Bộ bài tập vận dụng cao tổng hợp Toán năm 2023 cực hay

MỤC LỤC
Chương 1. Lượng giác ................................................................................................................................... 1
Chương 2. Tổ hợp .......................................................................................................................................... 2
Chương 3. Dãy số .......................................................................................................................................... 9
Chương 4. Giới hạn ..................................................................................................................................... 10
Chương 5. Đạo hàm ..................................................................................................................................... 13
Chương 6. Phép biến hình ........................................................................................................................... 14
Chương 6. Quan hệ vuông góc .................................................................................................................... 14
Chương 7. Ứng dụng đạo hàm ..................................................................................................................... 23
Chương 8. Mũ – logarit ............................................................................................................................... 55
Chương 9. Nguyên hàm – tích phân ............................................................................................................ 69
Chương 10. Số phức .................................................................................................................................... 74
Chương 11. Thể tích khối đa diện ............................................................................................................... 77
Chương 12. Nón – trụ - cầu ....................................................................................................................... 105
Chương 13. Oxyz ....................................................................................................................................... 117


Chương 1. Lượng giác    Câu 1: Cho x, y  0; 
 thỏa cos 2x + cos 2y + 2sin (x + y) = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của  2  4 4 sin x cos = + y P . y x 3 2 2 5 A. min P = P =  .
B. min P =  . C. min min P = 3 . D.  . Lời giải Chọn B  Ta có x + y + (x + y) 2 2 cos 2 cos 2 2sin
= 2  sin x + sin y = sin (x + y). Suy ra: x + y = 2 a b ( + )2 2 2 a b Áp dụng bđt: +  m n m + n ( x+ y )2 2 2 sin sin 2  Suy ra P 
= . Đẳng thức xảy ra  x = y = . x + y  4 Do đó 2 min P = .  . Câu 2:
[TRƯỜNG THPT ĐỒNG HẬU-VĨNH PHÚC. LẦN 1] Với giá trị nào của m để phương  3  trình 2
msin x − 3sin .
x cos x − m −1có đúng 3 nghiệm x  0;   ?  2  A. m  −1. B. m  −1. C. m  −1. D. m  −1
Hướng dẫn giải Đáp án C PT đã cho 2 2 m sin x 1 3sin x cos x 1 0 3sin x cos x cos x 1 0
Dễ thấy cos x  0 2
 PT  tan x + 3tan x + m +1= 0    Để 3
PT đã cho có ba nghiệm thuộc 0;   thì PT 2
t + 3t + m +1 = 0 có hai nghiệm trái dấu  2 
 m +1 0  m  1 − . Câu 3:
Tìm m để phương trình 4 4 2 sin x cos x cos 4x
m có bốn nghiệm phân biệt thuộc đoạn ; . 4 4 47 m 64 49 3 47 3 47 3 A. B. m C. m D. m 3 64 2 64 2 64 2 m 2 Lời giải Chọn C
Phương trình đã cho tương đương 3 cos4x 2 2 cos 4x m 4cos 4x cos4x 4m 3 1 4


Đặt t cos4x . Phương trình trở thành: 2 4t t 4m 3, 2 , (2) Với x ; thì t
1;1 Vì một giá trị t
1;1 sẽ tạo ra hai giá trị x ; nên 4 4 4 4
phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt x ;
khi và chỉ khi phương trình (2) có 2 4 4 nghiệm phân biệt t 1;1 3 1 Xét hàm số 2 g t 4t t ví i t 1;1 ,g t 8t 1;g t 0 t 8 Lập bảng biến thiên: 1 47 3
Dựa vào bảng biến thiên suy ra (3) xảy ra 4m 3 3 m 16 64 2 47 3
Vậy giá trị của m phải tìm là: m . 64 2
Chương 2. Tổ hợp Câu 4:
(THPT Chuyên Đại Học Vinh - Nghệ An - 2018) Có bao nhiêu số có 4 chữ số được viết từ
các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sao cho số đó chia hết cho 15 ? A. 234 B. 243 C. 132 D. 432 Lời giải Đáp án B
Gọi số số cần lập có dạng:
= abcd (1 a,b,c,d  9) . • Để 15  3 va 5. + 5  d = 5. +
3  a + b + c + 5 3.
• Chọn a có 9 cách, chọn b có 9 cách chọn thì:
+ Nếu a + b + 5 chia hết cho 3 thì c 3;6; 
9  c có 3 cách chọn.
+ Nếu a + b + 5 chia cho 3 dư 1 thì c 2;5; 
8  c có 3 cách chọn.
+ Nếu a + b + 5 chia cho 3 dư 2 thì c 1;4; 
7  c có 3 cách chọn.
Vậy, theo quy tắc nhân ta có: 9.9.3 = 243 số. Câu 5:
(MEGABOOK-ĐỀ 3). Từ các chữ số 0,1, 2,3, 4,5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có
5 chữ số khác nhau và chia hết cho 15. A. 222 B. 240 C. 200 D. 120 Lời giải Chọn A
Gọi số cần tìm là abcde . Số mà chia hết cho 15 thì phải chia hết cho 3 và 5 .


Trường hợp 1. Số cần tìm có dạng abcd 0 , để chia hết cho 3 thì , a , b ,
c d phải thuộc các tập sau
A = 1, 2,3, 6 , A = 1, 2, 4,5 A = 1,3,5, 6 A = 2,3, 4, 6 , A = 3, 4,5, 6 . 1   2   3   4   5  
Do đó trong trường hợp này có 5.4! = 120 số.
Trường hợp 2. Số cần tìm có dạng abcd5 , để chia hết 3 thì , a , b ,
c d, e phải thuộc các tập sau
B = 0,1, 2, 4,5 , B = 0,1,3,5, 6 ,B = 0,3, 4,5, 6 , B = 1, 2,3, 4,5 , B = 1, 2, 4,5, 6 1   2   3   4   5   Nếu , a , b ,
c d thuộc B ,B ,B , thì có 3.3.3.2 = 54 , số , a , b ,
c d thuộc B , B thì có 2.4! = 48 . 1 2 3 4 5
Tổng lại có 120 + 54 + 48 = 222 số. Câu 6: Tổng 1 2 3 2018 T C C C C bằng bao nhiêu? 2018 2018 2018 2018 A. 2018 2 B. 2018 2 1. C. 2018 4 . D. 2018 2 1. Lời giải Chọn D
• Tự luận: Khai triển nhị thức Niu tơn 2018 0 1 2 2 3 3 2018 2018 1 x C C x C x C x C x 2018 2018 2018 2018 2018 Cho 2018 1 2 3 2018 2018 x 1 ta ®­ î c 2 C C C C 1 T T 2 1 2018 2018 2018 2018 Câu 7:
(THPT VIỆT ĐỨC) Trong hệ tọa độ Oxy có 8 điểm nằm trên tia Ox và 5 điểm nằm trên tia
Oy . Nối một điểm trên tia Ox và một điểm trên tia Oy ta được 40 đoạn thẳng. Hỏi 40 đoạn
thẳng này cắt nhau tại bao nhiêu giao điểm nằm trong góc phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độ
xOy (biết rằng không có bất kì 3 đoạn thẳng nào đồng quy tại 1 điểm). A. 260. B. 290. C. 280. D. 270. Lời giải Chọn C
Số tứ giác có 4 đỉnh là 4 điểm trong 13 điểm đã cho là 2 2 C .C = 280 8 5
Mỗi tứ giác đó có hai đường chéo cắt nhau tại 1 điểm thuộc góc phần tư thứ nhất của hệ tọa độ Oxy .
Vậy số giao điểm là 280. Câu 8:
[THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ 2018 - LẦN 1] Một khối lập phương có độ
dài cạnh là 2cm được chia thành 8 khối lập phương cạnh 1cm . Hỏi có bao nhiêu tam giác được
tạo thành từ các đỉnh của khối lập phương cạnh 1cm A. 2876 . B. 2898 . C. 2915 . D. 2012 Lời giải Chọn A Có tất cả 27 điểm.
Chọn 3 điểm trong 27 có 3 C = 2925 27
Có tất cả (8.2 + 6.2 + 4 + 3+ 2 + 2 + 2) = 49 bộ ba điểm thẳng hàng.
Vậy có 2925 − 49 = 2876 tam giác.