4
2
2
k
.
Do đó: Biểu diễn mối liên hệ của đại lượng
y
và đại lượng
x
là công thức:
2yx
Lần lượt
thay các giá trị
x
ở dòng trên vào công thức ta tính được các giá trị của đại lượng y.
Rồi thay vào ta được bảng sau:
x
-3
-1
1
2
5
y
6
2
-2
-4
-10
Bài tập mẫu 3: Các giá trị tương ứng của V và M được cho trong bảng sau:
a. Điền số thích hợp vào các ô trống bảng trên
b. Hai đại lượng M và V có tỉ lệ thuận với nhau không? Tại sao?
Hướng dẫn giải
a. Ta xét tỉ số
M
V
với
m
và
V
các thông số trên ta được bảng giá trị tương ứng sau:
V
1
2
3
4
5
M
1,8
15,6
23,4
31,2
39
M
v
1,8
7,8
7,8
7,8
7,8
b. Nhận xét tất cả các tỉ số
m
V
không bằng nhau nên đại lượng
x
không tỉ lệ thuận với đại lượng
y.
Bài tập mẫu 4: Cho biết hai đại lượng x và đại lượng y tỉ lệ thuận với nhau và khi thì
. Vậy khi thì đại lượng x bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Vì hai đại lượng
x
và đại lượng
y
tỉ lệ thuận với nhau nên ta có công thức về mỗi liên hệ của
đại lượng
x
và đại lượng
y
là:
y kx
.
Thay các giá trị
x
và
y
vào công thức ta được:
1 1 1
( 5)
2 2 ( 5) 10
kk

.
Do đó công thức tỉ lệ thuận là:
1
10
yx
.
Khi
5y
thay vào:
11
5 5: 50
10 10
x x x



