Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 11 Phương trình, Bất phương trình, Hệ phương trình (có lời giải)

I. PHƯƠNG TRÌNH 1. Không có tham số
Dạng 1: Biến đổi tương đương Câu 1. Giải phương trình 3 4 2 5 5 2 3 4 5 5
x + x + 2 x + x + 2 =
x + 3x − 2 + 2 x + 3x Lời giải
+Biến đổi phương trình tương đương : 2
x − 3x + 2 = 0 x =1   x = 2 Câu 2. Giải phương trình 2
4 x + 1 + 2 2x + 3 = ( x − 1)( x − 2). Lời giải
Điều kiện: x  −1.
Nhận thấy x = −1 là một nghiệm của phương trình.
Xét x  −1. Khi đó phương trình đã cho tương đương với ( x + − ) + ( x + − ) 3 2 4 1 2 2 2 3
3 = x − x − 2x − 12 4( x − 3) 4( x − 3) 2  +
= (x − 3)(x + 2x + 4) x + 1 + 2 2x + 3 + 3    ( x − 3) 4 4 2 + − (x + 1) − 3 = 0. 1   ( )  x + 1 + 2 2x + 3 + 3  4 4 Vì x  −1 nên
x + 1  0 và 2x + 3  1. Suy ra +  3, vì vậy x + 1 + 2 2x + 3 + 3 4 4 2 +
− (x + 1) − 3  0. x + 1 + 2 2x + 3 + 3 Do đó phương trình 1
( )  x − 3 = 0  x = 3.
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = −1 hoặc x = 3. Câu 3.
[Đề thi hsg Bắc Sơn, Lạng Sơn] Giải phương trình sau : 3 3 3 x + 1 + x −1 = 5x Lời giải 3 3 3 3 2 x + 1 + x − 1 = 5x  2x + 3 x − 1 (3 3 x + 1 + x − 1) = 5x 3 5 2 3 3
 x − 1 5x = x  4x − 5x = 0  x = 0;x =  . 2 5
Thö l¹i ta thÊy ph­¬ng tr×nh cã 3 nghiÖm: x = 0; x =  . 2 Câu 4. Giải phương trình: 2
x + x + = ( x + ) 2 6 1 2 1 x + 2x + 3 ( )
1 ,với x  R . Hướng dẫn giải. ( ) 2
 x + x + − ( x + ) 2 1 2 3 2 1
x + 2x + 3 + 4x − 2 = 0
 ( 2x + x + − x + )( 2 2 3 2 1
x + 2x + 3 − 2) = 0 2
 x + 2x + 3 = 2x −1   2
 x + 2x +3 = 2  1 x  3 + 15 2
x + 2x + 3 = 2x −1   2  x = 3 2 3
 x − 6x − 2 = 0 Câu 5. Giải phương trình 2 3x − 2 −
x +1 = 2x − x − 3 . Hướng dẫn giải. 2x − 3 2
3x − 2 − x +1 = 2x − x − 3  = (2x − 3)(x+1) 3x − 2 + x +1
Tìm được nghiệm duy nhất x=2/3 Câu 6.
Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2 2
x − 3y + 2xy − 2x −10y + 4 = 0 . Hướng dẫn giải Ta có: 2 2
x − 3y + 2xy − 2x −10y + 4 = 0
 x + 2x (y − ) 1 + (y − )2 2 1 − ( 2
4y + 8y + 4) == 7
 (x + y − )2 −( y + )2 1 2 2 = 7 −  (3y + x + )
1 (y − x + 3) = 7
Vì 7 là số nguyên tố nên ta có các trường hợp sau: 3  y + y +1 = 7 3  y + y +1 = 7 − 3  y + y +1 = 1 3  y + y +1 = 1 −  ;  ;  ; 
 y − x + 3 = 1  y − x + 3 = 1 −
 y − x + 3 = 7  y − x + 3 = 7 −
Giải ba hệ phương trình trên ta được: ( ; x y) (  3  ; ) 1 ,(1; 3 − ),(7; 3 − ). Câu 7.
(THPT Quảng Xương 2 – Thanh Hóa, 2009-2010) Giải phương trình: 2 2
=1+ 5 + 6x − x x −1 + 5 − x Hướng dẫn giải 2 − Đặ 2 t 4 t t =
x −1 + 5 − x ta được =1+
 (t − 2)( 2t + 2t + 2) = 0 t 2
Giải ta được t = 2 suy ra x = 1, x = 5 Dạng 2: Đặt ẩn phụ Bài 1.
Giải phương trình trên tập số thực: 2
x + x + 9 = 2x − 4 + x +1 (1). Hướng dẫn giải Điều kiện: x  −1.
x + x + = x − + x +  ( x − )2 2 9 2 4 1 2 + 5( x + )
1 = 2( x − 2) + x +1
x = −1 không là nghiệm của phương trình. 2  x − 2  x − 2
x  −1: pt(1)    + 5 = 2 +1  x +1  x + . 1 − Đặ x 2 t t = x + . 1 2 Phương trình trở thành: 2 t + 5 = 2t +1  t = . 3  +  Khi đó ta có: 20 4 7 2 x +1 = 3x − 20 + 4 7 6  x = . Vậy S =   . 9  9   Bài 2.
Giải phương trình sau trên tập số thực: 2
x + x + = ( x + ) 2 2 3 7 5 2x +1 . Hướng dẫn giải Phương trình (1) 2
 x + − (x + ) 2 2 1 5
2x +1 + 3x + 6 = 0 . Đặt 2 t =
2x +1 . Ta có phương trình: 2
t − ( x + 5)t + 3x + 6 = 0 (*).  = −  ( x + ) 2  − 
( x + ) = (x − )2 5 4 3 6 1 . t = 3 Phương trình (*)   t = x + 2 x + 2  0 2 t = 3 
2x +1 = 3  x = 2  2 t = x + 2 
2x +1 = x + 2   2 x − 4x − 3 = 0 x  2 −     x = 2  7 . x = 2  7 Vậy S = ( 2  ;2  7 ) . Bài 3.
Giải phương trình sau trên tập số thực: ( 2 x − x − ) 2 x + x + + ( 2 2 5 2 2x + x + ) 1 x + 3 = 0 .
Hướng dẫn giải  2  7 a = x + x + 2   Đặ a t  . Điều kiện:  . 2 b  = x + 3 b   0 Ta có: 2 2 2 2 2 2
2x − x − 5 = 2a − 3b ; 2x + x +1 = 2a − b . 3 2      
Thay vào phương trình ta đượ b b b c: ( 2 2
a − b ) a + ( 2 2 2 3
2a − b )b = 0  + 3 − 2 − 2 = 0        a   a   a  b =1  a   2  b  b + 4 + 2 = 0    a  a 2  b  b b +) + 4 + 2 = 0  
: phương trình vô nghiệm do  0.  a  a a b x =1 2
+) =1  b = a  x + 3 = x + x + 2  .  a x = 1 −
Vậy x = 1; x = −1 là nghiệm phương trình. Bài 4. Giải phương trình sau 3 2 2 3 3 2
− x +10x −17x + 8 = 2x 5x − x Lời giải
Nhận xét rằng x = 0 không là nghiệm của phương trình đã cho. 1
Suy ra x  0 . Chia cả hai vế của phương trình cho 3
x rồi đặt t =
, t  0 , ta có phương trình x 3 2 3 2 3
8t −17t +10t − 2 = 2 5t −1  ( t − ) + ( t − ) = ( 2 t − ) 3 2 2 1 2 2 1 5 1 + 2 5t −1 (*)
Xét hàm số f (t ) 3
= t + 2t, t   .
Ta có hàm số f (t ) liên tục trên và f (t ) 2 '
= 3t + 2  0, t  .
Suy ra hàm số f (t ) luôn đồng biến trên khoảng (− ;  +) .
Khi đó phương trình đã cho có dạng f ( t − ) = f ( 3 2t − ) 3 2 2 1 5
1  2t −1 = 5t −1 17  97 3 2
 8t −17t + 6t = 0  t = (do t  0 ) 16 17 − 97 17 + 97
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = và x = . 1 12 2 12 Bài 5.
Giải phương trình sau : ( x − ) 2 2 4 1
x +1 = 2x + 2x +1 Lời giải Đặt 2 2 2 2 y =
x +1  1  y = x +1  2 y + (1− 4x) y + 2x −1 = 0 .