Các bài toán cực trị ôn vào 10 Đại số có lời giải chi tiết

Chương 4. Các bài toán cực trị về số học
4.1. Giản lược kiến thức
1. Bội và ước số nguyên: Số nguyên a được gọi là chia hết cho số nguyên b khác 0 nếu tìm được số nguyên c sao cho Kí hiệu,
đọc là a chia hết cho b (a là bội số của b) Có thể viết
đọc là b chia hết a (b là ước số của a)
2. Số nguyên tố: Là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có hai ước số là 1 và chính số đó.
Tính chất: Mọi số nguyên lớn hơn 1 đều phân tích được thành tích các thừa số nguyên tố một cách duy nhất
(không kể thứ tự các thừa số)
3. Số chính phương: Là số bằng bình phương của một số nguyên. Tính chất:
• Một số chính phương có chữ số tận cùng là một trong các số 0, 1, 4, 5, 6, 9.
• Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn.
• Số các ước số của một số chính phương là số lẻ.
4. Ước chung lớn nhất (UCLN)
• Một số nguyên gọi là ước chung của hai số nguyên a và b nếu nó là ước số của mỗi số a và b.
• Số lớn nhất trong các ước chung của hai số nguyên tố a và b được gọi là ước chung lớn nhất của a và b. Kí hiệu
đọc là: số d là ước chung lớn nhất của a và b.
5. Bội số chung nhỏ nhất (BCNN)
• Số nguyên m được gọi là bội chung của các số nguyên a và b nếu m là bội số của a và m là bội số của b.
• Số nguyên dương M nhỏ nhất là bội chung của hai số a và b được gọi là bội chung nhỏ nhất của a và b. Kí hiệu
đọc là M là bội chung nhỏ nhất của a và b.
Chú ý: Có thể mở rộng các định nghĩa trên đây cho ước chung lớn nhất của nhiều số, bội chung nhỏ nhất của nhiều số.
6. Hợp số: Là số tự nhiên lớn hơn 1 và không phải là số nguyên tố.
7. Hai số nguyên tố cùng nhau: Nếu a, b là các số nguyên thỏa mãn
thì a và b được gọi là hai số nguyên tố cùng nhau. 8. Nếu
với p, q, r là các số nguyên tố khác nhau và m, n, k là các số tự nhiên khác 0 thì A có số các ước số bằng


9. Nếu a, b là các số nguyên sao cho
thì số các ước số chung của a và b bằng số các ước số của d
10. Nếu a, b là hai số nguyên dương, nguyên tố cùng nhau và
với n là số nguyên dương thì và
11. Nguyên tắc Dirichlet
• Nếu nhốt m con thỏ vào n chuồng
thì phải có ít nhất là một chuồng chứa từ hai con trở lên.
• Để áp dụng nguyên tắc Dirichlet cần làm xuất hiện tình huống nhốt thỏ vào chuồng thỏa mãn hai điều kiện:
+ Số thỏ nhiều hơn số chuồng.
+ Thỏ phải được nhốt hết vào chuồng, nhưng không bắt buộc chuồng nào cũng có thỏ.
4.2. Các bài toán vận dụng
Bài 1: (Thi vào lớp 10 Phổ thông năng khiếu Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh 2002)
Cho m, n là các số nguyên thỏa mãn
Hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức Hướng dẫn Ta có Vì là các số nguyên nên và cũng là các số nguyên. Lập bảng 1 –1 3 –3 9 –9 9 –9 3 –3 1 –1 m 2 1 3 0 6 –3 n 12 –6 6 0 4 2 24 –6 18 0 24 –6 Trường hợp ,
bị loại vì m, n khác 0.
Từ bảng trên đây suy ra: ; . ; . Bài 2:
1. Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: . 2. Giả sử
là một nghiệm nguyên của phương trình
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

Hướng dẫn 1. Phương trình
. Bởi vì x, y là các số nguyên, vế trái là số chẵn, do đó vế phải cũng là
số chẵn, suy ra y là số lẻ hay
với t là số nguyên. Khi đó .
Vậy nghiệm nguyên tổng quát của phương trình là
, với t là số nguyên. 2. Ta có . khi .
Bài 3: (Thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Hòa Bình 2012 - 2013)
Cho bốn số nguyên dương có tổng là 2013. Hãy tìm giá trị lớn nhất của tích bốn số đó. Hướng dẫn
Giả sử bốn số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn
và tích abcd lớn nhất. Không mất tính tổng quát, giả sử Nếu
: Xét bộ bốn số nguyên dương sau: , , , . Ta có
(vô lí) vì mâu thuẫn với giả sử abcd lớn nhất. Vậy hoặc . • Nếu (vô lí). • Nếu mà
nên xét các trường hợp: 1) Bốn số là
. Ta có bộ bốn số là 503, 503, 503, 504. 2) Bốn số là (vô lí). 3) Bốn số là (vô lí).
Vậy có duy nhất 4 số 503, 503, 503, 504 và tích lớn nhất là .
Bài 4: (Thi vào lớp 10 chuyên Toán Thành phố Hồ Chí Minh 2006)
Tìm số tự nhiên N nhỏ nhất thỏa mãn đồng thời
a. Chữ số tận cùng bằng 6
b. Nếu bỏ chữ số 6 cuối ấy và thêm chữ số 6 vào trước các chữ số còn lại thì số mới nhận được gấp 4 lần số ban đầu. Hướng dẫn

Giả sử ( , ,…, là các chữ số).
Cần tìm N nhỏ nhất thỏa mãn . Ta có Ta có: tận cùng là (nhớ 2). tận cùng (nhớ 1). tận cùng (nhớ 3). tận cùng (nhớ 1). tận cùng (nhớ 2). tận cùng .
Vì số N nhỏ nhất nên ta có thỏa mãn .
Bài 5: Cho x, y các số nguyên thỏa mãn điều kiện:
. Hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của tích . Hướng dẫn Từ Nếu (vô lí) Vậy
Vì x, y là số nguyên nên
là ước số của 3. Ta có . Vậy khi , ; khi .
Bài 6: Cho x, y, z là các số nguyên thỏa mãn điều kiện: