Chuyên đề Giải tích 12 năm 2023 - Chủ đề: Logarit

CHUYÊN ĐỀ 2: MŨ VÀ LÔGARIT
BÀI 1: LŨY THỪA – HÀM SỐ LŨY THỪA Mục tiêu  Kiến thức
+ Biết các khái niệm và tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên, lũy thừa với số mũ hửu tỉ không
nguyên và lũy thừa với số mũ thực.
+ Biết khái niệm và tính chất của căn bậc n.
+ Biết khái niệm và tính chất của hàm số lũy thừa.
+ Biết công thức tính đạo hàm của hàm số lũy thừa.
+ Biết dạng đồ thị của hàm số lũy thừa.  Kĩ năng
+ Biết dùng các tính chất của lũy thừa để rút gọn biểu thức, so sánh những biểu thức có chứa lũy thừa.
+ Biết khảo sát hàm số lũy thừa.
+ Tính được đạo hàm của hàm số lũy thừa. Trang 1

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM LŨY THỪA
1. Lũy thừa với số mũ nguyên
Cho n là một số nguyên dương. • Với a tùy ý: • Với :
(a: cơ số, n: số mũ). Chú ý: không có nghĩa.
Lũy thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự như lũy
thừa với số mũ nguyên dương. 2. Phương trình
• Với n lẻ: Phương trình (*) luôn có nghiệm duy nhất. • Với n chẵn + Nếu
: Phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu. + Nếu
: Phương trình (*) có một nghiệm + Nếu
: Phương trình (*) vô nghiệm. 3. Căn bậc n Khái niệm Cho ,
. Số a được gọi là căn bậc n của b nếu . • Với n lẻ và , phương trình
có duy nhất một căn bậc
n của b, ký hiệu là . • Với n chẵn: Trang 2


: Không có căn bậc n của b.
: Có một căn bậc n của 0 là 0.
: Có hai căn trái dấu, ký hiệu giá trị dương là , còn giá trị âm là . Tính chất Với , ; ta có: • • • • •
4. Lũy thừa với số mũ hửu tỉ Ví dụ: .
Cho số thực a dương và số hửu tỉ , trong đó
. Lũy thừa của a với số mũ r được xác định như sau: .
5. Lũy thừa với số mũ vô tỉ Cho
là một số vô tỉ. Ta thừa nhận rằng luôn có một dãy số hữu tỉ mà
và một dãy số tương ứng
có giới hạn không phụ thuộc vào việc chọn dãy số . Khi đó ta kí hiệu
là lũy thừa của a với số mũ .
6. Lũy thừa với số mũ thực Tính chất
Với mọi a, b là các số thực dương;
là các số thực tùy ý, ta có: • Trang 3

• • • • Ví dụ:
So sánh hai lũy thừa • So sánh cùng cơ số - Nếu cơ số thì - Nếu cơ số thì • So sánh cùng số mũ Ví dụ: - Nếu số mũ thì - Nếu số mũ thì HÀM SỐ LŨY THỪA
1. Khái niệm hàm số lũy thừa Hàm số với
được gọi là hàm số lũy thừa.
Ví dụ: Tập xác định của hàm số
Chú ý: Tập xác định của hàm số tùy thuộc vào giá trị là của . là Cụ thể: • nguyên dương: ; là
• nguyên âm hoặc bằng 0: • không nguyên:
Ví dụ: Đạo hàm của hàm số
2. Đạo hàm của hàm số lũy thừa là ; Hàm số lũy thừa , có đạo hàm với mọi và: là • •
với u là biểu thức chứa x.
Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với
3. Khảo sát hàm số lũy thừa
số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên
toàn bộ tập xác định của nó. Chẳng
hạn: Khảo sát các hàm số trên a. Tập khảo sát: a. Tập khảo sát:
tập xác định của nó là , khảo sát hàm Trang 4