Lý thuyết Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ Toán 10 Cánh diều

Đây là bản xem th , vu ử i lòng mua tài li u ệ đ xe ể m chi ti t ế (có l i ờ gi i ả )
Bài 6. Tích vô hư ng c ớ a ha ủ i vectơ A. Lý thuy t ế 1. Đ nh ng ị hĩa 1.1. Tích vô hư ng c ớ a hai ủ vect có ơ cùng đi m ể đ u ầ

 - Góc gi a
ữ hai vecto OA , OB là góc gi a ữ hai tia OA, OB và đư c ợ kí hi u ệ là    OA,OB 
   - Tích vô hư ng ớ c a
ủ hai vecto OA và OB là m t ộ số th c, ự kí hi u ệ là OA .OB      
OA.OB  OA . OB .cos OA,OB , đư c xác ợ đ nh b ị i ở công th c: ứ . Ví d :
ụ Cho tam giác ABC đ u ề c nh ạ 2a có đư ng
ờ cao AH. Tính tích vô hư ng ớ   c a ủ AB.AC . Hư ng ớ d n gi ẫ i ả : Vì tam giác ABC đ u nên ề BAC = 60°    AB,AC ⇒ = BAC = 60° Ta có:       AB.AC AB . AC .cos AB,AC =   1
⇒ AB.AC = AB.AC.cos BAC = AB.AC.cos60° = 2a.2a. 2 = 2a2. 1.2. Tích vô hư ng c ớ a hai ủ vect t ơ ùy ý Đ nh ng ị hĩa: M i
ọ thắc mắc vui lòng xin vui lòng: 084 283 45 85
Đây là bản xem th , vu ử i lòng mua tài li u ệ đ xe ể m chi ti t (c ế ó l i ờ gi i ả )       
Cho hai vecto a , b khác 0. L y ấ m t ộ đi m ể O và vẽ vecto OA a  ,OB b (Hình v ) ẽ .      a,b

 + Góc gi a
ữ hai vecto a , b , kí hiệu , là góc gi a ữ hai vecto OA , OB .     + Tích vô hư ng ớ c a
ủ hai vecto a và b , kí hi u ệ a . b là tích vô hư ng ớ c a ủ hai

   vecto OA và OB . Như v y ậ , tích vô hư ng ớ c a ủ hai vecto a và b là m t ộ số       a . b .cos a,b th c ự đư c xác đ ợ nh b ị i ở công th c: ứ a . b = .  Quy ư c: ớ Tích vô hư ng c ớ a ủ m t ộ vecto b t ấ kì v i ớ vecto 0 là số 0. Chú ý:      a,b  b,a +) =    a,b    +) N u ế
= 90° thì ta nói hai vecto a , b vuông góc v i ớ nhau, kí hi u ệ a ⊥        b a . b .cos90 ho c
ặ b ⊥ a . Khi đó a . b = = 0. +) Tích vô hư ng c ớ a ủ hai vecto cùng hư ng ớ b ng t ằ ích hai đ dài ộ c a chúng. ủ +) Tích vô hư ng ớ c a ủ hai vecto ngư c ợ hư ng ớ b ng ằ s ố đ i ố c a ủ tích hai đ ộ dài c a ủ chúng. Ví d :
ụ Cho tam giác vuông cân ABC có AB = AC = a. Tính các tích vô hư ng ớ     AB.AC ,AC.CB . Hư ng d ớ ẫn gi i ả : M i ọ thắc m c
ắ vui lòng xin vui lòng: 084 283 45 85
Đây là bản xem th , vu ử i lòng mua tài li u ệ đ xe ể m chi ti t ế (có l i ờ gi i ả )
+ Vì tam giác ABC vuông cân, mà AB = AC
⇒ Tam giác ABC vuông cân t i ạ A. ⇒ AB ⊥ AC       AB . AC .cos90 AB . AC .0 ⇒ AB.AC = = = 0 2 2 2 2
+ Ta có: BC = AB  AC = a  a = a 2 .       2    AC . CB .cos AC,CB   ⇒ 2 AC.CB =
= a. a 2 .cos135° = a. a 2 .  = -a2. 2. Tính ch t ấ   V i ớ hai vecto b t
ấ kì a , b và số th c k t ự ùy ý, ta có:     +) a . b = b .a (tính ch t ấ giao hoán);        a. b  c a  .b  a.c +) (tính ch t ấ phân ph i ố );        ka b k   a.b a  . kb +) ; 2  2    +) a ≥ 0, a = 0 ⟺ a = 0 .   2  Trong đó, kí hi u ệ a .a = a và bi u ể th c ứ này đư c ợ g i ọ là bình phư ng ơ vô  hư ng c ớ a ủ vecto a . Ví d : ụ Cho 4 đi m ể A, B, C, D b t ấ kì. Ch ng ứ minh:       AB.CD  BC.AD  CA.BD 0  . Hư ng ớ d n gi ẫ i ả : Ta có: M i
ọ thắc mắc vui lòng xin vui lòng: 084 283 45 85
Đây là bản xem th , vu ử i lòng mua tài li u ệ đ xe ể m chi ti t (c ế ó l i ờ gi i ả )          AB.CD AB. CA  AD =
= AB.CA  AB.AD (tính chất phân phối)              BC.AD  BA  AC.AD =
= BA.AD  AC.AD =  AB.AD  AC.AD (tính ch t ấ phân phối)              CA.BD CA. BA  AD =
= CA.BA  CA.AD =  CA.AB  AC.AD (tính chất phân phối)        AB.CD  BC.AD  CA.BD             A
 B.CA  AB.AD  AB.AD  AC.AD  CA.AB  AC.AD            
 AB.CA  CA.AB  AB.AD  AB.AD  AC.AD  AC.AD = (tính ch t ấ giao hoán và k t ế h p) ợ = 0   
⟺ AB.CD  BC.AD  CA.BD 0  (đpcm). 3. M t ộ s ố ứng d ng ụ 3.1. Tính đ dài ộ c a đo ủ n t ạ h ng ẳ Nhận xét:   2 2 AB  AB V i ớ hai đi m ể A, B phân bi t ệ , ta có: .  2 Do đó độ dài đo n t ạ h ng ẳ AB đư c ợ tính nh s ư au: AB = AB
3.2. Chứng minh hai đư ng ờ th ng v ẳ uông góc Nhận xét:        + Cho hai vecto b t
ấ kì a và b khác vecto 0 . Ta có: a . b = 0 ⟺ a ⊥ b .   Hai đư ng ờ th ng ẳ AB và CD vuông góc v i ớ nhau khi và ch khi ỉ AB.CD 0  .     + Hai đư ng ờ th ng
ẳ a và b vuông góc khi và ch ỉkhi u.v 0  , trong đó u ≠ 0, v  ≠ 0, giá c a ủ vecto u song song ho c ặ trùng v i ớ đư ng ờ th ng ẳ a và giá c a ủ vecto  v song song ho c t ặ rùng v i ớ đư ng ờ th ng ẳ b. M i ọ thắc m c
ắ vui lòng xin vui lòng: 084 283 45 85