. Vậy khi
5y
thì
50x 
.
Bài tập mẫu 5: Cho biết hai đại lượng x và y tỉ lệ tỉ lệ thuận với nhau và khi
5x
thì
4y 
.
a. Tìm hệ số tỉ lệ k của y đối với x. b. Biểu diễn y theo x.
c. Tính giá trị của y khi
10; 20xx
.
Hướng dẫn giải
a. Vì
y
tỉ lệ thuận với
x
theo hệ số tỉ lệ
k
nên
y kx
.
Theo đề bài khi
5x
thì
4y 
nên
4
54
5
kk
Vậy:
4
5
là hệ số tỉ lệ cầnn tìm.
b. Thay
4
5
k
vào công thức đại lượng tỉ lệ thuận
5x 
1
2
y
5y
Ta có:
4
5
yx
c. Khi
10x 
thì
4
( 10) 8
5
y
. Khi
20x
thì
4
20 16
5
y
.
Bài tập mẫu 6: Cho biết đại lượng x tỉ lệ thuận với đại lượng y theo hệ số tỉ lệ là và đại
lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng z theo hệ số tỉ lệ là 5. Hãy chứng minh rằng đại lượng x tỉ lệ
thuận với đại lượng z, tìm hệ số tỉ lệ.
Hướng dẫn giải
Vi đại lượng
x
tỉ lệ thuận với đại lượng
y
theo hệ số tỉ lệ là 0,8 nên ta có công thức liên hệ giữa
đại lượng
x
và đại lượng
y
là:
0,8.xy
(1)
Mặt khác: đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng z theo hệ số tỉ lệ là 5
Nên ta có công thức liên hệ giữa đại lượng y và đại lượng z là:
5.yz
(2)
Thay đại lương y ở (2) vào đại lương y ở (1) ta được:
0,8 0,8 5 4x y z z
Vậy đại lượng
x
tỉ lệ thuận với đại lượng z theo hệ số tỉ lệ là: 4 .
Dạng 2: GIẢI TOÁN BẲNG CÁCH LẬP TỈ LỆ THUẬN
A. PHƯƠNG PHÁP
Có thể nói đối với những loại toán này được gọi là những loại toán đố. Trong đó những ẩn của nó
có liên hệ với nhau theo công thức của tỉ lệ thuận. Về dạng toán này rất đa dạng và phong phú.
Điều quan trọng nhất của loại toán này là chúng ta phải biết được công thức và mỗi liên hệ của các
đại lượng.
Các kiến thức thường gặp:
a. Loại toán tam suất
Đối với loại này, chúng ta đã gặp ở mối liên hệ trong bài tỉ lệ thức. Nghĩa là có bốn thông số, ta đã
biết ba thông số thì thông số thức tư được rút ra bởi công thức:
b. Loại toán chuyển động.
Với
S
là quãng đường,
v
là vận tốc và
t
là thời gian. Khi đó ta có công thức liên hệ giữa ba đại
lượng đó là:
.s vt
hay
s
v
t
.
c. Áp dụng các kiên thức về dãy tỉ số bằng nhau đã học ở chương 1.
B. BÀI TẬP MẪU CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI
0,8
.
a c bc
a
b d d
Bài tập mẫu 1: Để làm nước mơ, người ta thường ngâm mơ theo công thức:
2kg
mơ sẽ ngâm
với
2,5kg
đường. Hỏi cần bao nhiêu kg đường để ngâm
5kg
mơ?
Hướng dẫn giải
Vì tỉ lệ giữa đường và khối lượng của mơ là tỉ luận thuận với nhau
Do đó: Gọi
()x kg
là khối lượng đường để ngâm
5 kg
mơ.
Khi đó ta có tỉ lệ là:
2,5 5 2,5
6,25
5 2 2
x
x
Vậy cần
6,25 kg
đường để ngâm
5 kg
mơ.
Bài tập mẫu 2: Biết rằng
17l
dầu hỏa nặng
13,6kg
. Hỏi
12kg
dầu hỏa có chứa được hết trong
can
16l
không?
Hướng dẫn giải
Giả
()xl
dầu hỏa nặng
12 kg
.
Vì thể tích dầu và khối lượng dâu hỏa là hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau
Nên ta có công thức:
12 17.12
15
17 13,6 13,6
x
x
Vậy
12 kg
dầu hỏa là cân nặng của 15 lít dầu hỏa.
Do đó:
12 kg
dầu hỏa có thể đựng trong can 16 lít.
Bài tập mẫu 3: Gọi x, y, z theo thứ tự là số vòng quay của kim giờ, kim phút và kim giây trong
cùng một thời gian.
a. Điền số thích hợp vào ô trống trong hai bảng sau:
b. Viết công thức biểu diễn đại lượng y theo đại lượng x và đại lượng z theo đại lượng y.
c. Số vòng quay x của kim giờ và số vòng quay z của kim giây có tỉ lệ thuận với nhau không? Nếu
có hãy tìm hệ số tỉ lệ của đại lượng z đối với đại lượng x.
d. Khi kim giờ quay được 5 vòng thì kim giây quay được bao nhiêu vòng?
Hướng dẫn giải
a. Ta biết cứ mỗi giờ thì kim phút chạy được 12 vòng.
Như vậy đại lượng x tỉ lệ thuận với đại lượng y theo hệ số tỉ lệ là 12.
Ta có công thức:
12 (1)yx
.
Mặt khác: Cứ mỗi phút kim giây chạy được 60 vòng.
Do đó đại lượng
y
tỉ lệ thuận với đại lượng
x
theo hệ số tỉ lệ là 60 .
Ta có công thức:
60 (2)zy
.
Từ đó thay lần lượt các giá trị vào ta được bảng sau:
x
1
2
3
4
y
12
24
36
48
y
1
6
12
18
x
60
360
720
1080
Ta có các biêu diễn là:
12yx
và
60zy
c. Từ công thức ở câu b, ta thay
12yx
vào
60zy
ta được:
720zx
(3)
Vậy số vòng quay x của kim giơ và số vòng quay z của kim giây là tỉ lệ thuận với nhau với hệ số
tỉ lệ là: 720
d. Thay
5x
vào công thức (3) ta được:
720.5 3600z 
(vòng).
Bài tập mẫu 4: Một người đi xe đạp đi được
30km
trong 2h. Hỏi sau 7h người đi xe đạp đi
được bao nhiêu km. Biết rằng người này chuyển động thẳng đều.
Hướng dẫn giải
Cách 1: Gọi x
(km)
là quãng đường mà người đi xe đạp trong 7h.
Vi quãng đường và thời gian của ngươi đi xe đạp là tỉ lệ thuận với nhau
Nên ta có đẳng thức:
30
72
x
nên
7.30
105( km)
2
x 
.
Vậy sau 7h người đi xe đạp đi được:
150( km)
Cách 2: Vận tốc của người đi xe đạp là:
30
15( km / h)
2
Vì người đi xe đạp chuyển động thẳng đều nên sau 7 h người đi xe đạp đi được là:
15.7 105( km)
Vậy sau 7h người đi xe đạp đi được:
150( km)
Bài tập mẫu 5: Hai đội xe vận tải chuyên chở hàng hoá. Mỗi xe cùng chở một số chuyến như
nhau và khối lượng chở mỗi chuyến bằng nhau. Đội I có 13 xe, đội II có 15 xe, đội II chở nhiều
hơn đội I là 26 tấn hàng. Hỏi mỗi đội xe chuyên chở mấy tấn hàng.
Hướng dẫn giải
Gọi khối lượng hàng đội I và đội II thứ tự chở là x, y tấn
( , 0)xy
Theo bài trên ta có
26yx
Do số xe tỉ lệ thuận với số tãn hàng chở được nên ta có.
26
13
13 15 15 13 2
x y y x
(áp dụng tc dãy tỷ số bằng nhau)
Suy ra:
169x
và
195y
Vậy đội xe chở được 169 tấn hàng, đội xe II chở được 195 tấn.
Bài tập mẫu 6: Hai thanh chì đồng chất có thể tích lần lượt là
3
12cm
và
3
17cm
. Tính khối lượng
của mỗi thanh, biết rằng tổng khối lượng của hai thanh bằng
327,7g
.
Hướng dẫn giải
Gọi khối lương của hai thanh chì lần lượt là
1
()mg
và
2
()mg
.
Do khối lượng và thể tích của vật thể là hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau.
Nên ta có tỉ lệ thức:
12
12 17
mm
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
1 2 1 2
327,7
11,3
12 17 12 17 29
m m m m
Do đó:
2
17.11,3 192,1m 
và
1
12 11,3 135,6m
Vậy hai thanh chì có khối lượng là:
135,6 g
và
192,1 g
.
Bài tập mẫu 7: Hai thanh kim loại đồng chất có thể tích là
3
10cm
và
3
15cm
. Hỏi mỗi thanh
nặng bao nhiêu gam? Biết rằng khối lượng của 2 thanh nặng
222,5 gam
.
Hướng dẫn giải
Gọi khối lượng của hai thanh kim loại lần lượt là
1
(gam)m
và
2
(gam)m
.
Do khối lượng và thể tích là hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau
Nên:
12
10 15
mm
và
12
222,5mm
.
Theo tính chất của DTSBN:
1 2 1 2
222,5
8,9
10 15 10 15 25
m m m m
Suy ra:
1
8,9 10 89( )mg
và
2
8,9.15 133,5( )mg
Vậy khối lượng của hai thanh kim loại lần lượt là
89 g
và
13,5 g
.
Bài tập mẫu 8: Một người công nhân làm được 5 chi tiết máy cần 50 phút. Hỏi trong 4 giờ
người công nhân đó làm được bao nhiêu chi tiết máy?
Hướng dẫn giải
Gọi số chi tiết máy người công nhân làm được trong 4 giờ là
x
.
Đôii
4 240h
phút.
Theo tính chất đại lượng tỉ lệ thuận ta có:
5 240.5
24
50 240 50
x
x
(chi tiết)
Vậy: Trong thời gian 4 giờ người công nhân làm được 24 chi tiết máy.
C. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ CÓ ĐÁP ÁN
Bài tập 1. Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau và khi
3x
thì
7y 
a. Tìm hệ số tỉ lệ k của y đối với x
b. Biểu diễn y theo x
c. Tính giá trị của y khi
9, 18xx
d. Biểu diễn x theo y
e. Tính giá trị của x khi
7, 35yy
Bài tập 2. Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận, điền số thích hợp vào chỗ trống :
x
-5
-3
-2
0
1
2
4
5
y
6
Bài tập 3. Cho x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ là 0,3 và y tỉ lệ thuận với z theo hệ số tỉ lệ là -10
a. Chứng tỏ x tỉ lệ thuận với z. Tìm hệ số tỉ lệ.
b. Biểu diễn z theo x
Bài tập 4. Mua 5 quyển vở hết
7000
đồng. Vậy mua 8 quyển vở như thế hết bao nhiêu tiền?
Bài tập 5. Biết
15l
dầu nặng
7,8 kg
. Hỏi
19,5kg
dầu có đựng được vào bình
35l
không ?
Bài tập 6. Một hình chữ nhật có chu vi
40m
. Tính độ dài mỗi cạnh biết chúng tỉ lệ với 2 và 3.
Bài tập 7. Hai dây đồng có chiều dài là
15m
và
40m
. Hỏi mỗi dây nặng bao nhiêu
gam biết:
a. Tổng khối lượng của hai dây nặng
473g
b. Dây thứ hai nặng hơn dây thứ nhất
185g
.
Bài tập 8. Ba lít nước biển chứa
105
gam muối thì 13 lít nước biển chứa bao nhiêu gam muối.
Lấy bao nhiêu lít nước biển thì được 70 gam muối ?
Bài tập 9. Một trường có ba lớp 7. Tổng số học sinh ở cả hai lớp 7A và 7B là 85 học sinh. Nếu
chuyển 10 học sinh từ lớp 7A sang lớp 7C thì số học sinh ở ba lớp 7A, 7B, 7C tỉ lệ với 7, 8, 9.
Hỏi lúc đầu mỗi lớp có bao nhiêu học sinh ?
Bài tập 10. Anh hơn em 8 tuổi. Cách đây năm năm tuổi của anh bằng ¾ tuổi của em sau 8 năm
nữa. tính tuổi hiện nay của mỗi người.
Bài 11: Dưới đây là bảng tiêu thụ xăng của ô tô loại nhỏ.
Quãng đường đi (km)
0
10
20
30
40
50
80
100
Xăng tiêu thụ (lít)
0
0,8
1,6
2,4
3,2
4
6,4
8
a. Hai đại lượng quãng đường đi (km) và xăng tiêu thụ (lít) có phải là hai đại lượng tỉ lệ
thuận không?
b. Cho biết hệ số tỉ lệ của hai đại lượng trên, tìm số xăng tiêu thụ khi ô tô chạy được
150 km
.
Bài 12: a. Giả sử 3 lít nước biển chứa
105
gam muối.Hỏi 13 lít nước biển chứa bao nhiêu gam
muối ?
b. Biết rằng khi sát
100 kg
thóc thì được
62 kg
gạo. Hỏi cần
120 kg
gạo thì phải sát bao nhiêu
kg thóc?
Bài 13: Biết x TLT với y theo hệ số tỉ lệ
0aa
; y TLT với z theo hệ số tỉ lệ
0bb
;
z TLT với t theo hệ số tỉ lệ
0cc
. Hỏi t có TLT với x không?
Bài 14: Tổng sô tiền lương của ba bác công nhân A,B,C là
1350000
đồng. Đợt 1 mỗi bác lĩnh
200000
đồng. Đợt 2 số tiền ba bác A,B,C lĩnh được tỉ lệ thuận với 2; 2,5 và 3. Hỏi cả hai đợt
mỗi bác lĩnh được bao nhiêu tiền lương?
Bài 15: Một trường phổ thông có ba lớp 7. Tổng số học sinh ở hai lớp 7A và B là 85 học sinh.
Nếu chuyển 10 học sinh từ lớp 7A sang lớp 7C thì sô học sinh 3 lớp 7A,7B,7C tỉ lệ thuận vớ
7;8;9. Hỏi lúc đầu mỗi lớp có bao nhiêu học sinh?
Bài 16: Anh hơn em 8 tuổi. Tuổi anh cách đây 5 năm bằng ¾ tuổi của em sau 8 năm nữa.Tính
tuổi hiện nay của mỗi người.
Bài 17: a. Tìm 3 số x,y,z có tổng bằng
456
, x và y tỉ lệ thuận với 3 và 5 ; y và z tỉ lệ thuận với 4
và 5
b. Tìm 4 số a,b,c,d có tổng bằng
210
, a và b tỉ lệ thuận với 2 và 3, b và c tỉ lệ thuận với 4 và 5, c
và d tỉ lệ thuận với 6 và 7.
Bài 18: Một tấn nước biển chứa
25 kg
muối .Hỏi 50 gam nước biển chứa bao nhiêu gam muối .
Bài 19: Tìm ba số
;;x y z
. Biết rằng:
2 3 1
: : : :
5 4 3
x y z
và
– 4,8xz
Bài 20: Biết rằng
3
14 dm
sắt cân nặng
109,20 kg
. Hỏi
3
14m
sắt cân nặng bao nhiêu kg?
Bài tập 21.
ABC
có số đo các góc A, B, C tỉ lệ với 3, 5, 7. Tính số đo góc A.
Bài tập 22. Ba đội công nhân được thưởng 19 triệu đồng. Tiền thưởng các đội tỉ lệ với số công
nhân mỗi đội. Biết tỉ số công nhân của đôi 1 và đội 2 là
4:3
, của đội 2 và 3 là
6:5
. Tính số tiền
mỗi đội nhận về.
Bài tập 23
*
. Hai nền nhà hình chữ nhật có cùng chiều dài. Chiều rộng của nền thứ nhất bằng 1,2
lần chiều rộng của nền thứ hai. Khi lát gạch hoa thì nền thứ nhất cần số gạch nhiều hơn nền thứ
hai là
300
viên. Hỏi cả hai nền phải lát bao nhiêu viên gạch.
D. HƯỚNG DẪN GIẢI HOẶC ĐÁP ÁN
Bài tập 1. k là HSTL của y đối với x nên
y kx
3x
thì
7y 
nên
7
7 3 k
3
k
Do đó:
73
37
y x x y
Câu c và e thay giá trị vào biểu thức để tìm ra đại lượng còn lại
Bài tập 2.
2x 
thì
6y
thì
3yx
. Từ đó điền vào chỗ trống
Bài tập 3. Theo đề bài
0,3 , 10x y y z
. Nên:
0,3 ( 10 ) 3x z z
Suy ra:
1
3
zx
Bài tập 4: 11200 đồng
Bài tập 5: 37,5 lít nên không đựng được
Bài tập 6: 16 m và 24 m
Bài tập 7:
a. 129 g và 344 g
b. 111 g và 296 g
Bài tập 8: 455 g, 2 lít
Bài tập 9: 45; 40; 35 HS
Bài tập 10: 20 và 12
Bài tập 11: a.
0,8yx
b. số xăng tiêu thụ là 12 lit
Bài tập 12: a. 455 gam b.
200 kg
Bài tập 13: Vì
; ; 0abc
nên
1
tx
abc
.
Vậy t tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ
1
abc
Bài tập 14:
400000( d)x
450000y
(d)
(d )
Bài tập 15:
45(hs)x
40(hs)y
35z
(hs)
Bài tập 16: Hiện nay anh 20 tuổi ,em 12 tuổi.
Bài tập 17:
a.
96x
160y
200z
b.
32a
48b
60c
70d
Bài tập 18: 1, 25 gam muối
Bài tập 19:
28,2x 
54y 
24z 
Bài tập 20:
109200 kg
.
Bài tập 21:
0
36
Bài tập 22: 8;6;5.
Bài tập 23: Vi hai nền nhà có cùng chiều dài nên khi lát gạch thì chiều rộng và số gạch phải lát
là hai đại lượng tỉ lệ thuận.
Gọi số gạch phải lát của nền nhà thứ nhất và thứ hai lần lượt là a và
b
(trong đó a, b là số
dương)
Theo đề bài ta có:
1,2ab
và
300ab
. Từ đó ta có:
1800
1500
a
b
Suy ra cả hai nền nhà cần số gạch là
1800 1500 3300
viên.
Chủ đề 3: ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ NGHỊCH
Dạng 1: MỐI LIÊN HỆ GIỮA ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ NGHỊCH VÀ HỆ SỐ TỈ LỆ
A. PHƯƠNG PHÁP
Nếu đại lượng
y
liên hệ với đại lượng
x
theo công thức
a
y
x
hay
x y a
(với a là một hằng
số khác 0 ) thì ta nói đại lượng
y
tỉ lệ nghịch với đại lượng
x
theo hệ số tỉ lệ a.
Nếu hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau thì:
* Tích hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi (bằng hệ số tỉ lệ)
* Tỉ số hai giá trị bẫt kỳ của đại lượng này bằng nghịch đảo của tỉ số hai giá trị tương ứng của đại
lượng kia.
B. BÀI TẬP MẪU CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài tập mẫu 1: Cho biết hai đại lượng x và đại lượng y tỉ lệ nghịch với nhau và khi thì
.
a. Tìm hệ số tỉ lệ.
b. Hãy biểu diễn đại lượng y theo đại lượng x.
c. Tính giá trị của đại lượng y khi và khi
Hướng dẫn giải
a. Vì đại lượng
x
và đại lượng y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau
Nên theo công thức đại lượng tỉ lệ nghịch ta có:
. 8.15 120x y a a
b. Theo công thức đại lượng tỉ lệ nghịch ta có:
120a
yy
xx
Vậy biểu diễn đại lượng
y
theo đại lượng
x
là
120
y
x
c. Lân lượt thay
6x
và
10x
vào công thức
120
y
x
ta được:
Với
6x
thay vào ta được:
120
20
6
y 
. Với
10x
thay vào ta được:
120
12
10
y 
Bài tập mẫu 2: Cho biết đại lượng x và đại lượng y tỉ lệ nghịch với nhau. Điền số thích hợp vào
ô trống trong bảng sau:
Hướng dẫn giải
Vì đại lượng
x
và đại lượng y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau.
Nên dựa vào công thức tỉ lệ nghịch ta được hệ số tỉ lệ là:
4.1,5 6a 
.
8x
15y
6x
10x
Vậy hệ số tỉ lệ nghịch là 6.
Do đó ta có công thức tỉ lệ nghịch của đại lượng
x
và đại lượng y là:
6
y
x
.
Lần lượt thay các giá trị x hoặc y ở các cột chưa biết để tính đại lượng còn lại ta được bảng sau:
x
0,5
-1,2
2
-3
4
6
y
12
-5
3
-2
1,5
1
Bài tập mẫu 3: Hai đại lượng x và đại lượng y có tỉ lệ nghịch với nhau không nếu ta có các giá
trị tương ứng ở hai bảng sau:
Hướng dẫn giải
Để xét các giá trị của đại lượng
x
và đại lượng
y
có tỉ lệ nghịch với nhau hay không ta lần lượt
xét các tích của
x
.y trong một cột.
Nếu bằng nhau thì tỉ lệ nghịch với nhau, ngược lại thì không tỉ lệ nghịch.
Đối với bảng 1. Ta có:
2.36 3.24 6.12 8.9 9.8 72
Do đó: Đại lượng x và đại lượng y ở bảng 1 tỉ lệ nghịch với nhau.
Đối với bảng 2. Ta có:
1.60 2.30 3.20 4.15 60 5.14 70
Do đó: Các đại lượng
x
và đại lượng
y
ở bảng 2 không tỉ lệ nghịch với nhau.
Bài tập mẫu 4: Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau và khi
5x 
thì
4y
.
a. Tìm hệ số tỉ lệ của y đối với x. b. Biểu diễn y theo x.
c. Tính giá trị của y khi
3; 1; 2x x x
Hướng dẫn giải
a. Vì
5x 
thì
4y
là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. áp dụng tính chất đại lượng tỉ lệ nghịch ta có:
.x y a
.
Hay:
5.4 a
. Do đó:
20a 
.
Vậy
x
và
y
là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với hệ số tỉ lệ nghịch là:
20a 
b. Vì x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với hệ số tỉ lệ
20a 
.
Nên ta có:
20
y
x
c. Từ công thức
20
y
x
suy ra:
* Khi
3x 
thì
20 20
33
y

* Khi
1x 
thì
20
20
1
y

* Khi
2x
thì
20
10
2
y
Bài tập mẫu 5: Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, khi
5x
thì
6y
a. Tìm hệ số tỉ lệ a giữa x và y. b. Biểu diễn y theo x.
c. + Tính y khi
15x
; + Tìm x khi
9y
.
Hướng dẫn giải
a.
x
và
y
tỉ lệ nghịch nên
. 5.6 30a x y
b. Đẳng thức biểu diễn mối liên hệ của
y
theo
x
là:
30
y
x
c. Ta dễ dàng tính được:
2y
10
3
x
Dạng 2: GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP TỈ LỆ NGHỊCH
A. PHƯƠNG PHÁP
Dựa vào những kiến thức về mối liên hệ giữa các đại lượng. Từ đó ta gọi ẩn rồi tiến hành lập tỉ lệ
thức cho phù hợp với bài toán. Sau đó giải ẩn.
Đối chiễu lại điều kiện bài toán ròi kết luận.
B. BÀI TẬP MẪU CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài tập mẫu 1: Cho biết 3 người làm cỏ một thửa ruộng hết 6 giờ. Hỏi 12 người (cùng với năng
suất như thế) làm cỏ thửa ruộng đó hết bao nhiêu thời gian.
Hướng dẫn giải
Gọi a là thời gian mà 12 người làm cỏ xong thửa ruộng
Ta có số người làm và thời gian hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch
Nên:
3
3.6:12 1,5
12 6
a
a
Vậy 12 người làm cỏ xong thửa ruộng mất 1,5 giờ.
Bài tập mẫu 2: Ba đội máy san đất cùng làm một khối lượng công việc như nhau. Đội thứ nhất
hoàn thành công việc trong 6 ngày, đội thứ hai trong 10 ngày và đội thứ ba trong 8 ngày. Hỏi mỗi
đội có bao nhiêu máy (các máy có cùng năng suất), biết đội thứ hai có ít hơn đội thứ ba 3 máy.
Hướng dẫn giải
Gọi x ; y ; z lần lượt là số máy của ba đội
( , , *)x y z
Vì đội hai ít hơn đội ba 3 máy nên
3zy
Vì số máy mỗi đội tỉ lệ nghịch với số ngày làm việc nên
6 10 .8x y z
.
Theo tính chất của DTSBN:
31
40 24 30 30 24 6 2
x y z z y
.
Nên:
20
12
15
x
y
z
Vậy số máy của đội 1;2;3 lần lượt là 20 máy; 12 máy;15 máy.
Bài tập mẫu 3: Hai xe máy cùng đi từ A đến B. Một xe đi hết 1 giờ 20 phút, xe kia đi hết 1 giờ
30 phút. Tính vận tốc trung bình của mỗi xe, biết rằng vận tốc trung bình của xe thứ nhất lớn hơn
vận tốc trung bình của xe thứ hai là
6 /km h
.
Hướng dẫn giải
Đổi:
43
1 20 ;1 30
32
h ph h h ph h
.
Gọi vận tốc trung bình của hai xe là
1
( km/ h)v
và
2
( km/h)v
.
Theo điều kiện bài ra ta có:
12
6vv
Do vận tốc và thời gian là hai ĐLTLN nên ta có:
12
34
23
vv
Áp dụng tính chất của DTSBN ta có:
1 2 1 2
6
36
3 4 3 4 1
2 3 2 3 6
v v v v
Suy ra:
1
1
3
36 36 54
3
2
2
v
v
và
2
2
4
36 36 48
4
3
3
v
v
Kết luận: vận tốc của hai xe máy đó là
54 km/ h,48 km/ h
.
Bài tập mẫu 4: Để làm một công việc, người ta cần huy động 40 người làm trong 12 giờ. Nếu số
người tăng thêm 8 người thì thời gian giảm được mấy giờ?( Năng suất làm của mỗi người như
nhau)
Hướng dẫn giải
Gọi x(giờ) là thời gian cần tìm.
Vì số người và thời gian để làm cùng một công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
Nên ta lập được:
48 40.12 10xx
Tính đúng thời gian giảm được:
10 8 2
(giờ).
Bài tập mẫu 5: Số học sinh các khối 6 và 7 tỉ lệ nghịch với 20 và 21. Tính số học sinh mỗi khối,
biết rằng số học sinh khối 7 ít hơn số học sinh khối 6 là 20 học sinh
Hướng dẫn giải
Gọi số HS khối 6 và 7 lân lượt là a và b.
Vì a và b tỉ lệ nghịch với 20 và 21 nên:
20 21ab
Suy ra
21 20
ab
và
20ab
(số HS khối 7 ít hơn số HS khối 6 là 20 HS )
Theo tính chất tỉ lệ thức ta có:
20
20
21 20 21 20 1
a b a b
Từ đây ta có:
20
420
21
400
20
20
a
a
b
b

