Chuyên đề Bài tập Toán 12 (ba bộ sách)

CHƯƠNG 1
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ BÀI 1
TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
1. Tính đơn điệu của hàm số
a. Khái niệm tính đơn điệu của hàm số
Cho hàm số y  f x xác định trên tập K  , với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc đoạn.
Hàm số y  f x gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu mọi x , x thuộc K mà x  x thì 1 2 1 2
f x  f x . 1 2 
Hàm số y  f x gọi là nghịch biến (tăng) trên K nếu mọi x , x thuộc K mà x  x thì 1 2 1 2
f x  f x . 1 2  Chú ý:
Nếu hàm số y  f x đồng biến trên K thì đồ thị của nó đi lên từ trái sang phải (Hình a).
Nếu hàm số y  f x nghịch biến trên K thì đồ thị của nó đi xuống từ trái sang phải (Hình b).
Hàm số y  f x đồng biến hoặc nghịch biến trên K thì gọi chung là đơn điệu trên K . Định lí
Cho hàm số y  f x có đạo hàm trên tập K  , với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc đoạn.
 Nếu f 'x  0, x
  K thì hàm số y  f x đồng biến trên K .
 Nếu f x  0, x
  K thì hàm số y  f x nghịch biến trên K .
Chú ý: Cho hàm số y  f x có đạo hàm trên tập K  , với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc đoạn.
 Nếu f 'x  0, x
  K và f 'x  0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số y  f x
đồng biến trên K .
 Nếu f 'x  0, x
  K và f 'x  0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số y  f x
nghịch biến trên K .
 Nếu f 'x  0, x
  K và f 'x  0 thì hàm số y  f x không đổi trên K .
b. Sử dụng bảng biến thiên xét tính đơn điệu của hàm số
Để xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y  f x , ta có thể thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số y  f x .
Bước 2: Tính đạo hàm f 'x . Tìm các điểm x i 
n tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0 i  1,2,3,. .,  hoặc không tồn tại.
Bước 3: Sắp xếp các điểm x theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên để xét dấu y '  f '(x) . i
Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên, nêu kết luận các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.
2. Cực trị của hàm số
a. Khái niệm: Cho hàm số y  f x liên tục trên tập K  , trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nửa
khoảng và x  , x  K . 0 1
 x được gọi là điểm cực đại của hàm số y  f  x nếu tồn tại một khoảng ( ; a ) x sao 0
b chứa điểm o cho ( ;a )
b Ì K và f (x)  f x x   a b
x . Khi đó, f x được gọi là giá trị cực đại của hàm o  o  ,  ;  \ o
số y  f x , kí hiệu f . CD
 x được gọi là điểm cực tiểu của hàm số y  f  x nếu tồn tại một khoảng ( ;cd) chứa điểm x sao 1 1
cho ( ;cd)Ì K và f (x)  f x , x   ;
c d \ x . Khi đó, f x được gọi là giá trị cực tiểu của hàm 1  1     1
số y  f x , kí hiệu f . CT
 Điểm cực trị đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại và giá trị cực
tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị)
Chú ý: Nếu x là điểm cực trị của hàm số y  f x thì người ta nói rằng hàm số y  f x đạt cực trị 0
tại điểm x . Khi đó, điểm M x f x
được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số y  f x . o ; ( o) 0
b. Tìm cực trị của hàm số
Giả sử hàm số y  f x liên tục trên khoảng  ;
a b chứa điểm x và có đạo hàm trên các khoảng o
a;x và x b . Khi đó o ;  o 
 Nếu f 'x  0 với mọi xa; x và f 'x  0 với mọi xx b thì hàm số f  x đạt cực tiểu o ;  o  tại điểm x . 0
 Nếu f 'x  0 với mọi x a; x và f 'x  0 với mọi x x b thì hàm số f  x đạt cực đại o ;  o  tại điểm x . 0
Nhận xét: Để tìm điểm cực trị của hàm số y  f x , ta có thể thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số y  f x .
Bước 2: Tính đạo hàm f 'x . Tìm các điểm x i 
n tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0 i  1,2,3,. .,  hoặc không tồn tại.
Bước 3: Sắp xếp các điểm x theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên để xét dấu y '  f '(x) . i
Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên, nêu kết luận về các điểm cực trị của hàm số. CHỦ ĐỀ 1
XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Để xét tính đồng biến, nghịch biến và điểm cực trị của hàm số y  f x , ta có thể thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số y  f x .
Bước 2: Tính đạo hàm f 'x . Tìm các điểm x i 
n tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0 i  1,2,3,. .,  hoặc không tồn tại.
Bước 3: Sắp xếp các điểm x theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên để xét dấu y '  f '(x) . i
Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên, nêu kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến và các điểm cực trị của hàm số. Chú ý: