Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 11 Phương trình lượng giác (có lời giải)

x ( + x) x 2 2 3 sin . 1 cos − 4cos . x sin − 3 Bài 1. Giải phương trình: 2 = 0 2 sin x −1 Hướng dẫn giải   x  + k  Điề 1 6 u kiện: sin x    , k, l  (*). 2 5 x  + l  6
Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương: x ( + x) x 2 2 3 sin . 1 cos − 4cos . x sin −3 = 0 2
 2 3 sin x + 2 3 sin .
x cos x − 2 cos x (1− cos x) − 3 = 0  ( x − x) − ( 2 2 2 3 sin cos 3sin x − 2 3 sin .
x cos x + cos x) = 0 (  − =  x − x)( x − x − ) 3 sin x cos x 0 3 sin cos 3 sin cos 2 = 0  
 3 sin x − cos x = 2 
TH1: 3 sin x − cos x = 0  cot x = 3  x = + k ,k  6       
TH2: 3 sin x − cos x = 2  2 sin x cos − cos xsin = 2  sin x − =1      6 6   6    2
 x − = + k2  x = + k2 ,k  6 2 3
Đối chiếu điều kiện ta thấy phương trình đã cho có 2 họ nghiệm 7 2 x = + k2 , x =
+ k2 , k  . 6 3 Bài 2.
Tìm tất cả các nghiệm x(2009; 2011) của phương trình : cos x − sin x − cos 2x 1+ sin 2x = 0 +    Bài 3. 1 sin 2a Chứng minh rằng: 2 = cot a − .   1− sin 2a  4  Bài 4. x y 1
Cho: sin x + sin y = 2sin ( x + y) , với x + y  k , k  . Chứng minh rằng: tan + tan = . 2 2 3 − Bài 5. x Giải phương trình : 3 1 cot 3 tan 2x − − 2 + 2cos2x = 0 cos2x 1+ cot x Bài 6. A B B A
Cho tam giác ABC với các kí hiệu thông thường, biết: 3 3 sin .cos = sin .cos . Chứng minh 2 2 2 2
rằng tam giác ABC cân. Bài 7.
Giải phương trình sau: 2(sin x + 3 cos x) = 3cos2x − sin 2 . x Bài 8.
Tìm a để bất phương trình đúng với mọi x: 2 3sin x + 2sin . x cosx + o
c s2x + a  3 Bài 9.
Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a , b , c , độ dài ba đường phân giác trong tương ứng với
các góc A , B , C lần lượt là l , l , l . a b c l + l l + l l + l
1. Chứng minh rằng: a b b c c a + +  3 3. c a b C
2. Nhận dạng tam giác, biết: a + b = tan (a tan a+btanb). 2 2
ax + a = y + cos x
Bài 10. Định a để hệ:  có nghiệm duy nhất. 2 2
sin x + y =1 2 + Bài 11. 2 cos x sin 2x
Chứng minh rằng nếu 2 x  2x thì: 16 2 sin . x o c s2x
Bài 12. Tìm m để hệ phương trình sau đây có nghiệm và hãy giải hệ phương trình tương ứng với những 4 2 s  inx. o
c s2 y = m − 2m + 2
giá trị tìm được của m:  . 3 cos .x o
c s2 y = m +1
Bài 13. Cho hai phương trình sau: 7 3
2 sin x = (1+ sin  a).sin x + . a sin x (1) 2 6 2 3
(a −1)(1+ cos x) + 2sin x = 2sin x + 2(a −1) (2)
a. Giải các phương trình trên với a = 2 .
b. Tìm tất cả các giá trị của a để hai phương trình (1) và (2) tương đương.  3 3 s
 in x + sin y + sin z = 
Bài 14. Giải hệ phương trình: 2  . 3
cos x + cos y + cos z =  2
Bài 15. Tìm tất cả các giá trị x 0;2  sao cho: 2cos x  1+ sin 2x − 1− sin 2x  2.
Bài 16. Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất để phương trình sau có nghiệm: 3 x  x  2 cos  (a x) 2cos   − −
(a − x) + cos .cos + + 2 = 0.   2a  2a 3  Bài 17. 3 2
Cho tam giác ABC có tan A + tan C = 2 tan B . Chứng minh rằng: cos A + cos C  . 4 + Bài 18. BC AB BC
Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh thoả mãn hệ thức: = . Tính tổng số đo AB − BC AC góc: 3A + . B 
Bài 19. Xét các tam giác ABC thoả mãn ràng buộc: Max , A B,C 
. Tìm giá trị lớn của biểu thức: 2 2 3
P = sin A + sin B + sin C.
Bài 20. Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2
(2m +1)(sin x − cos x) − (sin x + cos x) + 2m + 2m + 2 = 0
Bài 21. Chứng minh rằng với mọi x  ta luôn có sin x + cos x  1.
Bài 22. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm
m ( sin x + cos x + )
1 = sin 2x + sin x + cos x + 2
Bài 23. Giải phương trình: cos 2x + cos3x − sin x − cos 4x = sin 6x . + + + Bài 24. 2x 1 2x 1 2x 1
Tìm tổng nghịch đảo các nghiệm của phương trình 2 sin + sin − 3cos = 0 thỏa x 3x 3x 1
mãn điều kiện x  10   Bài 25. 5
Tìm m để phương trình os mc x + cos 3x − os c
2x = 1 có đúng 8 nghiệm trên khoảng (− ; ) 2 2
Bài 26. Trong tất cả các tam giác ABC cho trước, tìm tam giác có P = o c s2A + o c s2B − o
c s2C lớn nhất.
Bài 27. Giải phương trình : 2 8cos 4 .
x cos 2x + 1 − cos3x +1 = 0 Bài 28. sin A sin B sin C
Tính số đo các góc trong tam giác ABC , biết = = 1 3 2
Bài 29. Giải phương trình 2 x( + x) 2 2cos 1 cot − 2sin x +1 = 0
Bài 30. Tam giác ABC thỏa mãn đẳng thức cos 2A + 2 (cos2B + cos2C) + 2 = 0 Bài 31. Tìm số tự nhiên a bé nhất để phương trình sau có nghiệm : 3x  x  
cos2  (a − x) − 2cos (a − x) + cos .cos +  + 2 = ; 0 2a  2a 3  Bài 32. 3 2
Cho tam giác ABC có : tanA+tanC=2tanB.CMR : cos A + cosC  ; 4
Bài 33. Giải phương trình: 1− tan .
x tan 2x = cos 3x
Bài 34. Trong tam giác ABC biết số đo ba góc ,
A B, C lập thành cấp số cộng với A  B  C và thỏa hệ 1+ 3
thức cos A + cos B + cos C = . Tính số đo các góc , A B, C . 2 5x 9x 2    Bài 35. 2
Giải phương trình c 3
os x + sin7x = 2sin + −   2cos  4 2  2    
Bài 36. Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt trong khoảng − ;  :  2 2  x x 2  4 4  4cos x +16m sin + cos −14m −1 =   0  4 4 
Bài 37. Giải phương trình : cosx.cos2x = 1/4 Hướng dẫn giải
x=kπ không phải là nghiệm.nhân thêm sinx vào hai vế để đưa về pt sin4x=sinx
Suy ra x=k2π/3 ; x=π/5 +k2π/5
vì x≠kπ nên pt có các nghiệm x=±2π/3 +k2π; x=±π/5 +k2π; x=±3π/5 +k2π
(cos x −1)(2cos x −1)
Bài 38. Giải phương trình: 2 =1− sin 2x + 2cos . x sin x
Bài 39. Cho phương trình: 3 3
(m + 3)sin x + (m −1) cos x + cos x − (m + 2)sin x = 0
a) Giải phương trình khi m = −5 .   b) Xác đị 5
nh tham số m để phương trình có đúng một nghiệm x  ,    .  4 
Bài 40. Cho tam giác ABC có các góc A, B, C thỏa mãn hệ thức: 1 1 1 1 1 1 + + = + + cos A cos B cosC A B C sin sin sin 2 2 2
Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.  x 2 3 2sin ( − )sinx - os c x
Bài 41. Giải phương trình : 4 2 = 0 . 3 3 sin x − os c x Bài 42. 4x 2x
Tìm m để phương trình cos + cos
− m = 0 có nghiệm. 2 x + 1 2 x + 1 Bài 43. Tam giác ABC có ba góc thỏa mãn hệ thức :
8 cos Asin B sin C + 4 3(sin A + cos B + cos C) − 17 = 0 . Hãy tính các góc của tam giác đó. + + Bài 44. x x
Giải phương trình: cos 2 3cos 1 = 1 − sin x +1
Bài 45. Giải phương trình sau sin 2x − (sin x + cos x − )
1 (2sin x − cos x − 3) = 0 . Hướng dẫn giải PT  ( x + x)2 sin cos
−1− (sin x + cosx− )
1 (2sin x − cos x − 3) = 0
 (sin x + cos x − )
1 (sin x + cos x + )
1 − (sin x + cosx− )
1 (2sin x − cos x − 3) = 0
 (sin x + cos x − )
1 (− sin x + 2 cos x + 4) = 0 x = k2
sin x + cos x =1      , (k  )
sin x − 2cos x = 4(VN) x = + k2  2 
Vậy phương trình có hai họ nghiệm: x = k 2 , x =
+ k2 ,(k  ) 2     Bài 46. 4
Cho cos2 = − với
    . Tính giá trị của biểu thức: P = (1+ tan)cos −  5 2  4  Hướng dẫn giải  Do
    nên sin   0,cos  0 . Ta có: 2 1+ cos 2 1 1 2 cos  = =  cos = − , 2 10 10 9 3 sin 2 2 sin  =1− cos  =  sin = , tan  = = 3 − 10 10 cos    Khi đó: P = ( + tan) 1 . (cos+sin) =( − ) 1 1 3 2 5 1 1 3 .  − +  = − 5 2 2  10 10  + Bài 47. 1 cot x
Tìm tập xác định của hàm số y = 2 cos x −1 Hướng dẫn giải