Vậy số HS khối 6 là 420 HS; số HS khối 7 là 400 HS.
Bài tập mẫu 6: Ba đội máy cày cùng diện tích. Đội thứ nhất cày xong trong 3 ngày, đội thứ hai
cày xong trong 5 ngày và đội thức ba cày xong trong 6 ngày. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu máy cày,
biết rằng đội thứ hai có nhiều hơn đội thứ nhất ba 1 máy cày? (năng suất của các máy cày là như
nhau).
Hướng dẫn giải
Gọi x ; y ; z lần lượt là số máy cày của đội I, II và III.
Vì số máy và số ngày cày xong cánh đồng là các đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau.
Nên các đại lượng x ; y ; z tỉ lệ với nhau theo tỉ lệ:
1 1 1
;;
3 5 6
.
Do đó ta có tỉ lệ thức:
1
30
1 1 1 1 1 1
3 5 6 5 6 30
x y z y z
Từ đây ta suy ra các cặp tương ứng:
30
1
1
30
33
10
1
30 30 6
1
5
5
5
1
30
6
30
1
6
x
x
x
y
yy
z
z
z




Vậy: Số máy cày của đội thứ I là: 10, Số máy cày của đội thứ II là: 6, Số máy cày của đội thứ I
là: 5.
Bài tập mẫu 7: Một bánh xe răng cưa có 24 răng cưa
quay được 80 vòng trong 1 phút. Nó khớp với một bánh
xe răng cưa khác có x răng cưa(như trong hình vẽ bên).
Giả sử bánh xe răng của thứ hai quay được y vòng trong
một phút. Hãy biểu diễn y theo x.
Hướng dẫn giải
Vì số răng cưa trên mõi bánh xe và số vòng quay của chúng trên mỗi phút là tỉ lệ nghịch với
nhau nên ta có tỉ lệ thức:
1920
. 80.24x y y
x
Vậy biểu diễn
y
theo
x
là:
1920
y
x
Bài tập mẫu 8: Hai xe máy cùng đi từ A đến B. Một xe đi hết 1 giờ 20 phút, xe còn lại đi hết 1
giờ 30 phút. Tính vận tốc trung bình của mỗi xe, biết rằng trung bình 1 phút xe thứ nhất đi nhanh
hơn xe thứ hai là 100m.
Ta có đổi đơn vị:
1 20 80h p p
và
1 30 90h p p
Gọi
, ( / )x y m p
lần lượt là vận tốc của xe máy thứ nhất và thứ hai.
Theo điều kiện của đề bài ta có:
80 90
100
xy
xy

Từ đây ta có tỉ lệ thức:
10
900
100
90
10
800
90 80 90 80 10
10
80
x
x
x y x y
yy

Vậy
Vận tốc của xe máy thư nhất là:
900( m/ ph) 54( km/ h)
Vận tốc của xe máy thứ hai là:
800( m/ ph) 48( km/h)
Bài tập mẫu 9: Ba đội san đất làm ba khối lượng như nhau. Đội thứ nhất hoàn thành công việc
trong 4 ngày; đội thứ hai hoàn thành công việc 6 ngày; đội thứ ba hoàn thành công việc 8 ngày.
Hỏi mỗi đội có bao nhiêu máy ( có cùng năng suất ), biết rằng đội thứ nhất hơn đội thứ hai là 4
máy ?
Hướng dẫn giải
Gọi
1 2 3
;;x x x
theo thứ tự là số máy của Đội 1 ; Đội 2; Đội 3
Vì số máy và số ngày làm việc trên khối lượng là hai ĐLTLN với nhau
Nên theo đề bài ta có:
1 2 3
4 6 8x x x
hay
3
12
1 1 1
4 6 8
x
xx

Mặt khác: theo giả thiết ta có:
12
4xx
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
3
1 2 1 2
4
48
1 1 1 1 1 1
4 6 8 4 6 12
x
x x x x
Từ đây ta suy ra được:
1
1
1
2
22
3
3
3
48
1
4
48
4
4
12
1
48 48 8
1
6
6
6
1
48
8
48
1
8
x
x
x
x
xx
x
x
x




Kết luận: * Đội thứ nhât: 12 máy * Đội thứ hai: 8 máy * Đội thứ ba: 6 máy
Bài tập mẫu 10: Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ. Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ
nằm đối diện nhau trên một đường thẳng.
Gọi x ; y là số vòng quay của kim phút và kim giờ khi 10giờ đến lúc 2 kim đối nhau trên một
đường thẳng.
Ta có:
1
3
xy
(ứng với từ số 12 đến số 4 trên đồng hồ)
Mặt khác:
: 12xy
(do kim phút quay nhanh gấp 12 lần kim giờ)
Do đó ta có tỉ lệ thức:
12
1
x
y
Vì vậy:
11
:11
12 1 11 3 33
x y x y
Suy ra:
12
33
x
(vòng) nên
4
11
x
(giờ).
Vậy thời gian ít nhất để 2 kim đồng hồ từ khi 10 giờ đến lúc nằm đối diện nhau trên một đường
thẳng là
4
11
giờ
Bài tập mẫu 11: Ba lớp
1 2 3
77; 7;A A A
hưởng ứng phong trào kế hoạch nhỏ đã thu được tổng
cộng
370kg
giấy vụn. Hãy tính số giấy vụn của mỗi lớp, biết rằng số giấy vụn thu được của ba
lớp lần lượt tỉ lệ nghịch với 4; 6; 5.
Hướng dẫn giải
Gọi số giấy vụn thu được của các chi đội
1 2 3
7 ;7 ;7A A A
lân lượt là
; ; ( )x y z kg
.
Theo bài ra, ta có:
1 1 1
4 6 5
x y z

và
370x y z
.
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta được:
370 370
600
1 1 1 1 1 1 15 10 12 37
4 6 5 4 6 5 60 60
x y z x y z


Từ đây ta suy ra:
600
1
1
600
4
4
150
600
1
600 100
6
6
120
600
1
600
6
5
1
5
x
x
x
y
yy
z
z
z




Vậy: Số giấy vụn thu được của
1 2 3
7 ;7 ;7A A A
lần lượt là:
150( kg),100( kg),120( kg)
.
Bài tập mẫu 12: Với số tiền mua
135m
vải loại 1 có thể mua được bao nhiêu mét vải loại 2?
Biết rằng giá tiền vải loại 2 bằng
90%
giá tiền vải loại 1.
Hướng dẫn giải
Số mét vải và giá tiền là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
Gọi số mét vải loại 2 có thể mua là
()xm
ta có:
135 90
100x
Áp dụng quy tắc tam suẫt ta được:
135.100
150( m)
90
x 
Vậy với số tiền đó ta có thể mua được
150 m
vải loại 2.
Bài tập mẫu 13: Biết độ dài các cạnh của một tam giác tỉ lệ với
3;5;7
. Tính chu vi của tam giác
đó biết tổng hai cạnh nhỏ là
32 cm
.
Hướng dẫn giải
Gọi độ dài ba cạnh của tam giác đó lần lượt là
; ; ( cm)abc
Theo đề bài ta có
(1)
3 5 7
a b c

Vì độ dài các cạnh của một tam giác tỉ lệ với $3 ; 5 ; 7$
Nên cạnh nhỏ nhất là a và cạnh nhỏ thứ hai là b.
Do đó, tổng của hai cạnh nhỏ chính là:
32(2)ab
Kết hợp (1) và (2) và áp dụng tính chất của DTSBN:
32
4
3 5 7 3 5 8
a b c a b
Từ đây suy ra:
4
3
4 3 12
4 4 5 20
5
4 7 28
4
7
a
aa
b
bb
cc
c
Vậy chu vi tam giác đó là:
12 20 28 60( cm)abc
Bài tập mẫu 14: Cho biết 56 công nhân hoàn thành công việc trong 21 ngày.
Hỏi cần phải tăng thêm bao nhiêu công nhân để hoàn thành công việc trong
14 ngày?(năng suất của các công nhân là như nhau)
Hướng dẫn giải
Gọi số công nhân để hoàn thành công việc trong 14 ngày là x (công nhân)
Vì số công nhân và số ngày hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch
Nên:
56 14 56.21
84
21 14
x
x
Để hoàn thành công việc trong 14 ngày cần thêm là:
84 56 28
công nhân
Vậy cân phải tăng thêm 28 công nhân để hoàn thành công việc trong 14 ngày.
Bài tập mẫu 15: Hai đội máy san đất làm hai khối lượng công việc như nhau. Đội thứ nhất hoàn
thành công việc trong 4 ngày, đội thứ hai hoàn thành công việc trong 5 ngày. Hỏi mỗi đội có mấy
máy (có cùng năng suất), biết rằng tổng số máy của hai đội là 63 máy?
Hướng dẫn giải
Gọi x, y lần lượt là số máy của đội 1 và đội 2
Ta có
63xy
Vì số máy và số ngày là hai đại lượng tỷ lệ nghịch,
Nên ta có tỉ lệ thức:
54
xy
.
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
63
7
5 4 5 4 9
x y x y
Suy ra:
5.7 35; 4.7 28xy
.
Vậy số máy của hai đội lần lượt là 35 và 28.
Bài tập mẫu 16: Để hoàn thành một công việc trong 8 giờ cần 35 công nhân. Để hoàn thành
công việc trong 7 giờ thì cần thêm bao nhiêu công nhân nữa.
Hướng dẫn giải
Gọi số CN cần có để hoàn thành CV trong 7 giờ là x (công nhân)
(*x
)
Do số công nhân và thời gian hoàn thành CV là hai đại lượng tỉ lệ nghịch
Nên:
8.35 7.x
. Suy ra:
8.35:7x
. Do đó:
40x
Vậy số CN cần thêm là
40 35 5
(công nhân).
Bài tập mẫu 17: Ba đội máy cày làm ba khối lượng công việc như nhau. Đội 1 hoàn thành công
việc trong 4 ngày, đội 2 hoàn thành công việc trong 6 ngày,đội 3 hoàn thành công việc trong 8
ngày. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu máy (các máy có cùng năng suất) Biết rằng đội 1 nhiều hơn đội 2
là 2 máy
Hướng dẫn giải
Gọi số máy ba đội lần lượt là:
1 2 3
;;x x x
.
Ta có
12
2xx
Vì số máy tỉ lệ nghịch với số ngày hoàn thành công việc
Ta có:
1 2 3
4 6 8x x x
. Hay:
3
12
1 1 1
4 6 8
x
xx

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
3
1 2 1 2
2
24
1 1 1 1 1 1
4 6 8 4 6 12
x
x x x x
Từ đây ta suy ra:
1
1
1
2
22
3
3
3
24
1
1
24
4
4
6
1
24 24 4
1
6
3
6
1
24
8
24
1
8
x
x
x
x
xx
x
x
x




Số máy của ba đội lần lượt là: 6; 4;3.
Bài tập mẫu 18: Cho
ABC
có số đo tỉ lệ nghịch với
2;3;6
. Tính số đo các góc của
ABC
.
Hướng dẫn giải
Giả sử ba góc của tam giác lần lượt là
;;(abc
độ) và
180abc
Vì a, b, c tỉ lệ nghịch với 2 ; 3 ; 6 nên
2 3 6a b c
hay
11
6
23
a b c

Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
180
180
1 1 1 1 1 1 6
2 3 6 2 3 6 6
a b c a b c

Từ đó tính được
ˆˆ
ˆ
90 , 60 , 30ABC
Bài tập mẫu 19: Ba đội máy cày làm ba khối lượng công việc như nhau. Đội 1 hoàn thành công
việc trong 4 ngày, đội 2 hoàn thành công việc trong 6 ngày,đội 3 hoàn thành công việc trong 8
ngày. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu máy (các máy có cùng năng suất) Biết rằng đội 1 nhiều hơn đội 2
là 4 máy
Hướng dẫn giải
Gọi số máy ba đội lần lượt là:
1 2 3
;;x x x
Ta có
12
4xx
Vì số máy tỉ lệ nghịch với số ngày hoàn thành công việc
Nên:
1 2 3
4 6 8x x x
. Hay:
3
12
1 1 1
4 6 8
x
xx

.
,,A B C
Áp dụng tính chất của DTSBN:
3
1 2 1 2
4
48
1 1 1 1 1 1
4 6 8 4 6 12
x
x x x x
Từ đây ta suy ra được:
1
1
22
3
3
1
48
4
12
1
48 8
6
6
1
48
8
x
x
xx
x
x





.
Bài tập mẫu 20: Tìm các số hữu tỉ
;;abc
biết
2, 3, 54ab bc ac
Hướng dẫn giải
Từ đầu bài suy ra:
2
( ) 2.3.54 324abc 
nên
18abc
hoặc
18abc 
Nếu
18abc
, kết hợp với từng điều kiện bài ra tìm được
1
6; ; 9
3
a b c
Tương tự nếu
18abc 
thì
1
6; ; 9
3
a b c
.
C. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ CÓ ĐÁP ÁN
Bài tập 1: Cho biết 4 người làm cỏ một cánh đồng hết 6 giờ. Hỏi 8 người ( với cùng năng suất)
làm cỏ cánh đồng đó hết bao nhiêu thời gian ?
Bài tập 2: Cho biết 5 người làm cỏ một cánh đồng hết 8 giờ.Hỏi 8 người ( với cùng năng suất)
làm cỏ cánh đồng đó hết bao nhiêu giờ.
Bài tập 3: Cho biết ba máy cày, cày xong một cánh đồng hết 30 giờ.Hỏi 5 máy cày như thế
(cùng năng suất) cày xong cánh đồng đó hết bao nhiêu giờ ?
Bài tập 4: Thùng nước uống trên tàu thuỷ dự định để 15 người uống trong 42 ngày. Nếu chỉ có 9
người trên tàu thì dùng được bao lâu ?
Bài tập 5: Cho biết 2 học sinh cùng quét sân trường xong trong 3 giờ. Hỏi 12 học sinh (cùng
năng suất quét) quét xong sân trường trong bao nhiêu giờ ?
Bài tập 6: Cho biết 12 học sinh cùng quét sân trường xong trong 20 phút .Hỏi 15 học sinh (cùng
năng suất quét) quét xong sân trường trong bao nhiêu phút ?
Bài tập 7: Để làm một công việc trong 8 giờ cần 30 công nhân. Nếu có 40 công nhân (cùng năng
suất) thì công việc đó được hoàn thành trong mấy giờ ?
Bài tập 8: Để làm một công việc trong 12 giờ cần 30 công nhân.Nếu có 36 công nhân (cùng
năng suất) thì công việc đó được hoàn thành trong mấy giờ ?
Bài tập 9: Để đặt một đoạn đường sắt phải dùng
480
thanh ray dài 8 mét. Nếu thay bằng những
thanh ray dài
10m
thì cần bao nhiêu thanh ray ?
Bài tập 10: Bạn Minh đi từ trường đến nhà với vận tốc
12 /km h
thì hết nửa giờ. Nếu Minh đi
với vận tốc
10 /km h
thì hết bao nhiêu thời gian ?
Bài tập 11: Một ô tô chạy từ A đến B với vận tốc
45 /km h
hết 3 giờ 15 phút. Hỏi chiếc ô tô đó
chạy từ A đến B với vận tốc
65 /km h
sẽ hết bao nhiêu thời gian ?
Bài tập 12: Hai bánh xe răng cưa khớp với nhau.Bánh nhỏ có 27 răng quay 60 vòng trong 1
phút. Nếu bánh xe lớn có 36 răng thì nó quay được bao nhiêu vòng trong 1 phút?
Bài tập 13: Hai bánh xe có các răng cưa khớp với nhau.Bánh xe nhỏ có 24 răng, quay 50 vòng/
phút. Nếu bánh xe lớn quay được 30 vòng/ phút thì số răng của nó là bao nhiêu ?
Bài tập 14: Để truyền chuyển động quay từ một bánh xe cho một bánh xe khác, người ta dùng
một dây curoa. Nếu bánh xe lớn có đường kính
15 cm
quay 40 vòng/phút thì bánh xe nhỏ có
đường kính
12 cm
se quay bao nhiêu vòng trong 1 phút?
Bài tập 15: Hai bánh xe nối với nhau bởi một dây tời.Bánh xe lớn có bán kính 15 cm, bánh xe
nhỏ có bán kính
10 cm
. Bánh xe lớn quay được 30 vòng trong 1 phút. Hỏi bánh xe nhỏ quay
được bao nhiêu vòngtrong 1 phút ?
Bài tập 16: Hai bánh xe nối với nhau bởi một dây tời.Bánh xe lớn có bán kính
25 cm
, bánh xe
nhỏ có bán kính
10 cm
. Một phút bánh xe lớn quay được 60 vòng.Hỏi một phút bánh xe nhỏ
quay được bao nhiêu vòng?
Bài tập 17: Cho biết 56 công nhân hoàn thành một công việc trong 21 ngày. Hỏi
cần phải tăng thêm bao nhiêu công nhân nữa để có thể hoàn thành công việc đó trong 14 ngày?
(Năng suất của các công nhân đều như nhau)
Bài tập 18: Một đội 24 người trồng xong số cây dự định trong 5 ngày. Nếu đội được bổ sung
thêm 6 người nữa thì sẽ trồng xong số cây sớm được mấy ngày? (giả sử năng suất làm việc của
mọi người như nhau)
Bài tập 19: Để thay nước trong một hồ bơi,người ta dùng 6 máy bơm và dự kiến sẽ
rút hết nước sau 4 giờ. Muốn rút hết nước của hồ bơi sau 1 giờ 30 phút cần lắp thêm mấy máy
bơm nữa? (các máy bơm cùng năng suất )
Bài tập 20: Để làm một công việc trong 12 giờ cần 45 công nhân. Nếu số công nhân tăng lên 15
người (với năng suất như nhau) thì thời gian để hoàn thành công việc giảm đi mấy giờ ?
Bài tập 21: 12 người may xong một lô hàng hết 5 ngày. Muốn may hết lô hàng đó sớm hơn 1
ngày thì cần thêm mấy người ? (với năng suất may như nhau)
Bài tập 22: Một người chạy từ A đến B hết 20 phút. Hỏi người đó chạy từ B về A hết bao nhiêu
phút nếu vận tốc chạy về bằng
0,8
lần vận tốc chạy đi.
Bài tập 23: Hai xe máy cùng đi từ A đến B .Một xe đi hết 1 giờ 20 phút, xe kia đi hết 1 giờ 30
phút. Tính vận tốc trung bình mỗi xe, biết rằng trung bình 1 phút xe thứ nhất đi hơn xe thứ hai
100 m
.
Bài tập 24: Một ô tô đi từ A đến B hết 6 giờ, một ô tô II cũng đi từ A đến B hết
4,5
giờ. Tính
vận tốc mỗi xe. Biết rằng vận tốc xe II lớn hơn vận tốc xe I là
20km
/giờ
Bài tập 25: Hai anh em cùng đi học từ nhà đến trường, anh đi hết 20 phút ,em đi hết 30 phút.
Tính vận tốc trung bình của mỗi người, biết rằng trung bình 1 phút
anh đi nhanh hơn em
20m
.
Bài tập 26: Hai xe máy cùng đi từ A đến B. Vận tốc xe I là
45 /km h
, vận tốc xe II là
40 /km h
.
Thời gian xe I đi ít hơn xe II là 30 phút. Quãng đường AB dài bao nhiêu ?
Bài tập 27: Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc
45 /km h
và trở về A với vận tốc
42 /km h
. Cả
đi lẫn về ( không kể thời gian nghỉ) mất
14,5
giờ.Tính thời gian đi, thời gian về và khoảng cách
AB.
Bài tập 28: Một xe tải và một ô tô con cùng khởi hành từ A đến B. Vận tốc của xe tải
50 /km h
và vận tốc xe ô tô con là
60 /km h
. Tính quãng đường AB. Biết ô tô con đến
B sớm hơn xe tải là
48
phút.
Bài tập 29: Với số tiền để mua
51m
vải loại I có thể mua được bao nhiêu mét vải loại II, biết giá
vải loại II chỉ bằng
85%
giá vải loại I ?
Bài tập 30: Với số tiền để mua
135 m
vải loại I có thể mua được bao nhiêu mét vải loại II,biết
giá vải loại II chỉ bằng
90%
giá vải loại I ?
Bài tập 32: Giá hàng hạ
20%
. Hỏi với cùng một số tiền có thể mua được bao nhiêu % hàng ?
Bài tập 33: Bình mang số tiền vừa đủ mua 20 quyển vở. Khi đến cửa hàng thấy vở bán hạ giá
20%
. Hỏi Bình sẽ mua được bao nhiêu quyển vở ?
Bài tập 34: Hai đội A và B cùng làm chung một công việc. Năng suất của đội B chỉ
bằng
9
10
năng suất của đội A. Hỏi để hoàn thành công việc đó thì đội B mất bao nhiêu thời gian,
nếu đội A làm xong công việc trong 18 ngày
Bài tập 35: Chia số
520
thành 3 phần tỉ lệ nghịch với
2; 3; 4
Bài tập 36: Người ta chia một khu đất thành 3 mãnh hình chữ nhật có diện tích bằng nhau. Biết
rằng các chiều rộng là
5 ;7 ;10m m m
. Các chiều dài của ba mãnh có tổng là
62m
. Tính chiều dài
mỗi mãnh và diện tích khu đất.
Bài tập 37: Có 85 tờ giấy bạc loại
10 000 ;20 000đđ
và
50 000đ
. Trị giá mỗi loại tiền trên đều
như nhau. Hỏi mỗi loại có bao nhiêu tờ ?
Bài tập 38: Ba tổ sản xuất đều được giao một công việc như nhau. Thời gian làm việc của các tổ
tương ứng là 5 giờ; 6 giờ và 8 giờ. Biết năng suất làm việc của mọi người như nhau và cả 3 tổ có
59 người. Hỏi số người của mỗi tổ?
Bài tập 39: Ba đội máy cày, cày ba cánh đồng cùng diện tích. Đội thứ nhất cày xong
trong 3 ngày,đội thứ hai trong 5 ngày và đội thứ ba trong 6 ngày. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu máy,
biết rằng đội thứ hai có nhiều hơn đội thứ ba 1 máy ?
Bài tập 40: Ba đội máy san đất làm ba khối lượng công việc như nhau. Đội thứ nhất hoàn thành
công việc trong 4 ngày, đội thứ hai trong 6 ngày và đội thứ ba trong 8 ngày. Hỏi mỗi đội có bao
nhiêu máy (có cùng năng suất), biết rằng đội thứ nhất có nhiều hơn đội thứ ba 2 máy?
Bài tập 41: Tại một trạm xe có
114
chiếc ô tô loại 40 tấn; 25 tấn và 5 tấn. Biết
2/ 3
số xe loại
40 tấn bằng
2/ 5
số xe loại 25 tấn và bằng
3/ 7
số xe loại 5 tấn. Hỏi trạm xe đó có bao nhiêu
chiếc xe mỗi loại?
Bài tập 42: Có ba cuộn dây thép dài tổng cộng
140m
. Nếu cắt bớt cuộn thứ I
1/ 7
, cuộn thứ II
2/11
và cuộn thứ III
1/ 3
chiều dài của nó thì chiều dài còn lại của ba
cuộn dây bằng nhau. Hỏi mỗi cuộn dài bao nhiêu mét ?
Bài tập 43: Ba công nhân phải sản xuất số sản phẩm như nhau. Công nhân thứ nhất, thứ hai, thứ
ba hoàn thành công việc với thời gian lần lượt là 9 giờ; 6 giờ và 7 giờ 30 phút. Hỏi trong một giờ
mỗi công nhân sản xuất được bao nhiêu sản phẩm? Biết rằng trong 1 giờ, công nhân thứ hai sản
xuất nhiều hơn công nhân thứ nhất là 3 sản phẩm.
Bài tập 44: Trong một cuộc thi chạy tiếp sức
4 100m
, đội thi gồm voi, sư tử, chó săn và ngựa
chạy với vận tốc theo thứ tự tỉ lệ với
1;1,5;1,6;2
. Hỏi đội đó có phá được ” kỷ lục thế giới.” là 39
giây không , biết rằng voi chạy hết 12 giây ?
Bài tập 45: Trong một cuộc thi chạy tiếp sức
4 100m
( mỗi đội tham gia gồm bốn vận động
viên, mỗi vận động viên chạy xong
100m
sẽ chuyền ” gậy tiếp sức” cho vận động viên tiếp theo.
Tổng số thời gian chạy của cả bốn vận động viên sẽ là thành tích của đội. Thời gian chạy của đội
nào càng ít thì thành tích càng cao), giả sử đội tuyển gồm Chó, Mo, Gà, Vịt có vận tốc tỉ lệ vời
10;8;4;1
. Hỏi thành tích của đội là bao nhiêu giây, biết rằng Vịt chạy hết 80 giây ?
Bài tập 46: Hai xe máy cùng đi từ A đến B. Một xe đi hết 1 giờ 20 phút, xe kia đi hết 1 giờ 30
phút. Tính vận tốc trung bình của mỗi xe, biết rằng vận tốc trung bình của xe thứ nhất lớn hơn
vận tốc trung bình của xe thứ hai là
6/km h
.
Bài tập 47: Số học sinh các khối 6 và 7 tỉ lệ nghịch với 20 và 21. Tính số học sinh mỗi khối, biết
rằng số học sinh khối 7 ít hơn số học sinh khối 6 là 20 học sinh .
D. HƯỚNG DẪN GIẢI HOẶC ĐÁP ÁN
Bài tập 1: 3 giờ.
Bài tập 2: 5 giờ
Bài tập 3: 18
Bài tập 4: 70 ngày
Bài tập 5: 30 phút
Bài tập 6: 16 phút
Bài tập 7: Tương tự như những bài trên. Bạn đọc tự giải
Bài tập 8: 10 giờ..
Bài tập 9: 384
Bài tập 10: Tương tự như những bài trên. Bạn đọc tự giải
