Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 11 Hình học phẳng (có lời giải)

Loại 1: Chứng minh tính chất: thẳng hàng, đồng quy, song song, vuông góc. Câu 1.
[Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định- năm 2015- Tỉnh Nam Định]
Cho hai đường tròn (O và (O cắt nhau tại ,
A B . AX , AY lần lượt là các đường kính 2 ) 1 )
của (O và (O . Gọi O là trung điểm của XY ; I là điểm thuộc đường phân giác của góc 2 ) 1 )
XAY sao cho OI không vuông góc với XY và I không thuộc hai đường tròn. Đường thẳng
đi qua A vuông góc với AI lần lượt cắt các đường tròn (O , (O tại các điểm E, F khác 2 ) 1 )
A . IX cắt đường tròn (O tại điểm thứ hai K , IY cắt đường tròn (O tại điểm thứ hai L 2 ) 1 ) .
1. Gọi C là giao điểm của EF với IX . Chứng minh rằng OE là tiếp tuyến của đường tròn (CEK ) .
2. Chứng minh rằng 3 đường thẳng EK , FL, OI đồng quy. Lời giải A F E C D O1 O2 O X B Y K L I S
1. Không mất tính tổng quát giả sử I là điểm thuộc đường phân giác trong của góc XAY .
Ta có tứ giác AO OO là hình bình hành nên suy ra OO || HY 1 2 1 Lại có ( E , A EO 1 ) = ( AO , AE 1
) = (AF, AO2) (mod  )  EO || HY 1
Do đó O, O , E thẳng hàng. Chứng minh tương tự ta có O, O , F thẳng hàng Mặt khác 1 2 ( 
CE, CK ) = ( AC, AK ) + ( AK, CK ) = ( AC, AK ) + 2 
= + 1 (O E, O K ) = 1 1 (EO , EK 1 ) (mod  ) 2 2
Do đó OE là tiếp tuyến của đường tròn (CEK ) = = 0 ,
A I , K , L 2. Ta có AKI ALI 90 nên 4 điểm
cùng thuộc đường tròn đường kính AI .
Mà EF ⊥ AI nên suy ra EF là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI . (AE, AK ) = ( , LA LK ) (mod  ) Do đó (1) Mặt khác ( 
KE, KA) = ( XE, XA)= ( XE, EA) + ( AE, AX ) =
+ ( AE, AX ) (mod  ) 2 
= + ( AY, AF ) = ( AF, FY ) + ( AY, AF ) = ( AY,FY )= (L , A LF )(mod  ) 2 (2) Từ (1) và (2) suy ra
(EF, EK ) = (E ,
A AK ) + ( AK, EK ) = ( ,
LA LK ) + (LF, LA) = (LF, LK ) (mod  )
E, F , L, K Vậy 4 điểm
cùng thuộc một đường tròn. EK
Gọi S là giao điểm của và FL Vì 4 điể
E, F , L, K m
cùng thuộc một đường tròn nên ta có
SE.SK = SF.SL  P = P S /(CEK ) S /(DFL) (3)
IC.IK = I .
D IL = IA2  P = P I /(CEK ) I /(DFL) Ta có (4)
Gọi D là giao điểm của EF với IY (DFL)
Chứng minh tương tự câu 1) ta có OF là tiếp tuyến của đường tròn E, F O
Mặt khác tứ giác EFYX là hình thang vuông tại và
là trung điểm của XY nên suy 2 2 = P
= OE = OF = P ra OE
OF . Do đó O/(CEK) O/( DFL) (5) S, O, I Từ (3), (4), (5) suy ra
cùng thuộc trục đẳng phương của hai đường tròn (CEK ), (DFL) S, O, I
EK , FL, OI nên
thẳng hàng. Vậy 3 đường thẳng đồng quy tại S.
*) Chú ý: Nếu HS không sử dụng góc định hướng thì phải xét các trường hợp vị trí của điểm I (
I nằm ngoài các đoạn XK , YL và I nằm trong các đoạn XK , YL ) Câu 2.
