Đề thi vào 10 môn Toán tỉnh Hà Nội chuyên Sư phạm năm 2022

BỘ GIÁO D C Ụ VÀ ĐÀO T O Ạ CỘNG HÒA XÃ H I Ộ CH N Ủ GHĨA VI T Ệ NAM TRƯ N Ờ G Đ I Ạ HỌC S P Ư H M Ạ HÀ N I Ộ Đ c
ộ lập – Tự do – H n ạ h phúc Đ C Ề HÍNH TH C Ứ Bài 1. (2,0 đi m ể )  b  a
a a  b b   b  a  2  ab  a 0  ,b 0   P    : b  a a  b a  b  a b  Cho      a) Rút g n ọ P b) Ch ng ứ minh r ng ằ P 0  Bài 2. (3,0 đi m ể ) a) Ch ng ứ minh r ng : ằ v i ớ m i ọ giá tr c ị a ủ , m ít nh t ấ m t ộ trong hai phư ng t ơ rình 2 2 2 sau có nghi m
ệ : x   2m  
1 x  m  3 0
 ; x  mx  4m  11 0  b) M t ộ tấm bi n ể qu ng cáo có ả d ng hì ạ
nh tròn tâm O, bán kính b ng ằ 1,6m . Giả s ử hình chữ nh t ậ ABCD n i ộ ti p đ ế ư ng t ờ
ròn tâm O bán kính b ng ằ 1,6m sao cho BO  C 4  5 (nh hì ư nh v ) ẽ . Ngư i ờ ta c n s ầ n ơ màu toàn b t ộ m ấ bi n ể qu ng cáo và ả chỉ s n ơ m t ộ m t ặ như hình ở bên. Bi t ế m c ứ chi phí s n ph ơ n hì ầ nh tô đ m ậ là 150 nghìn đồng 2 /m và phần còn l i
ạ là 200 nghin đồng/m 2 . H i ỏ số ti n ( ề làm tròn đ n ế đ n ơ v nghì ị n đ ng ồ ) để s n t ơ oàn bộ bi n qu ể ng cáo ả b ng bao nhi ằ êu ? Cho  3  ,14 Bài 3. (3,0 đi m ể ) Cho ba đi m ể ,
A B,C cố định sao cho , A B,C th ng ẳ hàng, B n m ằ gi a ữ A và C. G i
ọ  d  là đư ng ờ th ng đi ẳ qua C và vuông góc v i ớ A . B Lấy đi m ể M
tùy ý trên  d  . Đư ng t ờ h ng
ẳ đi qua B và vuông góc v i ớ AM c t ắ các đư ng ờ th ng ẳ
AM ,d lần lư t ợ t i
ạ I, N . Đư ng t ờ h ng ẳ MB c t ắ AN t i ạ K a) Ch ng ứ minh r ng t ằ gi ứ ác MIKN n i ộ ti p ế b) Ch ng ứ minh r ng ằ
CM .CN AC.BC c) G i ọ O là tâm c a đ ủ ư ng ờ tròn ngo i ạ ti p t
ế am giác AMN.Vẽ hình bình hành MBNE . G i ọ H là trung đi m ể c a ủ đo n t ạ h ng ẳ BE.Ch ng m ứ inh r ng ằ OH 1 OH  AB vuông góc v i ớ đư ng t ờ h ng ẳ  d  và 2 Bài 4. (2,0 đi m ể )

2 2
x  y  4x 5  7   2021 2021 x  1  x  2 1 a) Gi i ả h ph ệ ư ng t ơ rình sau :   
b) Cho a và b là hai số h u t ữ ỉ. Ch ng ứ minh r ng ằ
a 2  b 3 cũng là số h u t ữ ỉ ĐÁP ÁN Đ Ề THI VÀO L P Ớ 10 CHUYÊN S P Ư H M Ạ MÔN TOÁN CHUNG 2021 Bài 1. a) Rút g n ọ P   
  b  a  2  ab b a a a b b P    : b  a a  b a  b     b a   b a  3 3 a b    
b  2 ab  a  ab     :  b  a a  b  a  b     a b   a ab b    
b  ab  a  b a     : 
 a  b  a  b   a  b  
 a  b2  a  ab  b a  b
a  2 ab  b  a  ab  b  .  a  b
b  ab  a
b  ab  a ab
a  ab b ab P  V y ậ
a  ab  b v i ớ a 0  ,b 0  ,a b  b) Chứng minh r ng ằ P 0 
 a  b2 0
  a  2 ab  b 0   a  b 2  ab  ab Ta có :
Do đó a  b  ab  0.Mà ab 0  ab P  0  Suy ra
a  ab  b v i ớ a 0  ,b 0  ,a b  (đpcm) Bài 2. a) Chứng minh r ng : ằ v i ớ m i ọ giá tr c ị a ủ , m ít nhất m t ộ trong hai phư ng ơ 2 2 2 trình sau có nghi m
ệ : x   2m  
1 x  m  3 0
 ; x  mx  4m  11 0  2 2 2 Đ t
ặ x   2m  
1 x  m  3 0   
1 và x  mx  4m  11 0   2

Giả s c ử 2 ph ả ư ng ơ trình đ u vô nghi ề m ệ 4m  11  0 4m  11  0      2 m 4     4m   2 11  0 m  4    4m   11  0(vo ly)   Giả s s ử ai V y ậ trong 2 phư ng
ơ trình đã cho có ít nh t ấ 1 phư ng ơ trình có nghi m ệ (đpcm)

b) M t ộ t m ấ bi n qu ể ng cáo có d ả ng hì ạ
nh tròn tâm O, bán kính b ng ằ 1,6m . Giả s hì ử nh ch nh ữ t
ậ ABCD n i ộ ti p đ ế ư ng
ờ tròn tâm O bán kính b ng ằ 1,6m sao cho BO  C 4
 5 (như hình v ) ẽ . Ngư i ờ ta c n s ầ n m ơ àu toàn b t ộ m ấ bi n ể quảng cáo và ch s ỉ n ơ m t ộ m t ặ nh h ư ình bên. B ở i t ế m c chi ứ phí s n ph ơ n ầ hình tô đ m
ậ là 150 nghìn đ ng ồ 2
/m và phần còn l i
ạ là 200 nghin đ ng/ ồ m 2 . H i ỏ s t ố i n ( ề làm tròn đ n đ ế n v ơ nghì ị n đ ng ồ ) đ s ể n t ơ oàn b b ộ i n qu ể ng cáo ả
bằng bao nhiêu ? Cho  3  ,14 2 2 2 S   R 3  ,14.1,6 8  ,0384 cm Di n t ệ   ích hình tròn là G i ọ H là trung đi m ể c a ủ BC
Vì ABCD là hình vuông nên OA O  B O  C O  D  O  BC cân t i
ạ O OH  BC (đư ng t ờ rung tuy n đ ế ng t ồ h i ờ là đư ng cao t ờ rong tam giác vuông) 180 BOC OBC OCB       6  7,5
Xét tam giác OBC có: 2
Xét tam giác vuông OHB có : OH sin O  BC s  in O  BH   OH O  . B sin O  BH 1  ,6.sin 67,5 OB BH cos O  BC cos  O  BH   BH O  . B cos O  BH 1  ,6cos 67,5 OB  BC 3  , 2.cos 67,5 2 2  R .45 3,14.1,6 2  S   1  ,0048(cm ) qOBC 360 8 2  Di n t ệ ích ph n hì ầ nh tô đ m ậ là S S   S 7  ,839(cm ) 2 1