Đề thi HSG Toán 12 năm 2025-2026

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT HÀ TĨNH
NĂM HỌC 2025 – 2026 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN
(Đề thi có 02 trang, gồm 10 câu)
Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. (2,0 điểm) 2 Cho hàm số x  x  2 y 
có đồ thị C và điểm A1;3. Gọi B là điểm cực tiểu và  là x  2
đường tiệm cận xiên của C. Tìm tọa độ điểm M thuộc  sao cho tam giác ABM cân tại . A Câu 2. (2,0 điểm)
Công ty X cần vận chuyển hàng đến một địa điểm cách công ty 100 dặm. Chi phí trên mỗi
chuyến hàng mà công ty phải trả bao gồm chi phí nhiên liệu và chi phí thuê tài xế. Khi xe chở
hàng di chuyển với tốc độ x dặm/giờ thì chi phí nhiên liệu (tính bằng USD) trên mỗi dặm
đường được cho bởi công thức 1  64 9 C(x)  x   
. Ngoài ra, giá thuê tài xế là 16 USD trên 5 x 100   
mỗi giờ lái xe. Biết rằng tốc độ di chuyển của xe chở hàng không được phép vượt quá 50
dặm/giờ. Hỏi chi phí nhỏ nhất mà công ty đó phải trả trên mỗi chuyến hàng là bao nhiêu USD? Câu 3. (2,0 điểm)
Biểu đồ bên dưới thể hiện tỉ lệ phần trăm chi phí trong năm 2020 của một công ty.
Năm 2020 công ty đã xây dựng tốt thương hiệu cũng như trả được nhiều khoản vay nên năm
2021 chi phí cho Lãi vay đã giảm 25% so với năm 2020, đồng thời công ty cũng quyết định
giảm 20% chi phí Quảng cáo so với năm 2020. Toàn bộ lượng giảm chi phí đó được dùng để
tăng lương cho tất cả nhân viên. Hỏi chi phí cho Lương năm 2021 đã tăng bao nhiêu phần trăm so với năm 2020? Câu 4. (2,0 điểm) Cho hàm số 3
y  x  m   2 x   2 3 1
3 m  2m x  2025 , với m là tham số. Tìm tất cả giá trị m
để trên khoảng ;0, hàm số đã cho tồn tại giá trị lớn nhất. Trang 1/2 Câu 5. (2,0 điểm)
Xét một hệ trục tọa độ Oxyz, đơn vị độ dài trên mỗi trục là 100 mét. Có hai tổ công nhân đồng
thời đào đường hầm xuyên núi. Tổ thứ nhất bắt đầu đào từ vị trí điểm A5;7;10 , đi thẳng
xuyên qua vị trí điểm B6;9;12 với tốc độ đào không đổi là 12 mét/ngày. Cùng thời điểm đó,
tổ thứ hai bắt đầu đào một đường hầm khác, xuất phát từ vị trí điểm C 4;17;12 và cũng đào
theo đường thẳng với tốc độ đào không đổi. Mục tiêu đặt ra là hai đường hầm này se gặp nhau
tại vị trí điểm E cách vị trí điểm A một khoảng bằng 1,5 kilômét. Để cả hai tổ công nhân
đồng thời đào đến vị trí điểm E trong cùng một thời điểm thì tốc độ đào hầm của tổ thứ hai bằng bao nhiêu mét/ngày? Câu 6. (2,0 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a , góc o
ABC  60 và cạnh bên SA vuông
góc với mặt phẳng đáy. Gọi M , N lần lượt là trung điểm SB, SD . Biết góc nhị diện
M , AC,N bằng o
120 , tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng SBD . Câu 7. (2,0 điểm)
Một nhóm có 10 người gồm 5 bạn nam, 4 bạn nữ và 1 thầy giáo đứng thành hai hàng ngang để
chụp ảnh kỉ niệm, mỗi hàng 5 người. Có bao nhiêu cách sắp xếp để thầy giáo đứng xen giữa
hai bạn nam, đồng thời trong mỗi hàng không có hai bạn nữ nào đứng cạnh nhau? Câu 8. (2,0 điểm)
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A3;7; 4, B  5  ;4;4 và vectơ 
u  0;2;1. Các điểm M , N thay đổi trên mặt phẳng Oyz sao cho MN cùng hướng với u
và MN  5 5. Tìm giá trị lớn nhất của AM  BN . Câu 9. (2,0 điểm)
Cho một bảng ô vuông 33 như hình ve bên. Điền ngẫu nhiên 9 số thuộc tập
hợp X  0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 vào 9 ô vuông trong bảng (mỗi ô điền một số
khác nhau). Tính xác suất của biến cố “mỗi hàng, mỗi cột bất kì trong bảng đều
có ít nhất một số lẻ”. Câu 10. (2,0 điểm)
Cho hình lăng trụ ABC.A B  C
  có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và BC  4a , tam
giác AAC cân tại A và tam giác AB C
  vuông tại B . Biết khoảng cách giữa 2 đường thẳng
AB và BC bằng a . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A B  C   .
---------------------------HẾT----------------------------
- Thí sinh không được sử dụng tài liệu;
- Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ……………………………………. . . . . . . . . . .……… Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trang 2/2
LỜI GIẢI THAM KHẢO ĐỀ HSG 12 HÀ TĨNH 2025 – 2026
Câu 1. Khảo sát được điểm cực tiểu là B4;7 .
Tiệm cận xiên là đường thẳng  : y  x 1.
Điểm M   M m ;m   1 . m  
Tam giác ABM cân tại A nên AM  AB  m  2  m  2 2 1 2  25   . m  5
+) Với m  2 thì M 2; 
1 : loại vì khi đó A là trung điểm BM .
+) Với m  5 thì M 5;6: thỏa mãn. Vậy M 5;6.
Câu 2. Quãng đường là 100 dặm nên chi phí nhiên liệu là 1  64 9  1280 9 100.  x     x . 5  x 100  x 5
Thời gian di chuyển là 100 (giờ) nên chi phí thuê tài xế là 100 1600 16.  (USD). x x x
Tổng chi phí mỗi chuyến hàng là f x 1280 9 6 1 0 0 2880 9   x    x. x 5 x x 5 Xét 2880 9
f  x trên 0;50, có f x  
 ; f x  0  x  40 (do 0  x  50 ). 2 x 5
Từ đó chi phí mỗi chuyến hàng nhỏ nhất là f 40 144 (USD).
Câu 3. Gọi chi phí cho Lương năm 2020 là x . Khi đó:
Chi phí cho Lãi vay năm 2020 là x 7 .17,5 x  . 20 8
Chi phí cho Quảng cáo năm 2020 là x 3 .15 x  . 20 4
Suy ra chi phí về Lương năm 2021 tăng thêm là 7x 3x 59 25%.  20%.  x . 8 4 160
Vậy chi phí về Lương đã tăng 59  36,875% . 160 x  m Câu 4. Có 2
y  x  m  x   2 3 6 1 3 m  2m  ; 2
y   x  m   x   2 0 2 1
m  2m  0   . x  m  2
Lập bảng biến thiên suy ra hàm số có giá trị lớn nhất trên khoảng ;0 khi và chỉ khi:
TH1: m  0  m  2  2  m  0. m  2  0 m  2 TH2:      y
 m  y 0 3
m  3m   2 1 m  3   2
m  2m m  2025   2025 m  2 m  2      3 m 2 . 2 m 
m  3  0 m  3
Kết luận: 3  m  0 . 
Câu 5. Ta có: AB    2 2 2
1;2;2  AB  1  2  2  3.  
Theo bài ra, ta có AE 15 ; AB và AE cùng hướng.  
Do đó: AE  5AB  5;10;10  E 10;17;20 . Suy ra CE 10 .
Khi đến điểm E thì thời gian đào đường hầm thứ nhất là 1500 t  125 (ngày). 0 12 Trang 3/2
Vì đến E cùng thời điểm nên tốc độ đào đường hầm thứ hai là 100CE 100.10 v    8 (mét/ngày) t 125 0
Vậy tốc độ đào đường hầm thứ hai là 8 mét/ngày.
Câu 6. Gọi P, H, Q lần lượt là trung điểm A , B A , O AD . Khi đó M AC N  o , ,  MHN 120 .
Dễ thấy MNQP là hình chữ nhật và H là trung điểm PQ nên MH  NH . Có a 3 a MN  BO 
. Áp dụng định lí côsin cho tam giác MHN ta được MH  NH  . 2 2 Lại có 1 a 3 2 2 a a PH  BO 
 MP  MH  PH 
 SA  2MP  . 2 4 4 2
Ta có d C ,SBD  d A,SBD   AE , với E là hình chiếu của A trên SO . Có a
SA  AO  nên E là trung điểm SO a 2  AE  . 2 4 Câu 7.
TH1: Hàng có thầy giáo đứng có đúng 2 bạn nam và 2 bạn nữ; hàng còn lại có 3 bạn nam và 2 bạn nữ.
+ Chọn hàng cho thầy giáo: có 2 cách.
+ Xếp hàng có thầy giáo: có 2 2 A .A cách. 5 4 + Xếp hàng còn lại: có 2 3!.A cách. 4
Số cách xếp thoả mãn trong TH1 là 2 2 2
2.A .A .3!.A  34560 cách. 5 4 4
TH2: Hàng có thầy giáo đứng có đúng 3 bạn nam và 1 bạn nữ; hàng còn lại có 3 nữ và 2 nam.
+ Chọn hàng cho thầy giáo: có 2 cách.
+ Xếp hàng có thầy giáo: có 3 1 A .2.C .3 cách. 5 4
+ Xếp hàng còn lại: có 3!.2! cách.
Số cách xếp thoả mãn trong TH2 là 3 1
2.A .2.C .3.3!.2! 34560. 5 4
Vậy tổng số cách xếp thỏa mãn là 34560  34560  69120. 
Câu 8. Có MN  5u  0; 1  0;5 .
Ta thấy A và B nằm khác phía đối với mặt phẳng Oyz .
Gọi C là điểm đối xứng với A qua Oyz thì C 3;7; 4 và ta có AM  CM .  
Gọi D là điểm thỏa mãn CD  MN  0; 1
 0;5 thì D3; 3;1 .
Khi đó CDNM là hình bình hành nên CM  DN .
Dẫn tới AM  BN  DN  BN  BD  62 .
Đẳng thức xảy ra khi N là giao điểm của BD với Oyz .
Câu 9. Số phần tử của không gian mẫu n 9  A . 10
Gọi A là biến cố theo yêu cầu bài toán thì A : “tồn tại một hàng hoặc một cột chứa toàn số chẵn”.
TH1: 9 số được điền có 4 số chẵn, 5 số lẻ: có 5 cách chọn.
Khi đó có đúng 1 hàng hoặc đúng 1 cột chứa toàn số chẵn.
Chọn một hàng hoặc một cột chứa toàn số chẵn: có 6 cách .
Chọn ba số chẵn trong 4 số chẵn và xếp vào hàng (hoặc cột) được chọn: có 3 A cách. 4
Xếp 6 số còn lại vào 6 ô còn lại: có 6! cách. Do đó TH1 có 3
5.6.A .6! cách điền. 4
TH2: 9 số được điền có 5 số chẵn, 4 số lẻ: có 5 cách chọn.
Khi đó không quá 1 hàng và không quá 1 cột chứa toàn số chẵn. Trang 4/2