[Trường THPT Lương Văn Tụy- Ninh Bình- Vòng 2]
Cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H . M , N là trung điểm của AH , BC . Các đường
phân giác của góc ABH , ACH cắt nhau tại P . Chứng minh:
a, Góc BPC là góc vuông
b, M , N , P thẳng hàng. Câu 3.
[SỞ Bình Định- năm học 2012-2013]
Trong tam giác ABC , M là chân đường vuông góc hạ từ A xuống đường phân giác trong của góc BC .
A N , L lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ các đỉnh ,
A C xuống đường phân
giác trong của góc ABC . Gọi F là giao điểm của các đường thẳng MN và AC , E là giao
điểm của các đường thẳng BF và CL , D là giao điểm của các đường thẳng BL và AC . Chứng minh rằng DE MN . Câu 4.
[Trường THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ - năm 2015- Tỉnh Hòa Bình]
Cho (O) và hai đường tròn ( 1 O ),( 2
O ) tiếp xúc ngoài với nhau và tiếp xúc trong với (O) . Gọi
I là tiếp điểm của ( 1 O ) và ( 2
O ) ; M1, M 2 là tiếp điểm của (O) với ( 1 O ),( 2 O ) . Tiếp tuyến
chung tại I của ( 1 O ),( 2
O ) cắt (O) tại A. AM1 cắt ( 1 O ) tại 1
N ; AM 2 cắt ( 2 O ) tại N2 .
Chứng minh rằng OA ⊥ 1 N N2 . 1
N N2 cắt (O) ở B,C ; AI cắt (O) tại A' . Chứng minh rằng I là tâm đường tròn nội tiếp của
tam giác A ' BC . Chứng minh rằng 1 N N2, 1 O 2
O , M1M2 đồng quy. Lời giải A B N1 H N2 C O D O2 O1 I M2 M1 A' K
a) A thuộc trục đẳng phương của ( = 1 O ) và ( 2 O ) nên 1 AN .AM1 AN2.AM2 suy ra 1 N N2M2M1
là tứ giác nội tiếp dẫn đến Sđ BM + đ AC đ BM + đ S AB 1 S S 1 A =  = 1 N N2 AM 2M1 2 2
 AC = AB  OA ⊥ 1 N N2
b) Gọi H , K là giao điểm của AO với BC, (O) .
Tam giác ABK vuông tại B có BH là đường cao 2
 AB = AH.AK =  1 90o AM K H 1
N M1K là tứ giác nội tiếp 2 2
 AB = AH.AK = A = = 1 N .AM1 P AI A/(O1)
 AB = AC = AI
Suy ra A là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC 1 1 1 Dẫn đến IBC = IAC = A' AC = A' BC 2 2 2
Suy ra BI là phân giác của A ' BC
Rõ ràng A ' I là phân giác của BA 'C (do AB = AC )
Vì thế I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác A ' BC c)Giả sử 1 O 2 O cắt 1
N N2 tại D , gọi R, 1 R , 2
R là bán kính của (O) , ( 1 O ),( 2 O ) . DO R M O R
Rõ ràng D là tâm vị tự ngoài của ( 1 1  = = 1 O ) và ( 2 O ) ,lại có 2 2 2 D 2 O 2 R M1 1 O 1 R DO M O M O Suy ra 1 2 2 1 . . =1 D 2 O M2O M1 1 O
Dẫn đến D, M1, M2 thẳng hàng (Menelauyt đảo) Vậy 1 N N2, 1 O 2
O , M1M2 đồng quy. Câu 5.
[ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XI- CHUYÊN HẠ LONG]
Cho hai đường tròn (O; R) và (O ; R) với R  R ' cắt nhau tại hai điểm phân biệt , A B . Một
đường thẳng d d tiếp xúc với đường tròn (O) và (O) lần lượt tại P và P. Gọi Q và Q lần
lượt là chân đường vuông góc hạ từ P và P xuống OO .Các đường thẳng AQ và AQ cắt các
đường tròn (O) tại M và M  .Chứng minh rằng M , M , B thẳng hàng.
Hướng dẫn giải P' I P A O' Q' J O Q S M' B M