Bài tập 11: 2 giờ 15 phút
Bài tập 12:
Tóm tắt
Số răng
Số vòng quay/phút
Bánh xe nhỏ
27
60
Bánh xe lớn
36
x
Vì hai bánh xe răng cưa khớp với nhau, nên số răng và số vòng quay mỗi phút là hai đại lượng tỉ
lệ nghịch. Ta có:
36 27.60 45xx
.
Vậy bánh xe nhỏ quay 45 vòng/phút
Bài tập 13: 40
Bài tập 14:
Tóm tắt
Chu vi bánh xe (cm)
Số vòng quay/phút
Bánh xe nhỏ
12
40
Bánh xe lớn
15
x
Chu vi bánh xe = đường kính
.
Gọi số vòng quay trong 1 phút của bánh xe nhỏ là x (vòng/phút)
Chu vi bánh xe nhỏ là:
12 (cm)
Chu vi bánh xe lón là:
15 (cm)
Trong cùng một thời gian, số vòng quay và chu vi của bánh xe là hai đại lượng ti lệ nghịch:
40 15.
12.x
suy ra
40 5
3x
nên
24x
Vậy bánh xe nhỏ quay 24 vòng mỗi phút
Bài tập 15: 45 vòng/phút
Bài tập 16: 150 vòng/phút
Bài tập 17: Tương tự như những bài trên. Bạn đọc tự giải
Bài tập 18: 1 (ngày)
Bài tập 19: 10 (máy )
Bài tập 20: Tương tự như những bài trên. Bạn đọc tự giải
Bài tập 21: 3
Bài tập 22: 25 phút.
Bài tập 23: Tương tự như những bài trên. Bạn đọc tự giải
Bài tâp 24:
12
60; 80vv
Bài tập 25:
60 m/ ph;40 m/ ph
Bài tập 26:Tương tự như những bài trên. Bạn đọc tự giải
Bài tập 27:
12
7 ; 7,5 ; 315 kmt h t h AB
Bài tâp 28:
1
4; 240 kmt AB
Bài tập 29: 60m
Bài tập 30: 150 m
Bài tập 32:
Tóm tắt
Số hàng (%)
Gía hàng (đồng)
Trường hợp I
100
A
Trường hợp II
x
80% a
Giải
Gọi số % hàng mua được sau khi giảm giá là
(%)x
Đặt giá hàng lúc đầu là a (đồng) thì giá hàng sau khi hạ
20%
là
80%
a (đồng)
Với cùng số tiền thì số lượng hàng mua và giá hàng là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
Do đó:
100 80%.a
xa
. Suy ra:
100
0,8
x
. Nên
100:0,8 125x 
Vậy sau khi giảm giá thì mua được
125%
hàng
Bài tập 33: 25 quyển vở
Bài tập 34:Tương tự như những bài trên. Bạn đọc tự giải
Bài tập 35: HD: Gọi ba phần phải tìm là x ; y ; z.
Vi x ; y ; z tỉ lệ nghịch với 2 ; 3 ; 4. Nên
2 3 4x y z
. Tính được:
240; 160; 120x y z
Bài tâp 36:
Tóm tắt
Chiều dài (m)
Chiều rộng (m)
Mãnh I
X
5
Mãnh II
Y
7
Mãnh III
Z
10
Giải: Gọi chiều dài của ba mãnh đất hình chữ nhật theo thứ tự là
, , ( )x y z m
.
Do ba mãnh đất có diện tích bằng nhau,
Nên chiêu dài và chiêu rộng là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
Theo bài
62x y z
và
5 7 10.x y z
.
Giải ra:
2
28; 14; 14; 420 mx y z S
Bài tập 37:
50; 25, 10x y z
Bài tập 38: Tưong tự như những bài trên. Bạn đọc tự giải
Bài tập 39:
10; 6, 5x y z
Bài tập 40: 6;4;3 (máy)
Bài tập 41: HD: Đưa về bài toán:
Chia 114 thành ba phần tỉ lệ nghịch với
223
;;
357
Đs:
27; 45, 42x y z
Bài tập 42:
HD: đưa về bài toán: chia 140 thành 3 phân tỉ lệ nghịch với
6 9 2
;;
7 11 3
.
Đáp số: 42 m ; 44 m ; 54 m.
Bài tập 43:
Tương tự như những bài trên. Bạn đọc tự giải
Bài tập 44:
Tương tự như những bài trên. Bạn đọc tự giải
Bài tập 45:
Thời gian của Gà là 20 giây; của Mo là 10 giây, của Chó là 8 giây.
Thành tích chạy tiếp sức của đội là:
8 10 20 80 118
(giây).
Bài tập 46:
Vận tốc của hai xe máy đó là:
54 km/ h;48 km/ h
.
Bài tập 47:
Số HS khối 6 là 420 HS; số HS khối 7 là 400 HS.
Chủ đề 4: ÔN TẬP CHƯƠNG 6
A. TRẮC NGHIỆM
Bài tập 1: Cho biết x và y TLN với nhau, khi
–6x
thì
8y
. Vậy khi
12y
thì x?
A.
–4
B.
4
C.
16
D.
–16
Bài tập 2: Một ô tô đi từ A đến B hết 12 giờ. Nếu ô tô đi với vận tốc mới bằng 1,2 lần vận tốc cũ
thì ô tô đi từ A đến B hết bao nhiêu giờ?
A.
14,4
B. 2 C. 10 D. 6
Bài tập 3: Cho biết hai đại lượng x và y tỉ lệ nghịch với nhau có các giá trị tương
ứng trong bảng sau: Giá trị ở ô trống trong bảng là:
A.
1
B.
2
C.
1
4
D. 1
Bài tập 4: Cho biết hai đại lượng x và y tỉ lệ thuận với nhau có các giá trị tương ứng trong bảng
sau:
Giá trị ở ô trống trong bảng là:
A.
2
B. 6 C.
6
D. 2
Bài tập 5: Cho biết hai đại lượng x và y tỉ lệ nghịch với nhau và khi
4x
thì
8y
. Hệ số tỉ lệ
là:
A. 32 B. 2 C. D. 4
Bài tập 6: Hai đại lượng y và x tỉ lệ thuận với nhau theo hệ số tỉ lệ thuận là
1
2
. Khi
2x
, thì y
bằng:
A. 3 B. 1 C. 11 D. 6
Bài tập 7: Cho biết hai đại lượng x và y tỉ lệ thuận với nhau và khi
3x
thì
6y
. Tìm hệ số tỉ
lệ k của y đối với x?
A. 18 B. 2 C. D. 3
Bài tập 8: Hình chữ nhật có diện tích không đổi, nếu chiều dài tăng gấp đôi thì chiều rộng sẽ:
A. Tăng gấp đôi B. Không thay đổi C. Giảm một nửa D. Giảm 4 lần
Bài tập 9: Đại lượng y tỉ lệ nghịch với đại lượng x theo hệ số là a, thì x tỉ lệ nghịch với y theo hệ
số là:
A.
a
B.
a
C.
1
a
D.
1
a
Bài tập 10: Cho biết hai đai lượng x và y tỉ lệ nghịch với nhau khi
8x
thì
15y
hệ số tỉ lệ là
A. 3 B.
120
C.
115
D. 26
Bài tập 11: Nếu
.0y k x k
thì:
A. y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k B. x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ k
C. y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ k D. x tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ k
2
1
2
1
Bài tập 12: Đại lượng y tỉ lệ nghịch với đại lượng x theo hệ số là k, thì x tỉ lệ nghịch với y theo
hệ số là:
A.
k
B.
k
C.
1
k
D.
1
k
Bài tập 13:
ABC
có các góc lần lượt tỉ lệ với
1;2;3
. Số đo các góc bằng :
A.
0 0 0
30 ;90 ;60
B.
0 0 0
90 ;60 ;30
C.
0 0 0
30 ;60 ;90
D.
000
60 ;90 ;30
Bài tập 14: Cho biết x và y TLN với nhau, khi
8x
thì
5y
. Biểu diễn y theo x là :
A.
5
8
xy
B.
40
x
y
C.
40yx
D.
8
5
yx
Bài tập 15: Hai đại lượng y và x tỉ lệ thuận với nhau theo hệ số tỉ lệ thuận là 3. Khi
2x
, thì y
bằng:
A. 3 B. 2 C. 5 D. 6
Bài tập 16: Hai thanh sắt có thể tích lần luợt là
3
19 cm
và
3
23 cm
. Thanh thứ nhất nhẹ hơn
thanh thứ hai
56 g
. Thanh thứ nhất nặng :
A.
266 g
B.
322 g
C.
232 g
D.
626 g
Bài tập 17: Cho biết x và y tỉ lệ nghịch với nhau, khi
0,4x
thì
15y
. Vậy khi
6x
thì y
bằng :
A. 1 B. 0 C. 6 D.
0,6
Bài tập 18: Cho biết 4 người làm cỏ trên một cánh đồng hết 6 giờ. Hỏi 8 người làm
cỏ hết bao nhiêu giờ? (với cùng năng suất như thế)
A. 12 B. 8 C. 4 D. 3
Bài tập 19: Các máy cày có cùng năng suất cày trên các cánh đồng có cùng diện tích thì :
A. Số máy tỉ lệ nghịch với số ngày hoàn thành C. Số máy tỉ lệ với số ngày hoàn thành
B. Số máy tỉ lệ thuận với số ngày hoàn thành D. Số máy tỉ lệ với diện tích cánh đồng
Bài tập 20: Độ dài ba cạnh của một tam giác tỉ lệ với 2;3;4 và chu vi tam giác bằng 45cm. Độ
dài các cạnh đó bằng:
A.
10 ;15 ;20cm cm cm
; B.
10 ;16 ;19cm cm cm
; C.
12 ;13 ;20cm cm cm
; D.
10 ;17 ;18cm cm cm
Bài tập 21: Nếu y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ
1
7
thì x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ bằng:
A.
1
7
B. 7 C. 8 D. 9
Bài tập 22: Cho biết x và y tỉ lệ thuận với nhau, khi
10x
thì
5y
. Vậy khi
–5x
thì y bằng :
A.
–10
B.
–2,5
C.
–3
D.
–7
Bài tập 23: Hai thanh sắt có thể tích lần luợt là
3
23 cm
và
3
19 cm
. Thanh thứ nhất nặng hơn
thanh thứ hai
56 g
. Thanh thứ nhất nặng :
A.
266 g
B.
322 g
C.
232 g
D.
626 g
Bài tập 24: Cho
50
y
x
và
10x
,giá trị tương ứng của y bằng:
A. 5 B. 10 C. 20 D. 30
Bài tập 25: Số đo các góc trong tam giác lần lượt tỉ lệ với 1;2;3.Số đo các góc ấy lần lượt bằng:
A.
000
30 ,50 ,60
B.
000
40 ,50 ,60
C.
000
50 ,60 ,70
D.
0 0 0
30 ,60 ,90
Bài tập 26: Cho
.y k x
và
10; 5yx
. Hệ số tỉ lệ k bằng:
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Bài tập 27: Nếu y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ 60 thì x tỉ lệ nghịch với y theo hệ số ti lệ
bằng :
A. 60 B. 70 C. 80 D.
1
60
Bài tập 28: Cho x và y tỉ lệ nghịch với nhau, khi
10x
thì
6y
. Hệ số tỉ lệ a bằng:
A.
5
3
B.
3
5
C. 60 D.
1
60
Bài tập 29: Gọi x và y là độ dài hai cạnh của HCN có diện tích
2
60cm
. Ta có
A. x và y tỉ lệ thuận theo hệ số tỉ lệ là 60 C. x và y tỉ lệ nghịch theo hệ số tỉ lệ là 60
B. y và x tỉ lệ thuận theo hệ số tỉ lệ là 60 D. x và y tỉ lệ nghịch theo hệ số tỉ lệ là
1
60
Bài tập 30: Cho
a
y
x
và
4, 16yx
. Hệ số tỉ lệ a bằng:
A.
24
B.
44
C.
64
D.
84
Bài tập 31: Cho x và y tỉ lệ thuận với nhau, khi
5x
thì
15y
. Hệ số tỉ lệ k bằng :
A. 3 B.
75
C.
1
3
D. 10
Bài tập 32: Cho biết 3 mét dây kẽm nặng 90 gam, giả sử x mét dây nặng y gam. Biểu diễn y
theo x là :
A.
30yx
B.
1
3
xy
C.
30xy
D.
1
3
xy
B. TỰ LUẬN
Bài tập 1: Ba lớp
7 ,7 ,7abc
được phân công lao động với 3 khối lượng công việc như nhau.
Lớp 7a hoàn thành công việc trong 2 giờ,lớp 7b hoàn thành công việc trong 3 giờ, 7c hoàn thành
công việc trong 4 giờ. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh tham gia lao động (các học sinh có sức
khỏe như nhau). Biết rằng 7a nhiều hơn 7b là 4 học sinh.
Bài tập 2: Cho biết 30 công nhân xây xong một ngôi nhà hết 90 ngày. Hỏi 15 công nhân xây
ngôi nhà đó hết bao nhiêu ngày? (giả sử năng suất làm việc của mỗi
công nhân là như nhau)
Bài tập 3: Biết rằng y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ là 2 và z tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ
lệ là 3. Hỏi z và x tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch và hệ số tỉ lệ là bao nhiêu?
HƯỚNG DẪN GIẢI HOẶC ĐÁP ÁN
A. TRẮC NGHIỆM
Bài tập
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Đáp án
A
C
D
C
C
B
B
C
A
B
Bài tập
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Đáp án
A
A
C
B
D
A
A
D
A
A
Bài tập
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Đáp án
B
B
B
A
D
B
A
C
C
C
Bài tập
31
32
Đáp án
A
A
B. TỰ LUẬN
Bài tập 1: Gọi số học sinh tham gia lao động của ba lớp
7a,7 b,7c
lần lượt là a, b, c
Điều kiện:
*
; ; ; 4a b c a
Vì số học sinh tham gia lao động và thời gian hoàn thành là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên theo
đề ta có:
.2 .3 .4a b c
và
4ab
Nên:
111
234
a b c

