Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 11 Bất đẳng thức (có lời giải)

BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC Câu 1.
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 2  a b c  (   + +
 a + b + c) 1 1 1 . + +     .  b c a   a b c  Câu 2.
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức:
(a b+b a+a c+c a+b c+c b)2 2 2 2 2 2 2
 (ab + bc + ca)( 2 2 2 2 2 2 4
a b + b c + c a ) . Câu 3.
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh một tam giác có chu vi bằng 3. Chứng minh rằng:
( + − )( + − )( + − ) 2 2 2 a b c b c a c a b  a b c . Câu 4. Cho a, ,
b c  0 và ab + bc + ca = 1 . Chứng minh rằng: 2a 2b 2c 1 1 1 + +  + + . 2 2 2 2 2 2 1+ a 1+ b 1+ c 1+ a 1+ b 1+ c 1 1 1 Câu 5.
Cho x, y, z  0 thỏa mãn + + = 4 . Chứng minh rằng x y z 1 1 1 + + 1.
2x + y + z
x + 2 y + z
x + y + 2z Câu 6.
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 2  a b c  (   + +
 a + b + c) 1 1 1 . + +     .  b c a   a b c  Câu 7.
CM các bất đẳng thức sau: x y z t 1/ 1  + + +
 2 , với mọi x, y, z,t  0 . x + y + z y + z + t z + t + x t + x + y 2/ 2 x ( 2 + y) + x ( x + y ) 2 1 sin 2 sin cos
+1+ cos y  0 , với mọi x, y  R . LG: 1/  x x x  
 x + y + z +t x + y + z x + z   y y y  
x + y + z +t y + z +t y +t 
với mọi x, y, z, t  0 . z z z   
 x + y + z + t z + t + x x + z  t t t   
x + y + z +t t + x + y y +t
Cộng vế theo voế các bất đẳng thức trên ta có
x + y + z + t x y z t x + z y + t  + + +  + ,
x + y + z + t x + y + z y + z + t z + t + x t + x + y x + z y + t x y z t Hay 1  + + +  2 x + y + z y + z + t z + t + x t + x + y
2/ Xét tam thức bậc hai theo biến x ( xem y là tham số) f ( x) = 2 x ( 2 + y) + x ( y + y ) 2 1 sin 2 sin cos +1+ cos y 2 Ta có  = ( y + y) − ( 2 + y) ( 2 ' sin cos 1 sin . 1+ cos y) 2 2
= 2sin y cos sy −1− sin y cos y = − ( y y − )2 sin cos 1
 0 , với mọi y  R Và hệ số của a là ( 2
1+ sin y )  0 , với mọi y  R
Do đó tam thức f ( x) luôn cùng dấu vơi dấu hệ số a với mọi x  R Nghĩa là 2 x ( 2 + y ) + x ( y + y ) 2 1 sin 2 sin cos
+1+ cos y  0 , với mọi x  R Vậy 2 x ( 2 + y ) + x ( y + y ) 2 1 sin 2 sin cos
+1+ cos y  0 với mọi x, y  R . Câu 8.
Cho x, y, z  0 . Chứng minh bất đẳng thức: 4xy 3yz 4zx 8 + +  .
(x + z)( y + z)
( y + x)(z + x)
(z + y)(x + y) 3
Dấu đẳng thức khi nào xảy ra? LG:
Coi x + y + z = 1 (Giải thích: Do đồng bậc nên nếu x + y + z = s ta chỉ cần đặt x y z x = , y = , z = ). Khi đó: 1 1 1 s s s ( ) 4xy 3yz 4zx 8 1  ( + + 
1− x)(1− y) (1− y)(1− z) (1− z)(1− x) 3
 xy ( − z) + yz ( − x) + zx( − y) 8 4 1 3 1 4 1
 (1− x)(1− y)(1− z) 3
 12xy + 9yz +12zx − 33xyz  8(1− x − y − z + xy + yz + zx − xyz) 4 1 4
 4xy + yz + 4zx  25xyz  + +  25 (2) z x y  4 1 4 
Áp dụng BĐT Bunhia, ta có + + 
( z + x + y)  (2 +1+ 2)2 hay có ngay (2). Vậy BĐT đã  z x y  cho được chứng minh. z x y x + y + z 1
Dấu đẳng thức xảy ra khi = = =
= (khi coi x + y + z = 1). Tổng quát là 2 1 2 5 5
2x = y = z . Câu 9.
Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a + b + c = 3 . Chứng minh rằng: a b c 3 + +  2 2 2 1+ b 1+ c 1+ a 2 1 4 9
Câu 10. Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn x + y + z = 1 . Chứng minh rằng + +  36 . x y z 2
Câu 11. Chứng minh rằng nếu (a + c)(a + b + c)  0 thì (b − c)  4a (a + b + c) . + + + 1 1 1 1 (a b c abc)2 3
Câu 12. Chứng minh rằng + + +  . 3 a + b b + c c + a 2 abc
(a +b)(b + c)(c + a) LG: BĐT viết thành
( abc)2 (a+b+c+ abc c a b )2 3 3 2 2 2 + + +  đúng hiển nhiên 2 2 2 3 c (a + b) a (b + c) b (c + a) 2abc abc
(a +b)(b + c)(c + a) Câu 13. 1 1 1 a + b + c a. Cho a, , b c  0 và + +
= 3 .Chứng minh : abc  . 2 2 2 a b c 3 1 1 1 a + b + c b. Cho a, , b c  0 và + +
= 3 .Chứng minh : abc  . 3 3 3 a b c 3
Câu 14. Cho a, b, c là ba số thực không âm và thỏa mãn điều kiện 2 2 2
a + b + c = 1 . Tìm giá trị lớn nhất 3
của biểu thức: M = (a + b + c) − (a + b + c) + 6abc . LG: 2
Chứng minh được: (a + b + c)  ( 2 2 2
3 a + b + c ) = 3 3
Suy ra: a + b + c  3 và (a + b + c)  3(a + b + c) 3  + + 
M  (a + b + c) a b c 8 3 2 + 6abc  2 3 + 6     3  3 8 3 Vậy GTLN của M là 3 1
Giá trị này đạt được khi a = b = c = . 3
Câu 15. Cho x, y, z là ba số thực không âm thỏa 2 2 2
x + y + z = 3 . Tìm giá trị lớn nhất của 5
P = xy + yz + zx + x+ y + . z
Câu 16. Cho a, b, c không âm và thỏa mãn 2 2 2
a + b + c = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
M = (a + b + c)3 + (a + b + c) + 6abc . 3 3 3 3 3 3 a + b b + c c + a
Câu 17. Cho ba số thực dương a, b, c .Chứng minh: + +
 a + b + c 2 2 2 2 2 2 b + c c + a a + b LG: 3 3 3 a b c a + b + c Ta chứng minh: + +  (1) 2 2 2 2 2 2 a + b b + c c + a 2
Sử dụng bất đẳng thức AM_GM ta có : 2 2 2 2 2 2 ab ab bc bc ca ab    2 2 2 2 2 2 a + b 2ab b + c 2bc c + a 2ab 2 2 2 ab bc ca a + b + c Suy ra : + +  2 2 2 2 2 2 a + b b + c c + a 2 2 2 2 ab bc ca a + b + c Suy ra : a − + b − + c −  2 2 2 2 2 2 a + b b + c c + a 2
Vậy ta chứng minh được (1) 3 3 3 a b c a + b + c Ta chứng minh + +  (2) 2 2 2 2 2 2 b + c c + a a + b 2
(2) đối xứng với a,b, c .Không mất tính tổng quát ta giả sử a  b  c 2 2 2 a b c Suy ra :   2 2 2 2 2 2 b + c a + c a + b 2 2 2 a b c
Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev cho 2 dãy a  b  c và   2 2 2 2 2 2 b + c a + c a + b 3 3 3 2 2 2  a b c   a b c  ta có : 3 + +
  a + b + c  + +  2 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 2 2 2 2  b + c c + a a + b   b + c a + c a + b  2 2 2 a b c 3 Ta lại có + +
 ( bất đẳng thức nesbitt) 2 2 2 2 2 2 b + c a + c a + b 2
Vậy ta chứng minh được (2)
Công (1) và (2) vế theo vế ta có điều phải chứng minh 9
Câu 18. a. Cho các số thực dương a, b, c . Chứng minh rằng: (2 + a )(2 + b )  2(a +b)2 2 2 + 7 16   . 2 2 2
(2 + a )(2 + b )(2 + c )
b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = . 2
(3 + a + b + c) LG:
a) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: 2 2 2 2 2 2
14a +14b +16a b − 36ab +1  0  14(a − b) + (4ab − ) 1  0 đúng Đẳ 1
ng thức xảy ra khi a = b = 2
b) Đặt t = a + b , ta có: 2 2 16P (2t + 7)(c + 2)  2 9 (3 + t + c) 2 2  1   1  2 2 tc −
+ 3(t −1) + 6 c −     2 2 (2t + 7)(c + 2)  2   2  =1+  1 2 2 (3 + t + c) (3 + t + c) 9 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng
khi a = b = c = 16 2
Câu 19. Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn abc = 1.Chứng minh rằng: a) 2 2 2
a + b + c  a + b + c 1 1 1 b) + + 1 a + b +1 b + c +1 c + a +1 LG: a) 2 a +1  2a , 2 b +1  2b , 2 c +1  2c 2 a +1  2a , 2 b +1  2b , 2 c +1  2c