Chuyên đề dạy thêm Toán 9 Kết nối tri thức mới nhất

BÀI 1. KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
I. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Tổng quát, ta có định nghĩa:
Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là phương trình có dạng ax  by  c, trong đó a, b,c là các số đã
biết (gọi là hệ số), a và b không đồng thời bằng 0 .
Nếu giá trị của vế trái tại x  x và y  y bằng vế phải thì cặp số x ; y được gọi là một nghiệm của 0 0  0 0 phương trình.
Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó.
Ví dụ 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất hai ẩn? Xác định các hệ
số a, b, c của phương trình bậc nhất hai ẩn đó.
a) 3x  5 y  3  ;
b) 0x  2 y  7 c) 4
 x  0y  5 ;
d) 0x  0 y  8 . Lời giải a) 3x  5y  3
 là phương trình bậc nhất hai ẩn với a  3, b  5,c  3  .
b) 0x  2 y  7 là phương trình bậc nhất hai ẩn với a  0, b  2  ,c  7 . c) 4
 x  0y  5 là phương trinh bậc nhất hai ẩn với a  4  , b  0,c  5 .
d) 0x  0y  8 không phâi là phương trình bậc nhất hai ẩn vi a  0 và b  0 .
Ví dụ 2. Cho phương trình 3x  y  1 . Trong hai căp số (1; 2) và (1; 2) , cặp số nào là nghiệm của phương trình đã cho? Lời giải
Cặp số (1; 2) là nghiệm của phương trình đã cho vì 3 1   2 1.
Cặp số (1; 2) không là nghiệm của phương trinh đã cho vì 3.1 ( 2  )  5  1. Chú ý:
a) Mỗi nghiệm x ; y của phương trình ax  by  c được biểu diễn bởi điểm có tọa độ x ; y trên 0 0  0 0 
mặt phẳng tọa độ Oxy .
b) Phương trình bậc nhất hai ẩn ax  by = c luôn luôn có vô số nghiệm. Tất cả các nghiệm của nó được
biểu diễn bởi một đường thẳng.
Ví dụ 3. Biểu diễn tất cả các nghiệm của mỗi phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ Oxy . a) 3
 x  y  2
b) 0x  y  2 
c) 2x  0 y  3 Lời giải
a) Viết lại phương trình thành y  3x  2 .
Từ đó, tất cả các nghiệm của phương trình đă cho được biểu diễn bởi đường thẳng d : y  3x  2 (Hình 1).
b) Viết lại phương trình thành y  2 .
Từ đó, tất cả các nghiệm của phương trình đã cho được biểu diễn bởi đường thẳng d vuông góc với Oy tại điểm M(0; 2  ) (Hình 2).
c) Viết lại phương trình thành x  1, 5 .
Từ đó, tất cả các nghiệm của phương trình đã cho được biểu diễn bởi đường thẳng d vuông góc với Ox tại điểm N(1,5;0) (Hình 3).
2. HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Tổng quát, ta có định nghĩa:
ax  by  c (1)
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn x , y có dạng (I) 
. Trong đó, a, b,c,a , b ,c là các số a x   b y   c (2)
đã biết (gọi là hệ số), a và b không đồng thời bằng 0 , a và b không đồng thời bằng 0 .
Nếu x ; y là nghiệm chung của hai phương trình (1)và (2) thì x ; y được gọi là một nghiệm của hệ (I). 0 0  0 0 
Giải hệ phương trinh là tìm tất cả các nghiệm của hệ phương trình đó.
Ví dụ 4. Trong các hệ phương trình sau, hệ phương trình nào là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn?
x  3y  3
0x  0y  5 
2x  0y  0 a)  b)  c) 
2x  y  4 
2x  7y  3
0x  3y 1 Lời giải
x  3y  3 a) Hệ phương trình 
là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn với a  1, b  3, c  3 và
2x  y  4 
a  2, b  1, c  4  .
0x  0y  5  b) Hệ phương trình 
không phải là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn vì a  b  0 .
2x  7y  3 2x  0y  0 c) Hệ phương trình 
là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn với a  2 , b  0, c  0 và 0x  3y 1 a  0, b  3  ,c 1 . 2x  3y  7
Ví dụ 5. Cho hệ phương trình  x  3y  1 
Trong hai cặp số (2;1) và (1;3) , cặp số nào là nghiệm của hệ phương trình đã cho? Lời giải 22  31  7
Cặp số (2;1) là nghiệm của hệ phương trình vì  2 31  1  . 2( 1  )  33  7
Cặp số (1;3) không là nghiệm của hệ phương trình vì   1   33  1  0( 1  ). B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Xét cặp số  x ; y có là nghiệm của phương trình ax  by  c không? 0 0 
1. Phương pháp giải
Thay x  x , y  y vào phương trình ax  by  c , nếu đẳng thức đúng thì cặp  x ; y là nghệm của 0 0  0 0
phương ax  by  c . 2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Trong các cặp số ( 2  ; 1) , 0; 2,  1  ; 0, 1,5;  3 và 4;  
3 cặp số nào là nghiệm của phương trình:
a) 5x  4 y  8 ?
b) 3x  5 y  3  ?
Ví dụ 2. Xem xét cặp số (2; 1
 ) có là nghiệm của mỗi phương trình sau không ?
a) 2x  3y  1 ;
b) 2x  3y  1 : 3 c) x  4 y  1  . 2
Dạng 2. Tìm nghiệm tổng quát của phưong trình ax  by  c và vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của nó
1. Phương pháp giải
1. - Tìm nghiệm tổng quát của phương trình ax  by  c  c  ax c  by  y 
- Nếu a  0 thì tìm x theo y : x 
và công thức nghiệm tổng quát là:  b a x  c  by c  ax x 
- Nếu b  0 thì tìm y theo x : y 
và công thức nghiệm tổng quát là:  a b y
2. Vẽ đường thẳng có phương trình: ax  by  c 1
+ Nếu b  0 thì vẽ đường thẳng y 
c  ax . b c
+ Nếu b  0 thì vẽ đường thẳng x 
cùng phương với trục tung. a 2. Các ví dụ
Ví dụ 1: Với mỗi phương trình sau, tìm nghiệm tổng quát của phương trình và vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của nó:
a) 3x  y  2
b) x  5 y  3
c) 4x  3y  1 
d) x  5 y  0
e) 4x  0 y  2 
f) 0x  2 y  5
Ví dụ 2. Cho hai phương trình x  2 y  4 và x  y  1. Vẽ hai đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai
phương trình đó trên cùng một hệ tọa độ. Xác định tọa độ giao điểm của hai đường thẳng và cho biết toạn
độ của nó là nghiệm của phương trình nào.
Dạng 3. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến một đường thẳng
1. Phương pháp giải c
Khoảng cách d từ gốc O đến đường thẳng: ax  by  c được tính theo công thức d  OH  2 2 a  b
Với H là hình chiếu của O lên đường thẳng. c
Cho x  0  y  b c
Cho y  0  x  a  c   c 
Đường thẳng cắt trục tung tại A 0; 
 và cắt trục hoành tại điểm B ; 0    b   a  1 1 1 c c
Kẻ đường cao OH của ABO  , ta có:   mà OA  và OB  2 2 2 OH OA OB b a