Chuyên đề & Bài tập Toán 12 thực tế (sách mới)

CHUYÊN ĐỀ 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
A. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ
1. Tính đơn điệu của hàm số
Định nghĩa: Cho hàm số y  f x xác định trên K với K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng
Hình 1. Hàm số đồng biến trên  ; a b
 Hàm số y  f x được gọi là đồng biến trên K nếu x
 , x  K, x  x  f x  f x . 1 2 1 2  1  2
 Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải (Hình 1)
Hình 2. Hàm số nghịch biến trên  ; a b
 Hàm số y  f x được gọi là nghịch biến trên K nếu x
 , x  K, x  x  f x  f x 1 2 1 2  1  2
 Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải (Hình 2)
 Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K.
 Khi xét tính đơn điệu mà không chỉ rõ tập K thì ta hiểu là xét trên tập xác định của hàm số đó.
Liên hệ giữa đạo hàm và tính đơn điệu:
Định lí 1: Cho hàm số y  f x có đạo hàm trên khoảng K.
 Nếu f x  0, x
 K và f x  0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên K thì hàm số
y  f  x đồng biến trên khoảng K .
 Nếu f x  0, x
 K và f x  0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên K thì hàm số
y  f  x nghịch biến trên khoảng K .
Chú ý: Nếu hàm số y  f  x đồng biến trên tập K hoặc nghịch biến trên tập K thì hàm số y  f  x
còn được gọi là đơn điệu trên tập K  .
Định lí 2: Cho hàm số y  f x có đạo hàm trên tập K  , trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc
nửa khoảng. Nếu f  x  0 (hoặc f  x  0 ) với mọi x thuộc K và f  x  0 chỉ tại một số hữu
hạn điểm của K thì hàm số y  f  x đồng biến (hoặc nghịch biến) trên K .
2. Cực trị của hàm số
Định nghĩa: Cho hàm số y  f x liên tục trên khoảng  ;
a b và điểm x  ; a b . 0  
 Nếu tồn tại số h  0 sao cho f x  f x với mọi xx  ; h x  h  ;
a b và x  x thì 0 0    0  0
ta nói hàm số f  x đạt cực đại tại x . 0
 Nếu tồn tại số h  0 sao cho f x  f x với mọi xx  ; h x  h  ;
a b và x  x thì 0 0    0  0
ta nói hàm số f  x đạt cực tiểu tại x . 0 Ghi chú:
 Nếu hàm số y  f x đạt cực đại tại x thì x được gọi là điểm cực đại của hàm số, f x 0  0 0
được gọi là giá trị cực đại của hàm số, kí hiệu f hay y , còn điểm M x ; f x được 0  0 CĐ CĐ
gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số.
 Nếu hàm số y  f x đạt cực tiểu tại x thì x được gọi là điểm cực tiểu của hàm số, f x 0  0 0
được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số, kí hiệu f hay y , còn điểm M x ; f x được 0  0 CT CT
gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.
 Các điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (còn gọi là
cực đại) và giá trị cực tiểu (còn gọi là cực tiểu) được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) của hàm số.
 Nếu hàm số y  f x có đạo hàm trên khoảng  ;
a b và có điểm cực trị là x  ; a b thì 0  
f  x  0 0 
Định lí: Giả sử hàm số y  f x liên tục trên khoảng K  x  ;
h x  h và có đạo hàm trên K 0 0 
hoặc trên K \ x , với h  0 . 0
 Nếu f x  0 trên khoảng x  ; h x
và f  x  0 trên khoảng  x ; x  h thì x là một 0 0  0  0 0  0
điểm cực đại của hàm số f x .
 Nếu f x  0 trên khoảng x  ; h x
và f  x  0 trên khoảng  x ; x  h thì x là một 0 0  0  0 0  0
điểm cực tiểu của hàm số f x .
Nhận xét: Định lí trên có thể hiểu một cách đơn giản như sau: Điều kiện đủ để hàm số y  f  x đạt
cực trị tại một điểm x là đạo hàm f  x đổi dấu khi x qua x với x  x  ; h x  h . 0 0  0 0
Nếu hàm số y  f  x đạt cực trị tại x thì f  x  0 hoặc f  x không tồn tại. 0  0  0
Các tên gọi từ đồ thị hàm số:
 x ; y là điểm cực đại của đồ thị hàm số trong đó: x là điểm cực đại của hàm số; y là giá 1 1  1 1
trị cực đại của hàm số.
 x ; y là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số trong đó: x là điểm cực tiểu của hàm số; y là 2 2  2 2
giá trị cực tiểu của hàm số. B. BÀI TẬP
Bài 1. Một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ độ cao 2 m với vận tốc ban đầu là 24,5 m/s. Trong
Vật lí, ta biết rằng khi bỏ qua sức cản của không khí thì độ cao h (mét) của vật sau t (giây) được cho
bởi công thức h (t ) 2
= 2 + 24, 5t - 4, 9t . Hỏi tại thời điểm nào thì vật đạt độ cao lớn nhất?
Bài 2. Thể tích V (đơn vị: centimét khối) của 1kg nước tại nhiệt độ T ( 0 C
  T  30 C  ) được tính bởi công thức V T  2 3
 999,87  0,06426T  0,0085043T  0,0000679T
Hỏi thể tích V T  , 0 C
  T  30 C
 , giảm trong khoảng nhiệt độ nào?
Bài 3. Xét một chất điểm chuyển động dọc theo trục Ox . Toạ độ của chất điểm tại thời điểm t được
xác định bởi hàm số xt 3 2
 t  6t  9t với t  0. Khi đó xt là vận tốc của chất điểm tại thời điểm
t , kí hiệu vt; vt là gia tốc chuyển động của chất điểm tại thời điểm t , kí hiệu at .
Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Phương trình hàm vận tốc là vt 2
 3t  6t  9.
b) Phương trình hàm gia tốc là at  6t 12.
c) Vận tốc của chất điểm tăng khi t 0;  1  3;.
d) Vận tốc của chất điểm giảm khi t 1;3.
Bài 4. Giả sử doanh số (tính bẳng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất đị 5000
nh) tuân theo quy luật logistic được mô hình hóa bằng hàm số f (t) 
, t  0 , trong đó thời 1 5 t e 
gian t được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm f (t) sẽ biểu thị tốc
độ bán hàng. Hỏi sau khi phát hành bao nhiêu năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất?
Bài 5. Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được xác đinh bởi hàm Gx 2
 0,025x 30 x , trong
đó x là số miligam thuốc được tiêm cho bệnh nhân 0  x  30 . Để bệnh nhân đó có huyết áp giảm
nhiều nhất thì liều lượng thuốc cần tiêm vào là bao nhiêu.
Bài 6. Xét một chất điểm chuyển động dọc theo trục Ox . Toạ độ của chất điểm tại thời điểm t 3 2
được xác định bởi hàm số x(t)  t  6t  9t với t  0 . Khi đó x (
 t) là vận tốc của chất điểm tại thời
điểm t , kí hiệu v(t);v (
 t) là gia tốc chuyển động của chất điểm tại thời điểm t , kí hiệu a(t) .
a) Tìm các hàm v(t) và a(t) .
b) Trong khoảng thời gian nào vận tốc của chất điểm tăng, trong khoảng thời gian nào vận tốc của chất điểm giảm?