Lý thuyết Bài 5: Tích của một số với một vectơ Toán 10 Cánh diều

Đây là bản xem th , vu ử i lòng mua tài li u ệ đ xe ể m chi ti t ế (có l i ờ gi i ả ) Bài 5. Tích c a m ủ t ộ số v i ớ m t ộ vectơ A. Lý thuy t ế 1. Đ nh ng ị hĩa    Cho m t
ộ số k ≠ 0 và vectơ a ≠ 0. Tích c a ủ m t ộ số k v i ớ vectơ a là m t ộ  vect , kí ơ hiệu là ka , đư c ợ xác đ nh nh ị s ư au:   + cùng hư ng v ớ i ớ a n u ế k > 0, ngư c ợ hư ng v ớ i ớ a n u ế k < 0;  a + có đ dài ộ b ng ằ k .     Quy ư c ớ : 0a = 0, k0 = 0 Phép l y ấ tích c a ủ m t ộ số v i ớ m t ộ vecto g i ọ là phép nhân m t ộ số v i ớ m t ộ vecto. Ví d : ụ Cho G là tr ng ọ tâm c a
ủ tam giác ABC, D và E lần lư t ợ là trung đi m ể
 
 c a ủ BC và AC. Tìm m i ố quan hệ c a
ủ GA và GD ; mối quan hệ c a ủ AD và
GD. Hư ng ớ d n gi ẫ i ả Khi đó ta có: - Vì G là tr ng t ọ âm c a t
ủ am giác ABC nên GA = 2GD.
  Mà G n m ằ gi a
ữ A và D nên GA và GD là hai vecto ngư c h ợ ư ng. ớ   ⇒ GA = (-2)GD . M i
ọ thắc mắc vui lòng xin vui lòng: 084 283 45 85
Đây là bản xem th , vu ử i lòng mua tài li u ệ đ xe ể m chi ti t (c ế ó l i ờ gi i ả ) - Ta có: AD = 3GD.  
Mà GD và AD là hai vecto cùng hư ng. ớ   ⇒ AD = 3GD .   a  Ví d :
ụ Cho vecto a có = 4. Tìm số th c
ự x sao cho vecto x a có độ dài b ng ằ  1 và cùng hư ng v ớ i ớ a . Hư ng d ớ ẫn gi i ả :   xa x . a Ta có: = 1 ⟺ = 1 ⟺ x .4 = 1 1 ⟺ x = 4   L i
ạ có vecto xa cùng hư ng v ớ i ớ vecto a nên x > 0 1 Suy ra x = 4 . 1 V y ậ x = 4 là giá tr c ị n t ầ ìm. 2. Tính ch t ấ   V i ớ hai vecto b t
ấ kì a , b và hai số th c h, k, t ự a có:        
+) k( a + b ) = ka + k b ; k(a - b ) = ka - k b ;    +) (h + k) a = ha + ka ;   +) h(k a ) = (hk) a ;     +) 1 a = a ; (-1)a = - a .    
Nhận xét: ka = 0 khi và chỉ khi k = 0 ho c ặ a = 0. Ví d : ụ Tính:

 a) 5 BC + 5CA ;
  b) 4 AB + 6 AB ;    c) 4(2 AB ) + 2 BC - 3 AB . M i ọ thắc m c
ắ vui lòng xin vui lòng: 084 283 45 85
Đây là bản xem th , vu ử i lòng mua tài li u ệ đ xe ể m chi ti t ế (có l i ờ gi i ả ) Hư ng ớ d n gi ẫ i ả :     
a) 5 BC + 5CA = 5( BC + CA ) = 5 BA .    
b) 4 AB + 6 AB = (4 + 6) AB = 10 AB .    c) 4(2 AB ) + 5 BC - 3 AB    = (4.2) AB + 5 BC - 3 AB    = 8 AB + 5 BC - 3 AB    = 8 AB - 3 AB + 5 BC   = (8 – 3) AB + 5 BC   = 5 AB + 5 BC    = 5( AB + BC ) = 5 AC 3. M t ộ số ng d ứ ng ụ 3.1. Trung đi m ể c a đo ủ n t ạ h ng ẳ    N u ế I là trung đi m ể c a ủ đo n ạ th ng ẳ AB thì MA  MB 2  MI v i ớ đi m ể M b t ấ kì. Chứng minh:    Vì I là trung đi m ể c a đo ủ n ạ th ng ẳ AB nên IA  IB = 0 Suy ra:              MA
 MI  IA  MI  IB  MB =
= MI  MI  IA  IB = 2MI  IA  IB  
 = 2MI  0 = 2MI .    ⇒ MA  MB = 2MI (đpcm). Ví d :
ụ Cho tứ giác ABCD. G i ọ M, N l n ầ lư t ợ là trung đi m ể c a ủ AC, BD.      Ch ng m ứ inh MA  MB  MC  MD 2  MN . Hư ng ớ d n gi ẫ i ả : Vì M, N lần lư t ợ là trung đi m ể c a ủ AC, BD nên ta có:    MA  MC 0  M i
ọ thắc mắc vui lòng xin vui lòng: 084 283 45 85
Đây là bản xem th , vu ử i lòng mua tài li u ệ đ xe ể m chi ti t (c ế ó l i ờ gi i ả )    MB  MD 2  MN          MA   MC   MB  MD 
  ⇒ MA  MB  MC  MD = = 0  2MN = 2MN .      ⇒ MA  MB  MC  MD 2  MN (đpcm). 3.2. Tr ng t ọ âm c a t ủ am giác     N u ế G là tr ng ọ tâm c a
ủ tam giác ABC thì MA  MB  MC 3  MG v i ớ đi m ể M b t ấ kì. Ví d : ụ G i ọ G và G’ l n ầ lư t ợ là tr ng
ọ tâm tam giác ABC và A’B’C’. Ch ng ứ     minh r ng: ằ AA'  BB'  CC' 3  GG ' . Hư ng d ớ ẫn gi i ả : Vì G và G’ l n l ầ ư t ợ là tr ng
ọ tâm tam giác ABC và A’B’C’ nên:         GA  GB  GC 0  và GA'  GB'  GC' 0  Theo quy t c ắ c ng vect ộ o ta có:     AA ' A  G  GG '  G 'A ' (1)     BB' B  G  GG '  G 'B' (2)     CC' C  G  GG '  G 'C ' (3) C ng ộ v v ế i ớ v c ế a ủ (1), (2) và (3) ta có:           AA'
3GG '   AG  BG  CG   GA'  GB'  GC'  BB'  CC' =       
3GG '    GA  GB  GC   GA'  GB'  GC' =       
3GG '   GA  GB  GC   GA'  GB'  GC' =   
 = 3GG '  0  0 = 3GG '     ⇒ AA'  BB'  CC' 3  GG ' (đpcm). 3.3. Đi u ề ki n
ệ để hai vecto cùng phư ng. ơ Đi u ề ki n ệ để ba đi m ể th ng ẳ hàng. M i ọ thắc m c
ắ vui lòng xin vui lòng: 084 283 45 85