Bộ 50 chuyên đề luyện thi theo mức độ Toán 12 cực hay (có đáp án)

DẠNG TOÁN 1: HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP
KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1. Giai thừa  Định nghĩa:
 Với mọi số tự nhiên dương , tích
được gọi là - giai thừa và kí hiệu . Vậy . Ta quy ước .  Tính chất: . 2. Hoán vị.  Định nghĩa:  Cho tập gồm phần tử (
). Mỗi cách sắp xếp phần tử này theo một thứ tự ta được một hoán
vị các phần tử của tập .
 Kí hiệu số hoán vị của phần tử là .
 Số hoán vị của tập phần tử:
 Định lí: Ta có 3. Chỉnh hợp.
 Định nghĩa: Cho tập
gồm phần tử và số nguyên với
. Khi lấy phần tử của và
sắp xếp chúng theo một thứ tự ta được một chỉnh hợp chập của phần tử của .  Số chỉnh hợp Kí hiệu
là số chỉnh hợp chập của phần tử
 Định lí: Ta có . 4. Tổ hợp.  Định nghĩa:  Cho tập
có phần tử và số nguyên với
. Mỗi tập con của có phần tử được gọi là
một tổ hợp chập của phần tử của .  Số tổ hợp  Kí hiệu
là số tổ hợp chập của phần tử.
 Định lí: Ta có: . 1


II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
 Đếm số các hoán vị.
 Đếm số các chỉnh hợp.
 Đếm số các tổ hợp.
 Các bài toán liên quan.  … BÀI TẬP MẪU
(ĐỀ MINH HỌA BDG 2020-2021) Có bao nhiêu cách chọn ra 3 học sinh từ một nhóm có 5 học sinh? A. . B. . C. . D. .
Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán quy tắc đếm, cụ thể là quy tắc tổ hợp. 2. HƯỚNG GIẢI:
B1: Số cách chọn ra phần tử từ một tập hợp có phần tử là một tổ hợp chập của , ( ).
B2: Số cách chọn là .
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn C
Số cách chọn ra học sinh từ một nhóm có học sinh là một tổ hợp chập của . Số cách chọn là .
Bài tập tương tự và phát triển:  Mức độ 1 Câu 1.
Cần chọn người đi công tác từ một tổ có
người, khi đó số cách chọn là A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn D
Số cách chọn người bất kì trong người là . Câu 2. Cho tập hợp có
phần tử, số tập con có hai phần tử của là A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn C
Số tập con là số cách chọn 2 phần tử trong 20 phần tử. Vậy có tập con. Câu 3.
Có bao nhiêu đoạn thẳng được tạo thành từ
điểm phân biệt khác nhau trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn A 2


Giả sử ta có hai điểm , phân biệt thì cho ta một đoạn thẳng (đoạn và đoạn giống nhau).
Vậy số đoạn thẳng được tạo thành từ
điểm phân biệt khác nhau là . Câu 4.
Từ các số , , , , có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số đôi một khác nhau. A. . B. . C. . D. Lời giải Chọn C
Số các số tự nhiên lập được là số các hoán vị của 5 phần tử Vậy có số. Câu 5. Cho đa giác lồi đỉnh
. Số tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác đã cho là A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn B
Số tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác đã cho là số tổ hợp chập của phần tử.
Số tam giác lập được là . Câu 6. Một tổ có
học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra học sinh từ tổ đó để giữ hai chức vụ tổ trưởng và tổ phó. A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn A
Chọn ra học sinh từ một tổ có
học sinh và phân công giữ chức vụ tổ trưởng, tổ phó là một
chỉnh hợp chập của 10 phần tử. Số cách chọn là cách. Câu 7.
Từ các số , , , , có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số đôi một khác nhau. A. . B. . C. . D. Lời giải Chọn A Có thể lập
số tự nhiên gồm ba chữ số đôi một khác nhau. Câu 8.
Giải bóng đá V-LEAGUE 2021 có tất cả
đội bóng tham gia, các đội bóng thi đấu vòng tròn
lượt. Hỏi giải đấu có tất cả bao nhiêu trận đấu? A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn A Số trận đấu là . Câu 9.
Có bao nhiêu cách chọn cầu thủ từ trong một đội bóng để thực hiện đá quả luân lưu
, theo thứ tự quả thứ nhất đến quả thứ năm. A. . B. . C. . D. Lời giải 3

Chọn A
Số cách chọn cầu thủ từ trong một đội bóng để thực hiện đá quả luân lưu , theo
thứ tự quả thứ nhất đến quả thứ năm là số chỉnh hợp chập của phần tử. Nên số cách chọn là .
Câu 10. Số vectơ khác có điểm đầu, điểm cuối là hai trong đỉnh của lục giác là: A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn C
Số vectơ khác có điểm đầu, điểm cuối là hai trong đỉnh của lục giác là .  Mức độ 2 Câu 1.
Cho các chữ số , , , , , . Từ các chữ số đã cho lập được bao nhiêu số chẵn có bốn chữ
số và các chữ số phải khác nhau. A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn B
Gọi số có bốn chữ số khác nhau là . + TH1: Số cách chọn bộ số
là số chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử . Suy ra có . + TH2: có cách chọn có cách chọn có cách chọn có cách chọn Suy ra có
Áp dụng quy tắc cộng ta có tất cả . Câu 2.
Từ các chữ số , , lập được bao nhiêu số tự nhiên có chữ số, trong đó chữ số có mặt
lần, chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần? A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn A
Chọn vị trí cho chữ số có cách.
Chọn vị trí cho chữ số có cách.
Chọn vị trí cho chữ số có cách.
Vậy số các số tự nhiên thỏa yêu cầu bài toán là số. Câu 3.
Một tổ có học sịnh nam và học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn học sinh đi lao
động, trong đó có đúng học sinh nam? A. . B. . C. . D. . 4