Đề thi vào 10 môn Toán tỉnh Hà Nội chuyên KHTN năm 2022

Đ I Ạ H C Ọ QU C Ố GIA HÀ N I Ộ Đ Ề THI TUY N Ể SINH VÀO L P Ớ 10 TRƯỜNG ĐH KHOA H C Ọ T N Ự HIÊN
TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2021 MÔN THI: TOÁN Đ C Ề HÍNH TH C Ứ Th i
ờ gian làm bài : 90 phút (không k gi ể ao đ ) ề Bài 1. (2,0 đi m ể )
13 5  x 18 x  8 61   x  3 5  x x  8 Gi i ả phư ng t ơ rình :     Bài 2. (2,0 đi m ể ) 4 4 2 2
x  y  6x y 1    4
x x  y x  y Gi i ả h ph ệ ư ng t ơ rình :     Bài 3. (2,0 đi m ể ) Tìm s nguyên d ố ư ng ơ n nhỏ nhất, bi t ế r ng khi ằ
chia n cho 7,9,11,13 ta nh n ậ đư c ợ các số d t ư ư ng ơ ng ứ 3,4,5,6 Bài 4. (3,0 đi m ể ) Cho tam giác nh n ọ ABC có đi m ể P n m
ằ trong tam giác (P không n m ằ trên các c nh) ạ . G i
ọ J , K, L lần lư t ợ là tâm đư ng t ờ ròn n i ộ ti p các t ế
am giác PBC, PC , A PAB 1) Ch ng ứ minh r ng ằ BJ  C  CKA   AL  B 4  50 2) Giả s ử PB P
 C và PC  P . A G i
ọ X ,Y ,Z lần lư t
ợ là hình chi u vuông góc c ế a ủ
J , K, L trên các c nh ạ BC,C , A A . B D ng
ự hình bình hành X W Y Z.Ch ng m ứ inh r ng ằ W n m
ằ trên phân giác BAC Bài 5. (1,0 đi m ể ) Cho t p ậ A   1;2;3;....;202  1 . Tìm số nguyên dư ng ơ k l n nh ớ ất
 k  2 sao cho ta có th ch ể n ọ đư c k s ợ ố phân bi t ệ từ t p ậ A mà tổng c a ủ hai số phân biệt bất kỳ trong k s đ ố ư c ợ ch n không chi ọ a h t ế cho hi u c ệ a chúng . ủ

ĐÁP ÁN Đ
Ề VÀO 10 CHUYÊN KHTN HÀ N I Ộ NĂM 2021 MÔN TOÁN CHUNG
13 5  x 18 x  8 61   x  3 5  x x  8
Bài 1. Giải phư ng t ơ rình :     5   x 0     8 x 5  ĐKXĐ: x  8 0  
13 5  x 18 x  8 61 
 x  3  5  x  x  8   1 Đ t
ặ a  5  x,a 0    1 2 2 2 tr t
ở hành : 13a 18 13  a 61 
 5  a  3a 13  a 2
 3 13  a  6  a 2
 a  13a  66  913  a  2  6  a 2 2  2
 a 13a  66  9 2 13  a   2
a  12a  36 4 3 2 a 
 26a  37a  1716a  4356 4 3 2
 10a  82a  244a  312a 144 0 
  a  2  a  3  2
10a  32a  24 0     a 2   x 1   a 3     x  4    6  89  a   x   5  25 C 3 nghi ả ệm th a m ỏ ãn đi u ki ề n ệ 89 S  4;1;     V y ậ phư ng t ơ rình có t p nghi ậ m ệ  25 4 4 2 2
x  y  6x y 1    4
x x  y x  y Bài 2. Giải h ph ệ ư ng ơ trình :    

TH1: x 0   y 0  (lo i ạ ) Th2 :x 0  4 4 2 2
x  y  6x y 1  (1)   y 4 4 2 2
x  y  6x y  4xy   2 2 x  y  1   (2) Suy ra  x xy  y 2 2 4
x  y   Lấy  2    1 ta đư c : ợ x  y 0    2 4x   2 2
x  y   1  V i ớ y 0  , thay vào phư ng t ơ rình (1) 4  x 1   x  1  2 2 2
4x x  y  1 V i ớ   (phư ng ơ trình vô nghi m ệ do v t ế rái c a ph ủ ư ng ơ trình luôn không âm) ; x y   1;0 , 1;0 V y ậ h ph ệ ư ng t ơ rình đã cho có hai c p ặ nghi m ệ        Bài 3.Tìm s nguyên d ố ư ng ơ
n nhỏ nhất, bi t ế r ng khi ằ
chia n cho 7,9,11,13 ta nhận đư c ợ các số d t ư ư ng ơ ng l ứ à 3,4,5,6 Vì n chia 7 d 3 nên ư 2n chia 7 d 6 ư Vì n chia 9 d 4 nên ư 2n chia 9 d 8 ư Vì n chia 11d 5 nên ư 2n chia 11 dư 10 Vì n chia 13 d 6 nên ư 2n chia 13 d 12 ư  2n 1chia h t ế cho 7;9;11;13 Mà n là số t nhi ự ên nh nh ỏ t
ấ nên 2n 1 B
 CNN  7;9;11;13  2n 1 7  .9.11.13  n 4  504

Bài 4. 1) Chứng minh r ng ằ BJ  C  CKA   A  LB 4  50 Ta có :