và
4ab
Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau ta có:
4
24
1 1 1 1 1 1
2 3 4 2 3 6
a b c a b
Vậy
12, 8, 6a b c
Lớp 7 a có 12 học sinh tham gia lao động, 7b có 8 học sinh tham gia lao động, 7c có 6 học sinh
tham gia lao động.
Bài tập 2: Gọi thời gian 15 công nhân xây xong ngôi nhà là x (ngày)
Vì số công nhân làm và thời gian hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, Nên:
15. 30.90x
. Do đó:
30 90
180
15
x

Vậy thời gian 15 công nhân xây xong ngôi nhà là 180 (ngày).
Bài tập 3: Ta có: y tỉ lệ nghịch với
x
theo hệ số tỉ lệ là 2 nên
2
y
x
.
z tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ là 3 nên
3
z
y
Do đó:
3 2 3
3:
2
zx
yx
Vậy
z
và
x
tỉ lệ thuận với nhau và hệ số tỉ lệ là
3
2
.

Mô tả nội dung:


Chương VI: CÁC ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ
Chủ đề 1: TỈ LỆ THỨC- DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Dạng 1: TỈ LỆ THỨC- TÌM X A. PHƯƠNG PHÁP
Nhắc lại định nghĩa và các tính chất quan trọng của tỉ lệ thức.
Định nghĩa: Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số có dạng a cb d Tỉ lệ thức a c
 còn được viết là: a :b c : d b d - Các ngoại tỉ: a và d - Các trung tỉ: b và c Ta có các tính chât: + Nếu a c
 thì ad  . b c b d + Nếu . a d  . b c và ; a ; b ;
c d  0 thì ta có các tỉ lệ thức: a c a b d c d b  ,  ,  ,  b d c d b a c a
B. BÀI TẬP MẪU CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài tập mẫu 1: Từ đẳng thức 6.63  9.42 và 0,24.1,61  0,84.0,46 ta có thể lập được các tỉ lệ thức nào? Hướng dẫn giải
+ Từ đẳng thức 6.63  9.42 ta có thể lập được các tỉ lệ thức sau 6 42 6 9 63 42 9 63  ;  ;  ;  9 63 42 63 9 6 6 42
+ Từ đẳng thức 0,24.1,61  0,84.0,46 ta có thể lập được các tỉ lệ thức sau : 0, 24 0, 46 1, 61 0, 46 0, 24 0,84 0,84 1, 61  ;  ;  ;  0,84 1, 61 0,84 0, 24 0, 46 1, 61 0, 24 0, 46
Bài tập mẫu 2: Tìm x trong các trường hợp sau: 1  4 a. x 2  x b. 4  27 3, 6 7 1, 61 2 8 Hướng dẫn giải a. Áp dụng tính chất: 3,6x  2  .27 2  .27 x  3, 6 x  1  ,5 Vậy: x  1
 ,5 là giá trị cần tìm b. Áp dụng tính chất: 7 1 2 x  4 1,61 8 4 23 17 x  1,61 8 4 23 27,37 x  8 4 27, 37 23 x  : 4 8 27,37 8 x   4 3 119 x  50 Vậy: 119 x  là giá trị cần tìm. 50
Bài tập mẫu 3: Tìm x trong các tỉ lệ thức sau : 1 a. 1,35 1, 25  3x x b. 4  c. 3 3  0, 2 0,1x 2, 7 1 4 20 2 4 Hướng dẫn giải a. Áp dụng tính chất:
1,35.0,1x 1, 25.0, 2 0,135x  0.25 0, 25 x  0,135 50 x  27 Vậy 50 x  là giá trị cần tìm. 27 b. Áp dụng tính chất: 1 1 2 3 x  2,7 4 4 9 1 27 3 x   4 4 10 27 27  x  4 40 27 27 x  : 40 4 27 4 x   40 27 4 x  40 1 x  10 Vậy: 1 x  là giá trị cần tìm. 10
c. Áp dụng tính chất: 3.20  4.3x 60  12x 60 x x  5 12
Vậy: x  5 là giá trị cần tìm.
Bài tập mẫu 4: Tìm x trong các trường hợp sau: a. 1 2 1 1
0, 4 : x x : 0,9 b. 0, 2 :1 
: 6x  7 c. 13 :1  26 : 2x   1 d. 1, 2 5  5 3 3 3 x  3 4 Hướng dẫn giải a. Áp dụng tính chất: 0, 4  x x 0, 9 0, 4.0,9  . x x 2 x  0,36 x  0  ,6 Vậy x  0
 ,6 là giá trị cần tìm. b. Áp dụng tính chất: 2 0, 2 3  1 6x  7 1 5 2 1 0, 2.(6x  7)  1 3 5 2 2 6 (6x  7)   10 3 5 1 4 (6x  7)  5 5 4 1 6x  7  : 5 5 4 5 6x  7   5 1 6x  7  4 6x  4  7 6x  3  3  x  6 1  x  2  Vậy: 1 x  là giá trị cần tìm. 2
c. Áp dụng tính chất ta có : 40 4 26 :  3 3 2x 1 40 3 26   3 4 2x 1 26 10  2x 1 10(2x 1)  26 26 2x 1  10 13 2x 1  5

zalo Nhắn tin Zalo