Trọn bộ Bài toán cực trị ôn vào 10 có lời giải chi tiết

Chương 1
Các bài toán cực trị về tam giác
1.1 Giản lược kiến thức cơ bản
Các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một đại lượng được gọi là bài toán cực trị.
Giả sử A là một biểu thức (một biến hoặc nhiều biến).
a) số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của A nếu thỏa mãn 2 điều kiện: 
với mọi giá trị của biến thuộc tập xác định biểu thức A; 
Tồn tại một giá trị của biến để A nhận giá trị m. Kí hiệu: .
b) số M được gọi là giá trị lớn nhất của A nếu thỏa mãn hai điều kiện: 
với mọi giá trị của biến thuộc tập xác định biểu thức A; 
Tồn tại một giá trị của biến để A nhận giá trị m. Kí hiệu:
Bất đẳng thức tam giác
a) Với ba điểm A, B, C bất kì, ta có Dấu
xảy ra khi và chỉ khi A thuộc đoạn thẳng BC.
b) Độ dài đoạn thẳng nối hai điểm A và B ngắn hơn độ dài đường gấp khúc bất kì có hai đầu là A và B.
Đường vuông góc, đường xiên
a) Trong các đoạn thẳng nối từ một điểm đến một đường thẳng, đoạn vuông góc với đường thẳng có độ dài ngắn nhất.
b) Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm tới một đường thẳng, đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn và ngược lại.
Quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác
a) Trong một tam giác, đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn và ngược lại.
b) Đối diện với hai cạnh bằng nhau là hai góc bằng nhau và ngược lại.
Các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
a) Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH, ta có: 1. 2. 3. 4. 5.


b) Cho tam giác ABC vuông tại A, ta có: 1. 2. 3. 4. 5. c) Nếu thì:       
Bất đẳng thức về các giá trị trung bình của hai số dương a và b
Hệ thức lượng trong tam giác thường
Cho tam giác ABC bất kì với AH là đường cao. a) Nếu góc nhọn thì b) Nếu góc tù thì
c) Nếu M là trung điểm cạnh BC thì


Định lý Heron (Hêrông)
Cho đường thẳng xy và hai điểm A, B nằm về cùng một nửa mặt
phẳng có bờ là xy (A, B không thuộc xy).
Điểm C thuộc đường thẳng xy. Khi đó AC + CB nhỏ nhất
AC và BC tạo bởi xy các góc bằng nhau.
Chú ý: Hêrông là nhà toán học Hy Lạp sống ở thành phố cổ A – lếch – xan – đri vào thế kỉ thứ nhất sau Công Nguyên. Chu vi – Diện tích
a) Trong các hình chữ nhật có cùng diện tích thì hình vuông có chu vi nhỏ nhất.
b) Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất.
c) Cho tam giác ABC có
; là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác
ABC. Ta có hệ thức .
Bất đẳng thức Bunhiakopski a) Cho các số thực . Ta có bất đẳng thức Dấu xảy ra . b) Cho các số thực . Ta có bất đẳng thức Dấu xảy ra ( khác 0).
Bất đẳng thức Côsi
Cho ba số a, b, c không âm. Ta có Dấu xảy ra .
1.2. Các bài toán vận dụng
Bài 1: Cho hai làng A và B nằm về một phía của một bờ sông thẳng. Hãy tìm một vị trí M trên bờ sông để
xây một cây cầu sao cho tổng các khoảng cách MA + MB có độ dài bé nhất. Hướng dẫn


Giả sử hai bờ sông là a và b. Gọi
là điểm đối xứng của A qua bờ a.
giao cắt bờ sông a tại M thì M chính là vị trí đầu cầu M cần xác định (của cây cầu MN vuông góc với 2 bờ sông a, b).
Thật vậy, áp dụng định lý Hêrông, ta có
với C là vị trí khác M trên bờ a.
Bài 2: Cho góc nhọn
và một điểm M nằm trong góc đó. Hãy tìm trên Ox một điểm A, trên Oy một điểm
B sao cho tam giác AMB có chu vi bé nhất. Hướng dẫn
Gọi N, P tương ứng là các điểm đối xứng của M qua Ox và Oy.
Gọi A, B lần lượt là giao điểm của NP với Ox và Oy.
Khi đó, tam giác AMB có chu vi bé nhất. Thật vậy, nếu C là 1
điểm trên Ox, C khác A, và D là 1 điểm trên Oy, D khác B. Chu vi = Chu vi (AMB).
Bài 3: Cho góc nhọn
và hai điểm A, B phân biệt nằm ở trong góc
. Hãy xác định điểm M trên cạnh
Ox và điểm N trên cạnh Oy sao cho đường gấp khúc AMNB có độ dài nhỏ nhất. Hướng dẫn Dựng
đối xứng với điểm A qua cạnh Ox. Dựng
đối xứng với điểm B qua cạnh Oy.
Dựng đường thẳng đi qua hai điểm
. Đường thẳng này cắt
Ox, Oy lần lượt tại M, N.
Ta có độ dài đường gấp khúc AMNB bằng 1. .
Các điểm M, N chính là các điểm cần xác định thỏa yêu cầu bài toán.
Bài 4: Cho góc nhọn
và hai điểm A và B nằm ở miền trong góc đó. Hãy xác định điểm N trên tia Oy và
điểm M trên tia Ox sao cho đường gấp khúc ANMB có độ dài nhỏ nhất. Hướng dẫn Dựng
đối xứng với điểm A qua cạnh Oy. Dựng
đối xứng với điểm B qua cạnh Ox. Đường thẳng
cắt Oy và Ox tương ứng tại N và M thì có độ dài đường ANMB thỏa mãn.
Bài 5: Cho trước đoạn thẳng BC và một độ dài h. Hãy dựng điểm A cách đường thẳng BC một đoạn bằng h
sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất.