Chuyên đề Dãy số tự nhiên và dãy số theo quy luật lớp 4 (có lời giải)

CHUYÊN ĐỀ 9: DÃY SỐ TỰ NHIÊN, DÃY SỐ THEO QUY LUẬT A. LÝ THUYẾT
I - CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Trong dãy số tự nhiên liên tiếp cứ một số chẵn lại đến một số lẻ rồi lại đến một số chẵn... Vì vậy, nếu:
- Dãy số bắt đầu từ số lẻ và kết thúc là số chẵn thì số lượng các số lẻ bằng số lượng các số chẵn.
- Dãy số bắt đầu từ số chẵn và kết thúc cũng là số lẻ thì số lượng các số chẵn bằng số lượng các số lẻ.
- Nếu dãy số bắt đầu từ số lẻ và kết thúc cũng là số lẻ thì số lượng các số lẻ nhiều hơn các số chẵn là 1 số.
- Nếu dãy số bắt đầu từ số chẵn và kết thúc cũng là số chẵn thì số lượng các số chẵn
nhiều hơn các số lẻ là 1 số.
a. Trong dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ số 1 thì số lượng các số trong dãy số
chính bằng giá trị của số cuối cùng của số ấy.
b. Trong dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ số khác số 1 thì số lượng các số trong
dãy số bằng hiệu giữa số cuối cùng của dãy số với số liền trước số đầu tiên.
II - CÁC LOẠI DÃY SỐ + Dãy số cách đều: - Dãy sô tự nhiên. - Dãy số chẵn, lẻ.
- Dãy số chia hết hoặc không chia hết cho một số tự nhiên nào đó.
+ Dãy số không cách đều.
- Dãy Fibonacci hay tribonacci (Dãy vô hạn).
- Dãy có tổng (hiệu) giữa hai số liên tiếp là một dãy số.
+ Dãy số thập phân, phân số.
III - CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ DÃY SỐ
DẠNG 1: ĐIỀN THÊM SỐ HẠNG VÀO SAU, GIỮA
HOẶC TRƯỚC MỘT DÃY SỐ.


Những kiến thức cần lưu ý:
Để giải được bài toán dạng này, ta cần xác định quy luật của dãy số. Các quy luật của dãy số thường gặp là:
1. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước nó cộng (hoặc
trừ) với một số tự nhiên d.
2. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước nó nhân (hoặc
chia) với một số tự nhiên a khác 0.
3. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ ba) bằng tổng của hai số hạng đứng liền trước nó.
4. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ tư) bằng tổng của ba số hạng đứng liền trước nó.
5. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ ba) bằng tích của hai số hạng đứng liền trước nó.
6. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ tư) bằng tích của ba số hạng đứng liền trước nó.
7. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước với nó cộng với
số chỉ thứ tự của số hạng đó rồi cộng với một số tự nhiên d.
8. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước nó nhân với chỉ
số thứ tự của số hạng đó.
9. Mỗi số hạng bằng số chỉ thứ tự của số hạng đó nhân với số liền sau của số thứ tự.
10. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước nó nhân với
một số tự nhiên d rồi nhân với số chỉ thứ tự của số hạng đó. BÀI TẬP MINH HOẠ
Bài 1: Điền thêm 3 số hạng vào dãy số sau:
1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47...... Hướng dẫn:
Muốn giải được bài toán trên trước hết phải xác định quy luật của dãy số như sau:
Ta thấy: 1 + 3 = 4, 3 + 4 = 7 4 + 7 = 11, 7 + 11 = 18
Dãy số trên được lập theo quy luật sau: Kể từ số hạng thứ 3 trở đi mỗi số hạng bằng
tổng của hai số hạng đứng liền trước nó.
Ba số hạng tiếp theo là: 29 + 47 = 76; 47 + 76 = 123; 76 + 123 = 199
Vậy dãy số được viết đầy đủ là: 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199.


Bài 2: Viết tiếp 3 số hạng vào dãy số sau: 1, 2, 3, 6, 11, 20 Hướng dẫn:
Ta nhận thấy: 6 = 1 + 2 + 3 11 = 2 + 3 + 6 20 = 3 + 6 + 11
Từ đó ta rút ra được quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 4)
bằng tổng của ba số hạng đứng liền trước nó.
Viết tiếp ba số hạng, ta được dãy số sau: 1, 2, 3, 6, 11, 20, 37, 68, 125.
Bài 3: Tìm số hạng đầu tiên của các dãy số sau biết rằng mỗi dãy số có 10 số hạng.
a) ..., …, 32, 64, 128, 256, 512, 1024
b) ..., …, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100 Hướng dẫn: a) Ta nhận xét :
Số hạng thứ 10 là : 1024 = 512  2
Số hạng thứ 9 là : 512 = 256  2
Số hạng thứ 8 là : 256 = 128  2
Số hạng thứ 7 là : 128 = 64  2
……………………………………
Từ đó ta suy luận ra quy luật của dãy số này là: Mỗi số hạng của dãy số gấp
đôi số hạng đứng liền trước đó.
Vậy số hạng đầu tiên của dãy là: 1  2 = 2. b) Ta nhận xét :
Số hạng thứ 10 là : 100 = 10  10
Số hạng thứ 9 là : 90 = 10  9
Số hạng thứ 8 là : 80 = 10  8
Số hạng thứ 7 là : 70 = 10  7
…………………………………….
Từ đó ta suy luận ra quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng bằng số thứ tự của số hạng ấy nhân với 10.


Vậy số hạng đầu tiên của dãy là : 1  10 = 10.
Bài 4: Tìm các số còn thiếu trong dãy số sau : a. 3, 6, 12, …, …, 96. b. 3, 5, 9, …, …, 65. Hướng dẫn:
Muốn tìm được các số còn thiếu trong mỗi dãy số, cần tìm được quy luật của mỗi dãy số đó.
a. Ta nhận xét : 3  2 = 6 6  2 = 12
Quy luật của dãy số là: Kể từ số hạng thứ 2 trở đi, mỗi số hạng gấp 2 lần số liền trước nó.
Vậy các số còn thiếu của dãy số đó là:
12  2 = 24 ; 24  2 = 48 ; 48  2 = 96 (đúng).
Vậy dãy số còn thiếu hai số là : 24 và 48.
b. Ta nhận xét: 3  2 − 1 = 5; 5  2 – 1 = 9.
Quy luật của dãy số là: Kể từ số hạng thứ 2 trở đi, mỗi số hạng bằng 2 lần số
liền trước nó trừ đi 1. Vì vậy, các số còn thiếu ở dãy số là:
9  2 – 1 = 17; 17  2 − 1 = 33 ; 33  2 − 1 = 65 (đúng).
Dãy số còn thiếu hai số là: 17 và 33.
Bài 5: Lúc 6h sáng, một người đi từ A đến C và một người đi từ C đến A; cả hai cùng
đi đến đích của mình lúc 3h chiều. Vì đường đi khó dần từ A đến C; nên người đi từ
A, giờ đầu đi được 20km, cứ mỗi giờ sau đó lại giảm đi 2km. Người đi từ C giờ cuối
cùng đi được 20km, cứ mỗi giờ trước đó lại giảm 2km. Tính quãng đường AC. Hướng dẫn:
3 giờ chiều là 15h trong ngày.
2 người đi đến đích của mình trong số giờ là: 15 – 6 = 9 giờ.
Vận tốc của người đi từ A đến B lập thành dãy số:
20, 18, 16, 14, 12, 10, 8, 6, 4.