Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 11 Hình học không gian (có lời giải)

CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Bài 1. Xét các hình chóp – giác
( là số tự nhiên tùy ý lớn hơn ) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: a/ Đáy
có tất cả các cạnh đều bằng . b/
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất độ dài đường cao của hình chóp nêu trên. Hướng dẫn giải
Chứng minh nếu hình chóp
tồn tại thì khi đó hình chóp là đều:
Chứng minh rằng các cạnh bên bằng nhau Đặt : ; ; ..... ; .
Dùng định lý cosin trong các tam giác ; ; ...; ta có:
....................................................... . Đặt , ta có hệ: với Trên đồng biến. Do đó: thì vô lý. Thật vậy: nếu . Ta có ( vô lý) Tương tự nếu cũng suy ra điều vô lý: . Vậy . Do ta được . Từ đó ta được: . Chứng minh đáy là đa giác đều. Từ suy ra hình vuông góc của lên
đáy cách đều các đỉnh của đáy. Đa giác
có các cạnh bằng nhau và nội tiếp trong một đường tròn nên là đa giác đều. a) Tìm lớn nhất, nhỏ nhất. b) Chứng minh
.Ta có các mặt bên của hònh chóp là các tam giác đều cạnh . Ngoài ra: ; ; ...; . Do đó: .  Tính
và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của : Xét tam giác vuông : . . ; ; . 
Do đó giá trị lớn nhất của là
, giá trị nhỏ nhất của là .
Bài 2. Cho hình lập phương cạnh .Gọi
lần lượt là trung điểm của các cạnh và . là tâm của hình vuông .
là hai điểm lần lượt ở trên hai đường thẳng và sao cho vuông góc với và cắt .Tính độ dài đoạn theo . Hướng dẫn giải D’ C’ E H D 1 C G A’ B’ M H I1 I E1 G1 N1 D H1 C M E1 I G 1 N1 1 A B A B Xác định đoạn Gọi
là hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng . Do (gt) và K suy ra , suy ra tại . Mà theo giả thiết cắt tại suy ra
mà là trung điểm của đoạn nên phải là trung điểm của .
Từ đó suy ra cách dựng hai điểm . Tính độ dài Đặt . Xét tam giác vuông , ta có: . Xét tam giác vuông , ta có: . .
(Cách khác: Gọi là trung điểm của , suy ra được ở trên , suy ra .) .
Cách khác: Dùng phương pháp tọa độ trong không gian....
Bài 3. Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy
,các cạnh bên nghiên với đáy một góc
. Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình chóp . Hướng dẫn giải
Chiều cao của hình chóp: Thể tích của hình chóp:
Trung đoạn của hình chóp
Diện tích xung quanh của hình chóp:
Bài 4. Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy , ,các cạnh bên nghiên với đáy một góc .
a) Tính thể tích hình cầu nội tiếp hình chóp .
b) Tính diện tích của hình tròn thiết diện của hình cầu
cắt bởi mặt phẳng đi qua các tiếp điểm của mặt cầu
với các mặt bên của hình chóp . S Hướng dẫn giải
(bán kính mặt cầu nội tiếp) K I A 720 D H B M C Thể tích hình chóp :
Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng đi qua các tiếp điểm của với các mặt bên của hình chóp: S E K
Bán kính đường tròn giao tuyến: I
Diện tích hình tròn giao tuyến: H M
Bài 5. Một thùng hình trụ có đường kính đáy ( bên trong) bằng đựng nước cao lên
so với mặt trong của đáy. Một viên bi hình cầu được thả vào trong thùng thì mực nước
dâng lên sát với điểm cao nhất của viên bi (nghĩa là mặt nước là tiếp diện của mặt cầu). Hãy tính bán kính của viên bi. Hướng dẫn giải Ta có phương trình : Với
lần lượt là bán kính đáy của hình trụ, hình cầu và chiều cao ban đầu của cột nước.
Bấm máy giải phương trình: Ta có:
B. Xét hai độ dài khác nhau . Tìm điều kiện của
để tồn tại tứ diện
có một cạnh bằng và các
cạnh còn lại đều bằng .Với tứ diện
này, hãy xác định mặt phẳng
sao cho thiết diện của mặt phẳng và tứ diện là một hình vuông
.Tính diện tích của hình vuông theo và . Điều kiện độ dài : + Giả sử tứ diện tồn tại. Gọi
là cạnh bằng , các cạnh đều cùng bằng .
Gọi là trung điểm cạnh .Tam giác là tam giác cân: . Từ Suy ra: