Chuyên đề bài tập bồi dưỡng HSG Toán 12 (có lời giải)

MỤC LỤC
CHỦ ĐỀ ❶. BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ. . . . . . .2
⬩PHẦN ❶. TỰ LUẬN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
⬩PHẦN ❷. TRẮC NGHIỆM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18
⬩PHẦN ❸. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM ĐÚNG; SAI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
⬩PHẦN ❹. CÂU HỎI TRẢ LỜI NGẮN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .88 1
CHỦ ĐỀ ❶. BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
⬩PHẦN ❶. TỰ LUẬN
Câu 1: [Mức độ 4] Cho hàm số y  f x có đạo hàm f x  x   2 '
6 x  2x 8, x   . Có bao
nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số g  x   3 2
x  3x  8x  6  m có ít nhất 3 điểm cực trị? Lời giải x  6
Ta có : f 'x 0    x  4   x   2 Xét u x 3 2
 x  3x  8x  6 có u  x 2 '
 3x  6x  8  0 x  
Do đó số điểm của trị của hàm số g  x   3 2
x  3x  8x  6  m bằng số điểm của trị của
hàm số: hx   x  m . x  0 1 x
Ta có : h' x 
f ' x  m    0   x  f '
  x  m  02 +) Xét  
1 : x  0 làm cho h'x đổi dấu và xác định với y  f x nên x  0 là 1 điểm cực trị.
 x  m  6
 x  6  m  
+) Xét 2  f ' x  m  0   x  m  4
   x  2  m *   x m 2    x  4  m  
Để hàm số h x có ít nhất 3 điểm cực trị  * có ít nhất 2 nghiệm đơn. Biểu diễn vế trái
của * trên cùng một hệ trục tọa độ ta có: m  6  m  6 . Mà m nguyên dương nên có
5 giá trị m thỏa mãn ycbt. 2
Câu 2: [Mức độ 3] Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn 8;8 để hàm số 3
y  x  m   2 3
2 x  3m m  4 x  5 đồng biến trên khoảng 1;3 ? Lời giải
Xét hàm số f  x 3
 x  m   2 3
2 x  3mm  4 x  5 .
Ta có f  x 2
 x   m  x   m m   2 ' 3 6 2 3
4  3 x  2 m 2 x   m m   4 . x  m
f ' x  0  x  m4.
Để hàm số f  x đồng biến trên khoảng 1;3 thì ta có 3 trường hợp  f   2 1  0 3
 m  9m  0 Trường hợp 1:     m  3. 3   m m  3
Vì mnguyên và m8;8  m3;4;5;6;7;  8 .  f   2 1  0 3
 m  9m  0  3   m  0 Trường hợp 2:       1   m  0.
m 1 3  m  4  1   m 1  1   m 1
Vì mnguyên và m8;8 m1;  0 .  f   2 1  0 3
 m  9m  0 Trường hợp 3:     m  3  . m  4 1 m  3 
Vì mnguyên và m8;8  m8;7;6;5;4;  3 .
Có tất cả 14 giá trị nguyên thuộc đoạn 8;8 thoả mãn yêu cầu bài toán.
Câu 3: [Mức độ 2] Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được đo bởi công thức Gx 2
 0,25x 30  x trong đó xmg và x > 0 là lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân.
Để huyết áp giảm nhiều nhất thì cần tiêm cho bệnh nhân một liều lượng bằng bao nhiêu? Lời giải 3 1
Ta có: G  x 2
 0,25x 30  x 2 3  x  x 4 40 G 'x 3 3 2  x  x 2 40 3 x  G'x 3 3 0(loai) 2  0  x  x  2 40  x  20(t/ m) Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên thì bênh nhân cần tiêm một lượng thuốc 20mg
Câu 4: [Mức độ 3] Để thiết kế một chiếc bể cá hình chữ nhật có chiều cao là 60c , m thể tích là 3
96.000cm , người thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có giá thành 70.000
đồng/m2 và loại kính để làm mặt đáy có giá thành là 100.000 đồng/m2. Tính chi phí thấp
nhất để hoàn thành bể cá. Lời giải V 96.000
Diện tích của đáy hộp là: 2 2 S  
 1600cm  0,16m h 60
Gọi chiều dài cạnh đáy của hộp là x, x  0,m 0,16
Chiều rộng của hộp là x
Gọi F  x là hàm chi phí để làm để cá.
Chi phí để hoàn thành bể cá: F  x 0,16  0,16100.000  2.0,6 . x 70.000  2.0,6. .70.000 x 13440
 16.000  48.000x  x
Câu toán trở thành tìm x để F(x) đạt GTNN. F  x 13440 '  84.000  2 x F  x 13440 '  0  84.000   0  x  0,4 2 x Bảng biến thiên:
Vậy chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá là: 83.200 đồng. 4