Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 11 Đại số tổ hợp (có lời giải)

Câu 1.
Cho tập hợp A gồm n phần tử (n≥4). Biết rằng số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số
tập con gồm 2 phần tử của A. Tìm K ∈ {1;2;…;n} sao cho số tập con gồm K phần tử của A là lớn nhất?
Hướng dẫn giải
Số tập con gồm 4 phần tử từ n phần tử của A : 4 C tập. n
Số tập con gồm 2 phần tử từ n phần tử của A : 2 C tập. n Theo đề bài, ta có: 4 2 C = 20C n n n! n!  = 20 (n − 4)!4! (n − 2)!2!
 (n − 3)(n − 2) = 240 n = 18(n)  n = 13 − (l)
Gọi K là số phần tử có số tập con lớn nhất trong A( 0  K  18, K  ). Khi đó : K K 1 + C  C 18 18  K K 1 −  C   C 18 18  18! 18! 
(18− K)!K! (18− K −1)!(K +1)!   18! 18!  
(18− K)!K! (18− K +1)!(K −1)!  1 1 
(18− K) (K +1)   1 1   K 19 − K 17 19   K  2 2  K = 9 Câu 2.
Cho k là số tự nhiên thỏa mãn Chứng minh rằng:
Hướng dẫn giải Ta có : 5 2011 2016 (1+ x) (1+ x) = (1+ x) Đặt 5 0 1 2 2 3 3 4 4 5 5
M = (1+ x) = C + C x + C x + C x + C x + C x . 5 5 5 5 5 5 2011 0 1 2 2 k k 2011 2011 N = (1+ x) = C
+ C x + C x +...+ C x +...+ C x . 2011 2011 2011 2011 2011 2016 0 1 2 2 k k 2016 2011 P = (1+ x) = C + C x + C x + ... + C x + ... + C x . 2016 2016 2016 2016 2016
mà P=M.N nên phần tử thứ k trong P có dạng: k k 0 k k 1 k 1 − k 1 − 5 5 k −5 k −5 C x = C C x + C xC x +...+ C x C x 2016 5 2011 5 2011 5 2011 0 k k 1 k 1 − k 5 k −5
= C C x + C C x +...+ k C C x . 5 2011 5 2011 5 2011
Chọn x=1 ta có điều phải chứng minh. Câu 3.
Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có chín chữ số đôi một khác nhau.Chọn ngẫu nhiên một số tự
nhiên thuộc vào tập A. Tính xác suất để chọn được một số thuộc A và số đó chia hết cho 3.
Hướng dẫn giải
Gọi phần tử của A có dạng : a a a a a a a a a . 1 2 3 4 5 6 7 8 9
a  0 nên có 9 cách chọn. 1
Chọn 8 chữ số còn lại và xếp vào vị trí từ a → a : 8 A cách chọn. 2 9 9 Vậy n(A)= 8 9 A . 9
Giả sử gọi B = 0;1; 2;...; 
9 có tổng 10 phần tử là 45 3 . Nên nếu muốn tạo thành một số có 9
chữ số vả chia hết cho 3, ta cần loại đi phần tử là bội của 3. Như vậy, ta sẽ có các tập :
B \ {0}, B \ {3}, B \ {6}, B \ {9}
TH1: Chọn tập B \ {0} để tạo số :
Ta còn 9 chữ số để xếp vào 9 vị trí a → a : 9! cách. 1 9
TH2: Chọn 1 trong ba tập : B \ {3}, B \ {6}, B \ {9}: 3 cách.
a  0 : có 8 cách ( vì đã loại đi phần tử là bội của 3). 1
Còn 8 chữ số xếp vào 8 vị trí còn lại : 8! cách.
→ Số cách chọn phần tử thuộc A và chia hết cho 3 là: 9!+ 3.8.8!. 9!+ 3.8.8! 11
Vậy xác suất cần tỉm là : = . 8 9A 27 9 Câu 4.
Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có tám chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số tự
nhiên thuộc vào tập A. Tính xác suất để chọn được một số thuộc A và số đó chia hết cho 9.
Hướng dẫn giải
Gọi phần tử của A có dạng : a a a a a a a a . 1 2 3 4 5 6 7 8
a  0 nên có 9 cách chọn. 1
Chọn 7 chữ số còn lại và xếp vào vị trí từ a → a : 7 A cách chọn. 2 8 9 Vậy n(A)= 7 9 A . 9
Giả sử gọi B = 0;1; 2;...; 
9 có tổng 10 phần tử là 45 9 . Nên nếu muốn tạo thành một số có 9
chữ số vả chia hết cho 3, ta cần loại đi 2 phần tử có tổng là bội của 9. Như vậy, ta sẽ có các tập
: B \ {0;9}, B \ {1;8}, B \ {2; 7}, B \ {3; 6}, B \ {4;5}
TH1: Chọn tập B \ {0;3} để tạo số :
Ta còn 8 chữ số để xếp vào 8 vị trí a → a : 8! cách. 1 8
TH2: Chọn 1 trong bốn tập : B \ {1;8}, B \ {2; 7}, B \ {3; 6}, B \ {4;5} : 4 cách.
a  0 : có 7 cách ( vì đã loại đi 2 phần tử có tổng là bội của 9). 1
Còn 7 chữ số xếp vào 7 vị trí còn lại : 7! cách.
→ Số cách chọn phần tử thuộc A và chia hết cho 3 là: 8!+ 4.7.7!. 8!+ 4.7.7! 1
Vậy xác suất cần tỉm là : = . 7 9A 9 9 Câu 5.
Người ta dùng 18 cuốn sách bao gồm 7 cuốn sách Toán, 6 cuốn sách Lý và 5 cuốn sách Hóa
(các cuốn sách cùng loại thì giống nhau) để làm phần thưởng cho 9 học sinh
A,B,C,D,E,F,G,H,I, mỗi học sinh nhận được 2 cuốn sách khác thể loại (không tính thứ tự các
cuốn sách). Tính xác suất để hai học sinh A và B nhận được phần thưởng giống nhau.
Hướng dẫn giải
Để một học sinh nhận được 2 quyển sách thể loại khác nhau, ta chia phần thưởng thảnh ba loại
: ( Toán-Lý) ; ( Toán- Hóa) ; ( Lý- Hóa).
Gọi x,y,z (x, y, z  ) lần lượt là số học sinh nhận được bộ giải thưởng
( Toán-Lý) ; ( Toán- Hóa) ; ( Lý- Hóa). Khi đó, ta có hệ sau : x + y = 7 x = 4  
x + z = 6  y = 3   y + z = 5 z = 2  
Số cách phát thưởng ngẫu nhiên cho 9 học sinh :
Chọn 4 bạn bất kì trong 9 bạn để nhận bộ ( Toán-Lý) : 4 C cách. 9
Chọn 3 bạn bất kì trong 5 bạn còn lại để nhận bộ (Toán-Hóa) : 3 C cách. 5
2 bạn còn lại chỉ có 1 cách phát thưởng là bộ ( Lý-Hóa). Vậy 4 3
n() = C .C . 9 5
Gọi S là biến cố “ hai học sinh A và B có phần thưởng giống nhau”
TH1 : A và B cùng nhận bộ ( Toán-Lý)
Vì A và B đã nhận quà nên bộ ( Toán-Lý) còn lại 2 phần. Ta chọn 2 bạn trong 7 bạn để nhận : 2 C cách. 7
Chọn 3 bạn trong 5 bạn còn lại để nhận bộ ( Toán-Hóa) : 3 C cách. 5
2 bạn còn lại chỉ có 1 cách phát thưởng là bộ ( Lý-Hóa). Vậy có 2 3
C .C cách để A và B củng nhận bộ ( Toán-Lý). 7 5
TH2: A và B cùng nhận bộ ( Toán-Hóa)
Lập luận tượng tự, ta được : 1 4 C .C cách. 7 6
TH3 : A và B cùng nhận bộ ( Lý-Hóa) có 4 C cách. 7 Vậy có 2 3 C .C + 1 4 C .C + 4 C 7 5 7 6 7 2 3 1 4 4
C C + C C + C 5 7 5 7 6 7 P(S) = = . 4 3 C C 18 9 5 Câu 6.
