Chuyên đề Giải tích 12 năm 2023 - Chủ đề: Nguyên hàm - Tích phân

CHUYÊN ĐỀ 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
BÀI 1: NGUYÊN HÀM VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM Mục tiêu  Kiến thức
+ Nắm được định nghĩa nguyên hàm; các tính chất của nguyên hàm và bảng nguyên hàm cơ bản.
+ Nắm vững các phương pháp tính nguyên hàm.  Kĩ năng
+ Hiểu rõ định nghĩa và tính chất của nguyên hàm để vận dụng vào việc tìm nguyên hàm
+ Sử dụng thành thạo bảng nguyên hàm và các phương pháp tìm nguyên hàm.
+ Vận dụng nguyên hàm vào các bài toán thực tế. Trang 1

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Định nghĩa nguyên hàm Ví dụ:
là một nguyên hàm của hàm Cho hàm số
xác định trên K (K là khoảng, đoạn số vì
hay nửa khoảng). Hàm số được gọi là một nguyên hàm của hàm số trên K nếu với mọi . Định lí Nhận xét: Nếu và cùng là Giả sử hàm số
là một nguyên hàm của hàm số nguyên hàm của hàm số trên K thì: trên K. Khi đó:  . 
Với mỗi hằng số C, hàm số cũng là  , với C là hằng số nào một nguyên hàm của trên K. đó. 
Ngược lại, với mỗi nguyên hàm của trên
K thì tồn tại một hằng số C sao cho với mọi . Do đó
là họ tất cả các nguyên hàm của trên K. Ký hiệu . Tính chất Ví dụ 1: Nếu
là hai hàm số liên tục trên K thì: a) Ví dụ 2: b)
, với k là hai số thực khác 0. c) với
m,n là hai số thực khác 0. d) Với và ta có: , ở đó là một nguyên hàm của .
Sự tồn tại nguyên hàm Trang 2


Định lí: Mọi hàm số
liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
BẢNG NGUYÊN HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP
Nguyên hàm của hàm số sơ
Nguyên hàm của hàm số
Nguyên hàm của hàm số hợp cấp hợp Trang 3


HỆ THỐNG HÓA KIẾN THỨC NGUYÊN HÀM:
1. Định nghĩa nguyên hàm Cho hàm số
xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số được gọi là một nguyên hàm của hàm số trên K nếu với mọi . 2. Định lí Giả sử hàm số
là một nguyên hàm của hàm số trên K. Khi đó: 
Với mỗi hằng số C, hàm số
cũng là một nguyên hàm của hàm số trên K.  Hàm số
được gọi là họ nguyên hàm của hàm số trên K. Kí hiệu . 3. Tính chất Nếu hai hàm số
liên tục trên K và thì ta luôn có: a) b)
, với k là hai số thực khác 0. c)
với m,n là hai số thực khác 0. d) Với và ta có: .
4. Sự tồn tại nguyên hàm Mọi hàm số
liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa
Bài toán 1: Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp và hàm số mũ Phương pháp giải 
Biến đổi các hàm số dưới dấu nguyên Ví dụ 1: Họ nguyên hàm của hàm số là:
hàm về dạng tổng, hiệu của các biểu
thức chứa x, trong đó mỗi biểu thức Trang 4