Cho tập hợp A={1,2,3,4,.,20}. Tính xác suất để ba số được chọn không có 2 số tự nhiên liên tiếp.
Hướng dẫn giải
Số cách chọn ba số đôi một khác nhau từ A : 3 n() = C . 20
TH1 : Ta chọn số có 3 chữ số tự nhiên liên tiếp :
Chọn phần tử bất kì trong A \ {19; 20} : 18 cách chọn.
Với mỗi phần tử được chọn, ta lấy hai phần tử liền kề bên phải : 1 cách chọn.
Vậy có 18 cách chọn 3 phần tử liên tiếp nhau.
TH2 : Chọn ba số có đúng hai chữ số liên tiếp :
Chọn 1 trong hai phần tử {1;19}: 2 cách.
Với mỗi cách chọn phần tử trên, ta có 1 cách chọn phần tử liền sau đó.
Chọn phần tử thứ ba không liên tiếp với 2 phần tử đã chọn : 17 cách ( vì phải bỏ đi phần tử liển sau phần tử thứ 2 ).
Chọn 1 phần tử trong tập {2;3;4;.;18} : 17 cách.
Với mỗi cách chọn trên, ta có 1 cách chọn phần tử thứ hai liền sau nó.
Để chọn phần tử thứ 3 không liên tiếp, ta cần bỏ đi phần tử liền trước phần tử 1 và liền sau phần tử 2 : 16 cách.
➔ Vậy có 17.2+17.6 cách chọn 3 phần tử có đúng hai chữ số liên tiếp. 3
C −18 −17.2 −17.16 68 20 P = = 3 C 95 20 Câu 7.
Có 1650 học sinh được sắp xếp thành 22 hàng và 75 cột. Biết rằng với hai cột bất kì, số cặp học
sinh cùng hàng và cùng giới tính không vượt quá 11. Chứng minh rằng số học sinh nam không vượt quá 920 người
Hướng dẫn giải
Gọi a là số học sinh nam hàng thứ i. Vì có 75 cột nên số học sinh nữ của hàng thứ i là 75 − a . i i
Số cặp học sinh cùng hàng và củng giới tính :
Chọn 2 nam trong số nam cùng hàng : 2 C cách. i a
Chọn 2 nữ trong số nữ cùng hàng : 2 C75− cách. i a
Chọn 2 bạn học sinh bất kì của một hàng : 2 C . 75
Theo đề bài, ta có : 22 ( 2 2 C + C  C a −a i i ) 2 11 75 75 i 1 = 22  ( 2
a − 75a  − i i ) 30525 i 1 = 2 22  (2a − 75  i ) 1650 i 1 = Theo Cauchy-Swatch : 2 22 22   2
(2a −75)  22(2a −75) 36300  i  i  i 1=  i 1 = 22 191+1650  a   921 i i= 2 1 Câu 8.
Trong một giải cờ vua gồm nam và nữ vận động viên. Mỗi vận động viên phải chơi hai ván với
mỗi động viên còn lại. Cho biết có 2 vận động viên nữ và cho biết số ván các vận động viên
chơi với nhau hơn số ván họ chơi với hai vận động viên nữ là 66. Hỏi có bao nhiêu vận động
viên tham gia giải và số ván tất cả các vận động viên đã chơi?
Hướng dẫn giải
Gọi n là số vận động viên nam tham gia ( n  2, n  ).
Chọn 2 trong số n VĐV nam để đấu 2 ván với nhau : 2 2C cách. n
Số ván VĐV nam đấu với VĐV nữ là : 4n.
Theo đề bài, ta có : 2 2C − 4n = 66 n 2n!  − 4n = 66 (n − 2)!2! 
(n −1)n − 4n = 66 n = 11(n) → n = 6( − l)
Vậy số VĐV tham gia giải là : 11+2=13 người.
Số ván các vận động viên chơi với nhau là : 2
2C + 4.11+ 2 = 156 ván. 11